高中数学新课程创新教学设计案例(共50课时)

1、1 集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理论，称为集合论它是近、现代数学的一个重要基础一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上 另一方面， 集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识 这节内容是初中有关内容的深化和延伸首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子本节的重点是集合的

2、基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法 列举法与描述法正确表示一些简单的集合教学目 标初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法初步了解 “属于 ”关系的意义，理解集合中元素的性质掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解， 这里主要根据实例引出概念介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难

3、为易，便于学生掌握教学 设计一、问题情境在初中，我们学过哪些集合？在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合 ”，“负数的集合 ”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集在初中几何里学习圆时， 说圆是到定点的距离等于定长的点的集合几何图形都可以看成点的集合集“合 ”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？学生讨论得出：“全体 ”、“一类 ”、“一群 ”、“所有 ”、“整体 ”， 请写出 “小于 10”的所有自然数 0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7， 8， 9这些可以构成一个集合什么是集合？二、建立模型集合的概念（先具体举例

4、，然后进行描述性定义）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集集合中的每个对象叫作这个集合的元素集合中的元素与集合的关系：a 是集合 A 中的元素，称a 属于集合 A ，记作 a A ；a 不是集合 A 中的元素，称a 不属于集合 A ，记作 aA 例：设 B 1， 2， 3，则 1 B， 4B集合中的元素具备的性质确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了如上例，给出集合B ， 4 不是集合的元素是可以确定的互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的 例：若集合 A a， b，则 a 与 b 是不同的两个元素无序性：集合中的元

5、素无顺序例：集合 1， 2与集合 2， 1表示同一集合常用的数集及其记法全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N 非负整数集内排除0 的集合简称正整数集，记作N *或 N+；全体整数的集合简称整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作Q； 全体实数的集合简称实数集，记作R集合的表示方法问题如何表示方程x 2 3x 2 0 的所有解？列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法 例： x2 3x 2 0 的解集可表示为1， 2描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 例： x2 3x2 0 的解集可表示为x x2 3x 2 0不等式 x 3 2 的解集

6、可表示为x x 3 2Venn 图法例： x2 3x 2 0 的解集可以表示为（ 1， 2）集合的分类有限集：含有有限个元素的集合例如，A 1， 2无限集：含有无限个元素的集合例如，N 例如， x x 2 1 0， x R空集：不含任何元素的集合，记作注：对于无限集，不宜采用列举法三、解释应用例题用适当的方法表示下列集合由 1， 2， 3 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数平面内到一个定点O 的距离等于定长 l（ l 0）的所有点 P在平面 a 内，线段 AB 的垂直平分线不等式 2x 8 2 的解集用不同的方法表示下列集合（1） 2，4， 6， 8（2） xx 2x

7、 1 0（3） xN 3 x 7已知 A xN 66 xN 试用列举法表示集合A （A 0， 3， 5）用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合练习用适当的方法表示下列集合构成英语单词 mathematics（数字）的全体字母在自然集内，小于1000 的奇数构成的集合矩形构成的集合用描述法表示下列集合（1） 3，9， 27， 81， （2）四、拓展延伸把下列集合 “翻译 ”成数学文字语言来叙述（1）（ x， y） y x2 1， xR（2） y y x2 1， x R（3）（ x， y） y x2 1， xR（4） x y x2 1， y N * 点评这篇案例注重新、旧知识的联系

8、与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境； 从实例引出集合的概念， 再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识集合之间的关系教材分析集合之间的关系是集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁和工具这节内容是对集合的基本概念的深化，延伸，首先通过类比、实例引出子集的概念，再结合实例加以说明， 然后通过实例说明子

9、集包括真子集和两集合相等两种情况这节内容的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别教学目 标通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培养学生的抽象、概括能力了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培养学生对数学的理解能力通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学知识发生、发展、运用的过程，培养学生的科学思维方法任务分析这节内容是在学生已经掌握了集合的概念和表示方法以及两个实数之间有大小关系的基础上，进一步学习和研究两个集合之间的关系，采用从实例入手，由具体到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，知识的产生、

