2021北京高三一模压轴题汇编学生版

1、 （2021 平谷一模压轴题）21 （15 分）已知数列 : , , , (0 , 3) 具有性质 ：对任意A a a a a a naP12n12ni, j (1 i j n)，a + a 与 a a 两数中至少有一个是该数列中的一项， 为数列 的S Anjiji前 项和n（）分别判断数列 0，1，3，5 与数列 0，2，4，6 是否具有性质 ；Pna（）证明： = 0 ，且 =；aSn1n2（）证明：当n = 4 时， , , , , 成等差数列a a a a a12345（学探诊总复习下册理科模拟练习第八套）（2016 房山一模理）（20）（本小题 13 分）()= a ,a , ,a

2、0 a a a ,n 2已知数集 M具有性质 P ：对任意的两数中至少有一个属于M .12n12n()i, j 1 i j n ， a+ a a a与ijji 0,1,30,2,3,5是否具有性质 P ，并说明理由；（）分别判断数集与2= 0a = (a + a + + a + a )；（）证明：a，且1nn12n1n（）当n = 5时，证明：成等差数列.a1,a ,a ,a ,a2345 （2021 人大附 3 月考）21（本小题 15 分） 0 a a a已 知 项 数 为 ( ， 3) 的 数 列 a 满 足k k N， 若 对 任 意 的kn12k i，j(1 i j k)+ 与 a

3、a， aa至少有一个是数列 a 中的项，则称数列 a 具有性质jijinnP（）判断数列 0，2，4，8 是否具有性质 P，并说明理由； （）设项数为 10 的数列具有性质 ， a = 36 ，求a + a + + a + a；aPn1012910 （）若数列 a 具有性质 ，且不是等差数列，求 Pkn（2019 石景山一模理 20）20.（本小题 13 分）若项数为 的单调递增数列 满足：nan =1；a1k n ），存在 i j （ ,N ,Ni j n，1 ）使得对任意 （ ，kkN* 2 i*j*a = a + a，则称数列 具有性质 .aPkijn1, 3, 4, 7 1, 2, 3

4、,5和（）分别判断数列是否具有性质 ，并说明理由；P（）若数列 具有性质 ，P 且 a= 36，ann（）证明数列 的项数n7；an（）求数列 中所有项的和的最小值an类例：已 知 数 集a a a a a a n= , , , (1= , 2) 具 有 性 质 P : 对 任 意 的A12n12nk(2k n),i, j(1i j n) ，使得 a= a + a 成立.kij（）分别判断数集1,3,4和1,2,3,6 是否具有性质 ，并说明理由；P（）求证： 2 + + +a an( 2) ；aan12n1（III）若 = 72 ，求数集 A 中所有元素的和的最小值.an ()= a ,a

5、, a 1 a a a ,n 3具有性质 ：对任P(2009 年 北京20 题) 已知数集 A12n12na, j 1 i j n)(a aiA两数中至少有一个属于 .意的i，与jaji 1,3, 41,2,3,6P=1，并说明理由； () 证明： a ，且() 分别判断数集与是否具有性质1a + a + + a= a= 5, , , ,时， a a a a a 成等比数列.；() 证明：当n12n1a + a + + a11n1234512n（2018 海淀二模理 20）20. （本小题共 13 分） 如果数列满足“对任意正整数i, j ，i j ，都存在正整数 ，使得 =a a”，则称数a

6、akkijn 列具有“性质 P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为 .anadn （）若 = 2 ，公差3，判断数列是否具有“性质 P”，并说明理由；a1=and （）若数列（）若数列具有“性质 P”，求证： 0 且0；aa1d n 具有“性质 P”，且存在正整数 ，使得 = 2018 ，这样的数列共有多aaakn少个？并说明理由kn（2021 丰台一模压轴题）（21）（本小题 14 分）已知数列 : , , , ( N )，现将数列 A 的项分成个数相同的两组，第一组为A a a a n*122nB :b ,b , ,b， 满 足 ( =1,2, , 1) ； 第 二 组 为: , ,C

