初中数学北师大七年级下册（2023年新编） 概率初步《概率》单元教学设计

1、概率单元教学设计伴随着社会经济的不断发展，人们经常需要在不确定的情况下对事物做出自己的判断。乘客乘机前要决定是否购买保险；股民面对股票的升降要决定买进还是卖出；交通管理部门要根据路口来往车辆的情况设定红绿灯变化的频率与时长等。机会与普通人的生活息息相关，概率知识有助于人们更好地理解和把握风险。概率已成为每个合格公民知识素养中必不可少的一部分。概率与代数、几何等传统的确定性数学分支不同，它主要以演绎的形式研究不确定现象，是培养学生“随机意识”和“概率观念”的重要载体。那么义务教育阶段如何真正落实概率教学呢？本单元将基于以下板块进行设计。单元内容分析：小学段概率章节均从具体情境出发让学生去感受生活

2、中的随机现象，了解简单随机事件所有可能发生的结果，感受随机事件发生的可能性。中学段概率章节在小学段基础上进一步探索随机事件及其可能性发生的大小，并引出“概率”对随机现象进行数学描述，在进行数学描述的过程中渗透方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。如果说小学的概率教学是让学生明白我应该在这块土地上修建房屋，那么初中概率教学则是在土地上搭建基架，为后续高中概率的深入研究做好铺垫。教法依然保留小学段创设情境，但更关注引导启发、任务驱动、合作探究。学法上依然从学生最容易接受的直观感受入手延展到实验验证、感受数据过渡到深析数据、教师设计转变为学生设计、自主独学常结合小组合究。学生核心素养发展分析：结合高

3、中新课标、教参以及学生实际学情，定位整个单元涉及主要学科核心素养为数据分析，通过前置学习创设情境、学生实验、分析实验结果、得出实验结论、实验指导现实，让学生在完整的实验过程中收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识。在此基础上，放眼至学生发展素养，我们希望可以通过小组活动培养学生合作交流的意识与能力、通过自主设计实验培养学生的创新意识、通过对概率的进一步感知培养学生辩证的看待生活中的一些现象的思维，逐渐提升学生获取有价值信息并进行定向分析的意识与能力，使学生适应数字化学习的需要，增强学生基于数据表达现实问题的意识。单元教学目标分析：学生核心素养目标为注重学生数据分析观念的

4、培养与发展并延伸至学生发展素养目标，提升学生获取有价值信息并进行定向分析的意识与能力，使学生适应数字化学习的需要，增强学生基于数据表达现实问题的意识。知识目标：通过生活中的实际问题，让学生明确事件类型，理解频率与概率的关系，了解两类事件发生的概率，能进行简单计算并设计简单模型，学会列表和画树状图规范列举和表达，最终应用概率解决生活中的实际问题。基于课标和考纲制定本章重点：频率与概率，古典概型和几何概型，列表和画树状图列举并求解实际问题。基于学情和教师预设学情制定本章难点：理解频率和概率的关系，设计复杂面积求解的几何概型，解读题意准确分析出两步实验中出现的所有情况，并用树状图或列表法规范表达，自

5、主设计符合要求的简单模型。其实本章的重难点总结起来都是针对频率与概率、古典概型和几何概型、等可能事件中两步实验的准确解读及表达（树状图、列表），我们整个教学流程均围绕这三种关系展开，全章感受课激活体验三种关系，局域整合课深入体验三种关系，解题训练课内化体验三种关系，思维训练课升华体验三种关系，层层递进，逐一攻破。单元教学过程第一课时：课型全章感受课。本课时内容主要涉及抛掷啤酒瓶盖、抛硬币两个实验，让学生初步感知频率的稳定性，试下概率定义；通过两个实验对比分析游戏公平性，感知等可能事件并简单计算，猜想并试着列举两步实验可能出现的情况。设计意图：本堂课让学生充分体验由旧知识向新知识的生长过程，仅涉

6、及初步感知，试下定义，尝试列举，在系统知识形成之前带领学生构建一个提纲挈领。后置学：构建一个本章的简单框架。设计意图：引导出后续研究问题或方向。本课时资源与技术支持：主要参考整组初中教学经验丰富老师设计，完成课堂实录。设计意图：正确掌握该学段学生学情引出纲领，真正走进课堂掌控学生学情。（1课时）第二课时：课型局域整合课。本课时内容主要对频率与概率、古典概型和几何概型、列表和画树状图列举并解题这三大类关系进行深入解读。设计意图：在第一课时基础上让学生深入体验三种关系，培养学生思维的组织性和深刻性，让类比思想和对比思想自然发挥。前置学：让学生熟读教材，了解教材上设计这三类关系的概念定义并完成局域整