10、发生比较自然，易于学习、接受和掌握；采用分类讨论的方法阐述子集包括真子集、等集（两集合相等）两种情况，这可以使学生更好地认识子集、真子集、等集三者之间的内在联系教学 设计一、问题情境元素与集合之间的关系是什么？元素与集合是从属关系，即对一个元素x 是某集合 A 中的元素时，它们的关系为x A 若一个对象 x 不是某集合 A 中的元素时，它们的关系为xA 集合有哪些表示方法？列举法，描述法， Venn 图法数与数之间存在着大小关系，那么， 两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合： A 1， 2， 3， B 1， 2， 3， 4，5它们之间有什么关系呢？二、建立模型引导学生分析讨

11、论集合 A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素 集合 B 中的元素 4， 5 不是集合 A 中的元素与学生共同归纳，明晰子集的定义对于上述问题，教师点拨，A 是 B 的子集， B 不是 A 的子集子集： 对于两个集合 A ，B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即集合 A包含于集合 B ，或集合 B 包含集合 A ，记作 AB（或 BA），就说集合 A 是集合 B 的子集用符号语言可表示为：如果任意元素xA ，都有 x B，那么 AB 规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A ，有A 提出问题，组织学生讨论给出三个集合： A 1，2， 3， B 1， 2， 3，4，

12、 5， C 1， 2， 3A 是 B 的子集吗？ B 是 A 的子集吗？A 是 C 的子集吗？ C 是 A 的子集吗？教师给出真子集与两集合相等的定义上述问题中，集合A 是集合 B 的子集，并且集合B 中有元素不属于集合A ，这时，我们就说集合 A 是集合 B 的真子集；集合 A 是集合 C 的子集，且集合 A 与集合 C 的元素完全相同，这时，我们就说集合A 与集合 C 相等真子集： 如果集合 A 是集合 B 的子集， 即 AB，并且 B 中至少有一个元素不属于集合A ， 那么集合 A 叫作集合 B 的真子集，记作 AB 或 BA AB 的 Venn 图 为两集合相等：如果集合A 中的每一个

13、元素都是集合B 中的元素，即AB ，反过来，集合B 的每一个元素也都是集合A中的元素，即 BA ，那么就说集合 A 等于集合 B ，记作 AB A B 的 Venn 图为思考：设 A ， B 是两个集合， AB， AB ， A B 三者之间的关系是怎样的？子集、真子集的有关性质 由子集、真子集的定义可推知：对于集合 A ， B ，C，如果 AB ，BC，那么 AC对于集合 A ， B ，C，如果 AB， BC，那么 ACAA 空集是任何非空集合的真子集三、解释应用例题1. 用适当的符号（，）填空（1） 3 1， 2， 3（2） 5 5（3） 4 5（4） a a，b， c（5） 0（6） a，

14、b， c b， c（7） 0（8）（9） 1，2 2， 1（10） G x x 是能被 3 整除的数H x x 是能被 6 整除的数写出集合 a， b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集说出下列每对集合之间的关系（1） A 1， 2， 3， 4， B 3， 4（2） P x x2 1， Q -1， 1（3） N， N *（4） C x R x2 -1， D 0练习1. 用适当的符号（，）填空（1） a a（2） b a（3） 1， 2（4） a，bb， a（5） A 1， 2， 4B x x 是 8 的正约数2. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示A x x 是平行四边形， B xx

15、 是 菱 形 ， C xx 是矩形，D x x 是正方形拓展延伸填表表 2-1集合集合中元素的个数子集的个数真子集的个数a1 a， b2 a， b， c3 a，b， c， d4你能找出 “集合中元素的个数”与“子集的个数 ”、“真子集的个数 ”之间关系吗？如果一个集合中有n 个元素，你能写出计算它的所有子集个数与真子集个数的公式吗？（用 n 表达）点评这篇案例结构严谨， 思路清晰， 概念和关系的引出注重从具体到抽象、从特殊到一般、 从感性到理性的认识过程 具体地说就是， 先结合实例研究两个具体集合的关系，从而引出子集的定义，然后再结合实例说明AB ，包括 AB ，A B 两种情况，再给出真子集