7、c c,c ， 满 足b b in12n+112niinc c (i =1,2, ,n1)i，记 =M b ci+1iii=1（）若数列 A:1,2,4,8，写出数列 A 的一种分组结果，并求出此时M 的值； n ；（其中 b c 表示max ,（）若数列 A:1,2,3, ,2n，证明：max , +1( =1,2, , )b cniiiiib ,c 中较大的数）ii（）证明：M 的值与数列 A 的分组方式无关. （类似初中竞赛题）将1,2,3,4, ,199,200 这 200 个数任意分为两组，每组100 个数，将其中一组按从小到大的顺序排列（记为 a a），另一组按从大到小的顺序排列（

8、记为 b b）b100a1001212求| | + | | + + |a b a b| 的值a100b1001122（2020 人大附初一周测）27.我们将不大于2020的正整数随机分为两组。第一组按照升序排列得到 ，a a1a10102第二组按照降序排列得到 b b，求| | + | | + + |a b a b| 的所有可b1010a1010b1010121122能值.（2021 门头沟一模压轴题）21.（本小题满分 15 分）对于一个非空集合 A，如果集合 D 满足如下四个条件： (a,b) | a A,b A； Da A,( a,a) D；a,b A,，若(a,b) D (b,a) D

9、且 ，则 ab；a,b,c A，若(a,b) D (b,c) D ，则(a,c) D且 ，则称集合 D 为 A 的一个偏序关系。（I）设 A1,2,3，判断集合 D(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)是不是集合 A 的偏序关系，请你写出一个含有 4 个元素且是集合 A 的偏序关系的集合 D；（II）证明：R (a,b)|aR,bR,ab是实数集 R 的一个偏序关系：（III）设E 为集合 A 的一个偏序关系，a,bA.若存在 cA,使得（c,a）E,（c,b）E，且d A，若(d, a) E，(d,b)E，一定有(d,c)E，则称 c 是 a 和 b 的交，记为 cab.证

10、明：对 A 中的两个给定元素 a,b,若 ab 存在，则一定唯一. （2021 朝阳一模压轴题）（21）（本小题 15 分）:a ,a , ,aqB :b ,b , ,b（ 2 ），若存在公比为 的等比数列设数列 A，使得mm12mm+112m+1b a b ，其中 k =1,2,m，则称数列 B 为数列 A 的“等比分割数列”kkk+1（）写出数列 Am+1的一个“等比分割数列”B ；m: 3,6,12,2445（）若数列的通项公式为 = 2 ( =1,2, ,10)，其“等比分割数列” 的首项为1，a n n BA1011n求数列 的公比q的取值范围；B11= n (n =1,2, ,m)

11、，且数列 存在“等比分割数列”，A（）若数列 的通项公式为aA2nm求 的最大值mm（2021 石景山一模压轴题）（2 1）（本小题15 分）由 m 个正整数构成的有限集a a a= , , , , （其中a a a a ）， 记Ma123m123m( )P(M ) = a + a + + a，特别规定 P = ，若集合 M 满足：对任意的正整数0k P(M)，12m= P(A) P(B)都存在集合 M 的两个子集 A，B，使得k成立，则称集合 M 为“满集”.（）分别判断集合M = 1,2与= 2,3是否为“满集”，请说明理由；M12（）若集合 M 为“满集”，求 的值；a1（）若 , ,

12、, , 是首项为 1 公比为 2 的等比数列，判断集合M 是否为“满集”，并说a a aa123m明理由（2021 怀柔一模压轴题）21（本小题 15 分）(为n n)= 3,4,阶“期待数列”：,a ,a , ,a定义满足以下两个性质的有穷数列a123n+ a + a + + a = 0 a；123n+ a + a + + a =1 a123n （）若等比数列 a 为 4 阶“期待数列”，求 a 的公比；nn （）若等差数列 a 是2k +1阶“期待数列”（n= 1,2,3, ,2k +1k 是正整数，求 ann的通项公式； （）记2k阶“期待数列” a 的前 n 项和为 （nk 是不小于

13、2 的整= 1,2,3, ,2kSnn 12数），求证： Sk(2015 年人大附中 12 月月考)20、（13 分）设有穷数列a （m=1,2,3,4，,n；n=2,3,4,）满足以下两个条件：mnn = 0；=1；称a 为 n 阶“单位数列”。aamiii=1i=1（）分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“单位数列”；（）若某 2k+1(k N *)阶“单位数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（）记 n 阶“单位数列”的前 k 项和为，S (k = 1, 2,3, , n)k1 112aii求证：（1）；（2） nS .k2 2ni=1(1989 全国高中数学联赛决赛二试二题)x =