7、合课学案概念性填空题。设计意图：回归教材，落脚知识中心，为学生正确解读作铺垫。本课时资源与技术支持：几何画板，研究生主研概率与统计的组内成员参与编写。设计意图：用几何画板让学生客观感受，把握对三类关系解读的正确性。（2课时）第三课时：课型解题训练课。本课时内容主要对频率与概率、古典概型和几何概型、列表和画树状图三大板块进行训练。设计意图：在具体解题中，进一步对知识加深认识及训练过手，培养思维的敏捷性、灵活性。后置学：对三大类题型解题进行总结分析，研究解题套路。设计意图：让学生形成自己的解题总结。本课时资源与技术支持：全员参编，近五年中考分析，真题分析。设计意图：保证选题精且方向准。（1课时）第

8、四课时：课型思维训练课。本课时主要对文字信息含量较大的概念、公式进行理解运用，进一步探究转盘、游戏公平问题，摸小球放回与不放回问题，概率与频率，复杂图形几何概型，与不等式、函数、方程等结合（这部分综合题作为移动包，具体使用情况取决于概率在那个时间点上）。设计意图：对这部分问题进行更高层次更深入的研究，达到对数学思维的全方位培养。后置学：自主设计相关实验。设计意图：激励真正运用概率知识处理生活中难以抉择的问题，而不是仅仅是停留在纸上解题。本课时资源与技术支持：高中教学经验教师参编。设计意图：把握高度和与高中知识的衔接度。（1课时）第五课时：课型归纳总结课。不是严格意义上的一堂讲授课，而是选择以全

9、年级同学数学实践性活动的形式展开。举办向阳杯第一届学生微说课大赛-“我与概率有个约会”。设计意图：跳出传统框架的约束，让学生参与微说课，微字即与师说课相比降低了难度，但是依然保留说课精髓，让学生从各个方面全方位感知本章学习。前置学：从单元内容分析、单元学习目标分析、学习过程中易错点、易混淆点分析、作业小考错题归类分析几个板块完成说课，可自行准备任何形式辅助说课的资源素材。设计意图：让学生有充足的时间全方位渗透单元知识点并归纳总结，促成表达能力的提升和知识系统内化。本课时资源与技术支持：学校各部门协同配合，全组人员参编微说课方案设计并形成纸质文档。设计意图：让活动更具可行性，学生更具操作性，真正

10、落实到单元知识归纳。教学反思：从老师的角度，谈谈单元式整体教学法带来的章节知识讲授感悟，采访学生，从学生的角度谈谈单元式整体教学法带来的章节知识学习体会。全章感受课【学习目标】让学生初步感知频率的稳定性，试下概率定义；通过两个实验对比分析游戏公平性，感知等可能事件并简单计算；猜想并试着列举两步实验可能出现的情况。【学习过程】活动探究一：活动探究一：四人一组做40次掷啤酒瓶盖的游戏，并将数据记录在下表.实验总次数凸面朝上的次数凸面朝下的次数凸面朝上的频率凸面朝下的频率注：在n次重复实验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率.累积全班同学的实验结果，并将实验数据汇总填入下表.实验总

11、次数n凸面朝上的次数凸面朝上的频率问题：（1）通过上面的实验，你认为凸面朝上和凸面朝下的可能性一样大吗？你是怎么想的？小明和小红一起做了1000次抛掷啤酒瓶盖的实验，其中有580次凸面朝下，据此，他们认为凸面朝下比凸面朝上可能性大，你同意他们的说法吗?活动探究二：抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况：你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？（1）实验操作：四人一组做40次抛掷硬币的游戏，并将数据记录在下表中：实验总次数正面朝上的次数正面朝下的次数正面朝上的频率正面朝下的频率（2）累计全班同学的实验结果，并将实验数据汇总填入下表：实验总次数正面朝上的次数正面朝下的次数正面朝上的频率正面