16、、等集的定义 这样的处理方式， 符合学生的认知规律，符合新课程的理念， 例题与练习由浅入深， 注重数形结合， 使学生从不同角度加深了对集合之间的关系的理解拓展延伸注重培养学生从特殊到一般地解决数学问题的能力值得注意的是，在引出子集定义时，最好明确指出，集合之间的 “大小 ”关系实质上就是包含关系逻 辑 联 结 词教材分析在初中阶段， 学生已接触了一些简单命题，对简单的推理方法有了一定程度的了解在此基础上，这节课首先从简单命题出发，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借 助真值表，给出判断复合命题的真假的方法在高中数学中，逻辑联结词是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习

17、的出发点因此， 在教学过程中， 除了关注和初中知识密切的联系之外，还应借助实际生活中的具体例子，以便于学生理解和掌握逻辑联结词教学重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解教学目 标理解逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的含义，了解 “或”、“且”、“非”的复合命题的构成能熟练判断一些复合命题的真假性通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，准确性，并在今后数学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词任务分析在初中数学中， 学生已经学习了一些关于命题的初步知识，但是， 对命题和开语句的区别往往搞不清因此，应首先让学生弄懂命题的含义，以便其掌握复合命题由于逻辑中的 “或”、

18、 “且”、“非”与日常用语中的 “或 ”、“且”、 “非”的意义不完全相同，故要直接讲清楚它们的意义，比较困难因此，开始时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解，这样处理有利于掌握重点，突破难点为了加深对 “或”、“且”、 “非”的理解，最后应设计一系列的习题加以巩固、深化对知识的认识程度教学 设计一、问题情境生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器例如，洗衣机在甩干时，如果“到达预定的时间 ”或“机盖被打开 ”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机与此对应的电路，就叫或门电路又如，电子保险门在“钥匙

19、插入 ”且“密码正确 ”两个条件都满足时，才会开启与此对应的电路，就叫与门电路随着高科技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题因此，我们有必要对简易逻辑加以研究二、建立模型在初中，我们已学过命题，知道可以判断真假的语句叫作命题试分析以下 8 个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题（1） 12 53 是 12 的约数是整数是整数吗？（5） x10 可以被 2 或 5 整除菱形的对角线互相垂直且平分不是整数（可以让学生回答，教师给出点评）我们可以看出，（ 1）（ 2）是真命题；（ 3）是假命题；因为（ 4）不涉及真假；（ 5）不能判断真假，所以（ 4）（ 5）都不

20、是命题；（6）（ 7）（ 8）是真命题其中， “或”、“且”、“非”这些词叫作逻辑联结词像（1）（ 2）（ 3）这样的命题，不含逻辑联结词，叫简单命题；像（6）（ 7）（ 8）这样，由简单命题与逻辑联结词构成的命题， 叫复合命题如果用小写的拉丁字母p， q， r，s， 来表示命题（这里应明确（6）（ 7）（ 8）三个命题中 p， q 分别代表什么），则上述复合命题（6）（ 7）（ 8）的构成形式分别是p 或 q， p 且q，非 p其中，非 p 也叫作命题 p 的否定对于以上三种复合命题， 如何判断其真假呢？下面要求学生自己设计或真或假的命题来填下面表格：结合学生回答情况， 将上面的表格补充完整

21、，并给出真值表的定义 要求学生对每一真值表用一句话总结：“非 p”形式的复合命题的真假与p 的真假相反“p且 q”形式的复合命题当p 与 q 同为真时为真，其他情况时为假“p或 q”形式的复合命题当p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真三、解释应用例题分别指出下列各组命题构成的“p或 q”、 “p且 q”、“非 p”形式的复合命题的真假（1） p： 2 2 5， q： 3 2（2） p： 9 是质数， q： 8 是 12 的约数（3） p： 1 1， 2， q： 1 1， 2（4） p： 0， q： 0注：引导学生进一步熟悉真值表说出下列复合命题的形式，并判断其真假（1） 55（ 2）51解