14、1， x = 0，nn R=1, 2, ,n ，n2二、（本题满分 35 分）已知 x,（i）满足iiii=1i=1x 1 1n 求证：。ii 2 2ni=1 （2021 东城一模压轴题）（21）（本小题 15 分）设 n（n2）为正整数，若 （x ，x ，x ）满足：12n x 0，1，n1，i1，2，n；i 对于 1ijn，均有 x x；i则称 a 具有性质 E（n）.对于 a（x ，x ，x ）和（y ，y ，y ），定义集合T（，） t|t|x y |，12n12niii1，2，n.（I）设 a（0，1，2），若 （y ，y ，y ）具有性质 E（3），写出一个 及相应的 T123（a

15、，） ；（II）设 和 具有性质 E（6），那么 T（，）是否可能为0，1，2，3，4，5，若可能，写出一组 和 ，若不可能，说明理由；（III）设 和 具有性质 E（n），对于给定的 ，求证：满足 T（，）0，1，n1的 有偶数个.（2021 西城一模压轴题）（21）（本小题 15 分）已知数列A：a ，a ，a（N3 的各项均为正整数，设集合Tx|xa a 1ijN，）12Nji记 T 的元素个数为 P（T）.（I）若数列 A:1，2，4，3，求集合 T，并写出 P（T）的值；（II）若 A 是递增数列，求证:“P（T）N1”的充要条件是“A 为等差数列”；（III）若 N2n1，数列 A

16、 由 1.，2，3，n，2n 这 n1 个数组成，且这 n1 个数在数列 A 中每个至少出现一次，求 P（T）的取值个数. （2021 海淀一模压轴题）（21）（本小题共 14 分）已知无穷数列a ，对于 mN ，若a 同时满足以下三个条件，则称数列a 具有性*nnn质 P(m).条件：a 0（n1，2，）；n条件：存在常数 T0，使得 a T（n1，2，）；n条件：a a ma （n1，2，）.n 2nn+11( )（I）若 a 54xn（n1，2，），且数列a 具有性质 P（m），直接写出m 的n2n值和一个 T 的值；（II）是否存在具有性质 P（1）的数列a ?若存在，求数列a 的通项

17、公式；若不存在，nn说明理由；（III）设数列a 具有性质 P（m），且各项均为正整数，求数列a 的通项公式.nn（2021 房山一模压轴题）(21)(本小题 14 分) max a ,a , ,a表示= max a ,a , ,a (n=1,2，3， )对于数列 a ，记b，其中nn12n12k a ,a , ,a 这 个数中最大的数，并称数列 b 是 a 的 控制数列 ，如数列1,2,3,2“”k12knn的“控制数列”是1,2,3,3. ，写出所有的 a ；1,3,4,4（）若各项均为正整数的数列 a 的“控制数列”为nn= an 2n ( N*).（）设an2nb b,b,m+2（i）

18、当 a 0时，证明:存在正整数m ，使得是等差数列；mm+1m m +1 m + 2 b b b b+ + +2 3 4 2,2（ii）当 a时，求的值（结果可含a ）.11 2 3 4 （2021 延庆一模压轴题）21（本小题共 14 分） a若无穷数列 a 满足： N ，对于n n (n N ) ，都有= （其中 为常m*n+mqqn00an 数），则称 a 具有性质“ ( , , ) ”.Q m n qn0 （）若 a 具有性质“ (3,2,2) ”，且2 ， + + =18，求 ；a a aQa = a =a246783n1 （）若无穷数列 b 是等差数列，无穷数列 c 是公比为 的等

19、比数列，4 ，b = c =2nn33 ， = + ，判断 a 是否具有性质“ (2,1,2) ”，并说明理由；a b cb + c = cQ112nnnn （）设 a 既具有性质“ ( ,1, ) ”，又具有性质“ ( ,1, ) ”，其中i，jN ，i j ，Q i qQ j q*n12 ji求证： a 具有性质“ ( , +1, ) ”.Q j i iqjn2 一饭千金帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。这句成语就是出于这个故事的。它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩惠很是微小，但在困难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报答施惠的人才是合理。【感恩小结】感恩，是结草衔环，是滴水