12、朝下的频率思考一下你觉得两个游戏哪个更公平？为什么？你发现了什么规律？猜想： 局域整合课【学习目标】了解频率与概率区别与联系：掌握利用树状图和列表求解概率问题；掌握古典概型和几何概型的算法.【学习过程】【学习过程】一：学习准备（1）、 在实验次数很大时事件发生的 ，都会在一个常数附近摆动，这个性质称为 。（2）、我们把这个刻画事件A发生的 的数值，称为事件A的 ，记为P(A)。（3）、一般的， 的实验中，我们常用不确定事件A发生的 来估计事件A发生的概率。 二、频率和概率的联系和区别1：在大量的重复的试验中，事件发生的频率会稳定地在概率附近摆动，因此我们在生活中也常常采用这种方法，求得随机事件

13、的频率，来估计随机事件发生的概率。2：频率在试验之前是不能确定的，它随着实验的次数变化而变化，概率是频率在理论上的一种期望值，即使你重复试验也无法得到准确值，它始终是个近似值。例1：小凡做了5次抛掷均匀硬币的实验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他认为正面朝上的概率大约为,朝下的概率为，你同意他的观点吗？即时练习1：小明抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为,那么，抛掷100次硬币，你能保证恰好50次正面朝上吗？例2：在大量重复试验中，关于随机事件的频率和概率，下列说法正确的是（ ）A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关 C.概率是随机的，与频率无关 D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越

14、接近概率即时练习2：对某批乒乓球的质量进行随机抽查，如下表所示：随机抽取的乒乓球数n1020501002005001000优等品数m7164181164414825优等品率m/n0.70.80.810.820.828(1）完成上表.(2）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率是多少？（精确到0.01）(3)如果再随机抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会一样么？(4)若该厂生产乒乓球1000个，根据（2）中估计的概率，估算优等品数.三、树状图与列表例1：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字、，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字和的概率是

15、多少？若不放回去，两次抽到数字为数字和的概率是多少？列表：放回去P（和）=_不放回去P（和）=_树状图 ： 放回去 不放回去 （1）列表法（适应两个过程）：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标（2）树状图法（适应一个两个或多个过程）：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率即时练习2：小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，试用如上的树状图和列表法求出恰好是白色上衣

16、和白色裤子的概率是多少？古典概型与几何概型探究1：考察两个试验，完成下面填空：试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币；试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子。(1)在试验一中，每次试验可能的结果有_个，即_或_；在试验二中，每次试验可能的结果有_个，即出现_、_、_、_、_、_；它们都是随机事件，我们把这些随机事件叫做_，它们是试验的每一个结果。(2)基本事件有如下的特点：（1）_;（2）_。 问题1：从字母a，b，c，d中任意取出两个不同的字母的试验中，有几个基本事件？分别是什么？新知1：观察对比,试验一中所有可能出现的基本事件有_个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是_；试验二中所有可能出现的基本事件

17、有_，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是_；问题1中所有可能出现的基本事件有_个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是_.发现两个试验和问题1的共同特点：（1）_；（有限性）（2）_。（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。小结：对于古典概型，任何事件A发生的概率计算公式为：_.对于古典概型，其中n表示试验的所有可能结果（基本事件）数，m表示事件A包含的结果（基本事件）数，则事件A发生的概率P（A）=_。例1：同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？探究2：飞镖

18、游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？ 问题2：在区间0，9上任取一个整数，恰好取在区间0，3上的概率为多少？ 问题3：在区间0，9上任取一个实数，恰好取在区间0，3上的概率为多少？ 新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_，_或_，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。几何概型的两个特点：（1）_性，（2）_性.几何概型概率计算公式：P(A)=_例2 、如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为_，_.即时练习3：1.从一个不透明的口袋中任意摸出一个球，是红球的概率为,已知袋中红球有3个

19、,则袋中所有的球的个数为 ( )A. 5 B. 8 C. 10 D.152.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是 ( )A. B. C. D. 3.已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即上车的概率是_.4在圆心角为90的扇形AOB中，以圆心为起点作射线OC,求AOC 和BOC都不小于30的概率是_.（请同学们考虑用多种方法解）解题训练课【学习目标】掌握概率的基本解题思路；掌握概率的典型例题.【学习过程】一、用频率估计概率一般地，在大量重复进行_时，事件A发生的频率m/n(n为实验的次数，m是事件发生的频数)总是接近于_，这时就把这个常数叫做_，记作_.例1：姚明在