22、：（ 1）p 或 q 形式其中， p： 5 5， q： 55 p 假， q 真， p 或 q 为真，即 55为真命题（2）p 或 q 形式其中， p：5 4，q：54，p 真， q 假， p 或 q 为真，即 54为真命题练习命题：方程 x2 1 0 的解是 x 1，使用逻辑联结词的情况是（）没用使用逻辑联结词使用逻辑联结词 “且 ”使用逻辑联结词 “或 ”使用逻辑联结词 “非”（ C）由下列命题构成的“p或 q”、“p且 q”形式的复合命题均为真命题的是（）A. p ： 4 4 9， q： 7 4B. p： a a， b， c， q： a，C. p： 15 是质数， q： 4 是 12 的约

23、数D. p： 2 是偶数， q： 2 不是质数（ B）四、拓展延伸在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”、“且”、“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，从而解决问题例：小李参加全国数学联赛，有三名同学对他作如下猜测：甲：小李非第一名，也非第二名； 乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名，而是第一名竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？由上可知：甲、乙、丙均为“p且 q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题 ”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此小李得了第一名还有一些逻辑问题，应从命题与命题之间关系去寻找解题思路例：曾经在校园内发生过这样一

24、件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足球， 忽然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道： “玻璃是谁打破的？ ”甲：是乙打破的；乙：不是我，是丁打破的； 丙：肯定不是我打破的； 丁：乙在撒谎现在只知道有一个人说了真话，请你帮李主任分析：谁打破了玻璃，谁说了真话分析此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p”与“非 p”形式， 因此说真话者可能是乙， 也可能不是乙，是丁由此分析可知，是丙打破的玻璃点 评这篇案例的突出特点是对知识的认知由浅入深，层层渐进 这篇案例的所有例子均结合学生的数学水平取自学生掌握的知识范围之内或者直接源于现实生活，这有利于学生对问题

25、的实质的理解和掌握 如果在 “建立模型 ”的结束时及时给出相关的例子，使学生正确区分哪些是简单命题，哪些是复合命题，学生的印象会更深四 种 命 题教材分析在初中， 学生接触的简单的逻辑推理及命题间关系（原命题和逆命题） 主要来源于几何知识， 有很强的几何直观性，便于掌握高中学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习四种 命题及四者之间的关系，以适应高中数学学习的需要，这节课的主要教学目的就在于此同时，这节课又是学习和运用反证法这种基本解题方法的基础这节课的重点是四种命题间的关系学生现有的认知水平虽然脱离了初中阶段的简单几何知识，但是新的知识体系并未形成，因此，随着学生对概念理解的深入，这节课的

26、例题将逐步引导学生理解几何命题，进而理解代数命题这种处理方式符合学生的认知规律教学目 标通过这节课的教与学， 应使学生初步理解四种命题及其关系，进而使学生掌握简单的推理技能，发展学生的思维能力同时，帮助学生从几何推理向代数推理过渡任务分析在这节课的教学过程中，要注意控制教学要求， 即只研究比较简单的命题，而且命题的条件和结论比较明显；不研究含有逻辑联结词“或 ”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题这节中 “若 p 则 q”形式的命题中的 “p”， “q可”以都是命题，也可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题教学 设计一、问题情境在以前的数学学习中，有这样的知识：菱形的对角线相互垂

27、直那么，这一真命题变一下形式是否真命题呢？如：“如果一个四边形对角线相互垂直，那么它是菱形”，再如： “对角线不相互垂直的四边形不是菱形”这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢？为解决这一问题，这节课我们就来学习“四种命题 ”二、问题解决首先让学生回忆初中学习过的有关命题的定义：互逆命题、原命题、逆命题（学生回答， 教师补充完整）例：如果原命题是同位角相等，两直线平行 让学生说出它的逆命题两直线平行，同位角相等再看下面的两个命题：同位角不相等，两直线不平行两直线不平行，同位角不相等在命题（ 1）与命题（ 3）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 这样的两个命题叫

28、作互否命题把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的否命题在命题（ 1）与命题（ 4）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定， 这样的两个命题叫作互为逆否命题把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆否命题换句话说：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题同时否定原命题的条件和结论，所得命题是否命题交换原命题的条件和结论，并同时否定，所得命题是逆否命题一般地， 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用非 p 和非 q 分别表示 p 和 q 的否定 于是，四种命题的形式就是：原命题：若 p 则 q 逆命题：若 q 则 p否命题：若非p 则 非 q 逆否