20、某段时间内进行定点投篮训练，其成绩如下表：投篮次数1010010000投中次数9899012试估计姚明在这段时间内定点投篮投中的概率是 （精确到0.1）即时练习1：在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外，形状、大小、质地完全相同小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在20%和40%，则布袋中白色球的个数很可能是 个即时练习2：“六一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；多次重复上述过

21、程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 个二、古典概型在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n，事件A包含的基本事件个数为m，那么事件A发生的概率为_.例2：一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字-1、0、2和3从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为 。即时练习1 :一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 。即时练习2 :一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些求除颜色外都相同，再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸

22、到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为 .三、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例，则称这样的概率模型为_，简称为_.例3 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是_ 即时练习1 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“”所示区域内的概率是 即时练习2 汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的

23、概率为 四、树状图列表求概率树状图求概率：列举所有_的结果来计算随机事件发生的概率.重点：运用列举法（简单枚举、列表、画树状图）计算随机事件发生的概率。例4：在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为 。即时练习1： 从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是 。即时练习2： 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数

24、字，那么两次记录的数字之和为3的概率是 。五、星级达标1、在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 2、转动下列各转盘，指针指向红色区域的可能性最大的是( )3、从-0.5，1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线yax2+bx+c的开口向上的概率为 4、某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是 5、在四张背面完全相同的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是中

25、心对称图形的概率为 6、已知O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在O内的概率为P2，则=_. 7、2023年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有_人；（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的

26、度数为_；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率思维训练课【学习目标】熟记概率知识点；掌握各种概率题型；规范书写格式；抽象思维与数据分析的碰撞中拓展思维。【学习准备】【学习过程】题型一、概念，公式理解运用1下列说法正确的是（ ）A要了解襄阳市学生在网课期间视力情况适合全面调查B用频率估计概率，必须建立在大量重复试验的基础上C打开电视机正在放广告，这是一个确定事件D甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2=3，S乙2=4，说明乙的跳远成绩比甲稳定2某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关

27、闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去.如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是_即时练习1：在四张质地、大小相同的卡片上，分别画有如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（）A1BCD题型二、转盘，游戏公平问题3小亮和小芳都想参加学校杜团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘（1）转

28、盘转到2的倍数的概率是多少？；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由4杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？题型三、“摸小球”（注意放回与不放回的区别）放回5口袋中有白球和红球共个，这些球除颜色外其它都相同 小明将口袋中的球搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，小明继续重复这一过程，共摸了次，结果有次是

29、红球，请你估计口袋中红球的个数是（ ）ABCD不放回6甲、乙、丙、丁4人聚会，吗，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起（1）甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是 ；（2）甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的概率题型四、频率与概率7在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_题型五.几何概型8如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中

30、1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平形四边形一只小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在5号板区域的概率是_在正方形ABCD中，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为_题型五：综合：与不等式、函数、方程等结合（移动包）10如图，在质地和颜色都相同的三张卡片的正面分别写有-2，-1，1，将三张卡片背面朝上洗匀，从中抽出一张，并记为x，然后从余下的两张中再抽出一张，记为y，则点（x，y）在直线y=-x-1上方的概率为（ ）A B C D111在一个不透明的口袋里装有分别标有数字-3，-1，0，2的四个小球，除数字

31、不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀（1）从中任取一球，将球上的数字记为，求关于的一元二次方有实数根的概率；（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为。试用画树状图（或列表法）表示出点所有可能出现的结果，并求点落在双曲线上的概率拓展延伸12某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，三年后如果备件多余，每个以元（）回收现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机

32、器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如下频数分布直方图：记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（1）以100台机器为样本，请利用画树状图或列表的方法估计不超过19的概率；（2）以这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为决策依据，在与之中选其一，当为何值时，选比较划算？13我们来定义下面两种数：（一）平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数=（最左边数）2+（最右边数）2，我们就称该整数为平方和数例如：对于整数251它中间的数字是5，最左边数是2，最右边数是1是一个平方和数又例如：对于整数3254，

33、它的中间数是25，最左边数是3，最右边数是4，是一个平方和数当然152和4253这两个数也是平方和数；（二）双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数最左边数最右边数，我们就称该整数为双倍积数例如：对于整数163，它的中间数是6，最左边数是1，最右边数是3，是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，最左边数是3，最右边数是5，是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数注意：在下面的问题中，我们统一用字母表示一个整数分拆出来的最左边数，用字母表示该整数分拆出来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：（1）若一个三位整数为平方和数，且十位数为4，则