29、命题：若非 q 而非 p下面让学生考虑这样一个问题：四种命题之间，任意两个是什么关系？（学生回答，教师补充，最后出示下图）给出一个命题： “若 a0，则 ab 0 ”让学生写出其他三种命题，并判断四个命题的真假， 然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题的真假有某种关系不难发现如下关系：原命题为真，它的逆命题不一定为真原命题为真，它的否命题不一定为真原命题为真，它的逆否命题一定为真三、解释应用例题把下列命题先改写成 “若 p 则 q”的形式，再写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假负数的平方是正数正方形的四条边相等分析：关键是找出原命题的条件p 与结论 q解：（ 1）原命题可以

30、写成：若一个数是负数，则它的平方是正数 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数逆命题为假否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数否命题为假逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数逆否命题为真（2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等 逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形逆命题为假否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等否命题为假逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形逆否命题为真设原命题是 “当 c0 时，若 ab，则 acbc ”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假分析： “当 c 0 时”是大前提，写其他命题

31、时应该保留，原命题的条件是a b，结论是 ac bc解：逆命题：当 c 0 时，若 acbc，则 a b逆命题为真否命题：当c 0 时，若 ab，则 acbc否命题为真逆否命题：当c0 时，若 acb，c则 ab逆否命题为真练习命题 “若 a b，则2bc2 ，（ a， b， cR） ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真ac命题个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0（ B）在命题 “若抛物线 y ax2 bx c 的开口向下， 则 x ax2 bx c0的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的是（）三命题都真B.三命题都假C. 否命题真D. 逆否命题真（ D）四、拓展延伸在对某一命题

32、的条件和结论否定时，有些问题， 学生易出错 例如， 对如下词语的否定： “任意的 ”、“所有的 ”、“都是 ”和“全是 ”等下面以 “全是 ”为例进行说明：所谓 “否定 ”，即其对立面，显然 “全是 ”的对立面中除了 “全不 是”之外，还有 “部分也是 ”这一部分因此，“全是 ”的对立面（即否定）应是“不全是 ”，而 不是 “全不是 ”同样，“任意的 ”否定应是 “某个 ”，“所有的 ”否定应是 “存在一个 ”或“存在一些 ”， “都是 ”的否定是 “不都是 ”例如，命题：若x 2 y 2 0，则 x， y 全是 0其否命题是：若x2y 20，则 x， y 不全是 0点评这篇案例涉及两个问题：

33、一个是定义，一个是规律，即四种命题间的关系为了加深学生的认识，这篇案例突出了 “学生参与 ”，即让学生通过例子认识定义，在活动中自己归纳、总结规律同时，这篇案例又设计了适量的例题和练习，以巩固学生在课堂活动中掌握的知识再者，这篇案例中所有例子都十分简单，但又极具有代表性，易于学生接受和理解，这也是学生能积极地参与到课堂活动中去的一个必要条件美中不足的是，这篇案例的个别环节对“反例 ”的运用稍显单薄充分条件与必要条件教材分析充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容学习数学需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理， 这就离不开对充分条件与必要条件的掌握和运用，而且它们也是认识问题、研究问题的工

34、具这节内容在“四种命题 ”的基础上，通过若干实例，总结出了充分条件、必要条件和充要条件的概念，给出了判断充分条件、 必要条件的方法和步骤教学的重点与难点是关于充要条件的判断教学目 标结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义理解充要条件，掌握判断充要条件的方法和步骤通过充要条件的学习，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力任务分析这节内容是学生在学习了“四种命题 ”、会判断一个命题的真假的基础上，主要根据“p q” 给出了充分条件、必要条件及充要条件虽然从实例引入，但是学生对充分条件、必要条件的理解， 特别是对必要条件的理解有一定困难对于本节内容的学

35、习， 首先要分清谁是条件， 谁是结论，其次要进行两次推理或判断若 “条件结论 ”，则条件是结论的充分条件，或称结论是条件的必要条件若 “条件结论 ”，则条件是结论的不充分条件，或称结论是条件的不必要条件教学 设计一、问题情境提出问题写出命题 “若 x 0，则 x2 0”的逆命题、 否命题和逆否命题， 并分别判断原命题、 逆命题、否命题、逆否命题的真假原命题：若 x 0，则 x 2 0真命题 逆命题：若 x 2 0，则 x 0假命题 否命题：若 x0，则 x20假命题 逆否命题：若x 20，则 x0真命题若“ p 则 q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假“若 p 则 q”为真，即如果p

36、 成立，那么q 一定成立，记作pq 或 qp“若 p 则 q”为假，即如果进一步的问题p 成立，那么q 不一定成立，即由p 推不出 q，记作 pq“若 x 0，则 x 2 0”，为真，可记作 “p q”x 0 是 x 2 0 的什么条件？x 2 0 是 x 0 的什么条件？二、建立模型学生分析讨论，教师点拔（1） x 0 x 2， x 0 是 x 2 0 的什么条件？在这个问题中， “x 0”是“条件 ”，“x2 0”是“结论 ”；已知 x0 x2 0 表示若 “条件 ”成立，则“结论 ”一定成立，说明 “条件 ”蕴涵 “结论 ”，说明 “条件 ”是 “结论 ”的充分条件（2） x 2 0 x

37、 0，x2 0 是 x 0 的什么条件？在这个问题中， “x2 0”是“条件 ”， “x 0”是“结论 ”；已知 x0 x2 0 表示若 “结论 ”成立，则“条件 ”一定成立， 说明 “结论 ”蕴涵 “条件 ”，即若 “条件 ”成立，则“结论 ”不一定成立， 说明 “结论”是“条件 ”的必要条件师生共同参与，给出充分条件、必要条件的定义如果已知 pq，那么， p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件充要条件问题：记 p：三角形的三条边相等，q：三角形的三个角相等问：p 是 q 的什么条件？ 解：（ 1） pq，即 p 是 q 的充分条件（2） qp，即 p 是 q 的必要条件综合（ 1

38、）（ 2），我们就说 p 是 q 的充要条件如果 pq，且 qp，记作 pq，这时， p 既是 q 的充分条件，又是q 的必要条件，那么就说 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件提出问题，组织学生讨论如何判断充要条件？分清谁是条件 p，谁是结论 q进行两次推理或判断，即判断pq 是否成立， qp 是否成立根据（ 2）写出结论三、解释应用例题指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件， q 是 p 的什么条件（1） p： x 0； q： x 20（p 是 q 的充分不必要条件， q 是 p 的必要不充分条件）（2） p： x y； q：x 2y 2（p 是 q 的充分不必要条件， q 是 p

39、 的必要不充分条件）p：两三角形面积相等；q：两三角形全等（p 是 q 的必要不充分条件， q 是 p 的充分不必要条件）p：两直线平行； q：内错角相等（p 是 q 的充要条件， q 是 p 的充要条件）（5） p： x y； q：x 2y 2 1（p 是 q 的既不充分又不必要条件，q 是 p 的既不充分又不必要条件）指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件（1） p：（ x 2）（ x 3） 0； q： x 3（2） p：四边形对角线相等；q：四边形是矩形（3） p： a0； q： ab0（4） p： a 5 是无理数； q： a 是无理数（5） p： x5； q： x3练习下列各组命

40、题中的p 是 q 的什么条件？（1） p： x2 y2 0， q： xy 0（2） p： m 0；q： x 2 xm 0 有实数根（3） p： a b； q： a2 b2（4） p： x2 3x 4； q：x（5） p： x -1； q： x1（6） p： a， b 都是偶数； q： ab 是偶数（ 1）如果原命题若 p 则 q 为真而逆命题为假，那么p 是 q 的条件如果原命题若 p 则 q 为假而逆命题为真，那么p 是 q 的条件如果原命题若 p 则 q 与其逆命题都为真，那么p 是 q 的条件如果原命题若 p 则 q 与其逆命题都为假，那么p 是 q 的条件四、拓展延伸已知 p，q 都是

41、 r 的必要条件， S 是 r 的充分条件， q 是 S 的充分条件，那么，S 是 q 的什么条件？r 是 q 的什么条件？p 是 q 的什么条件？关“于 x 的方程 ax2 2x 1 0 至少有一个负的实根 ”的充要条件是什么？“23x 10 x k 0 有两个同号且不相等实根”的充要条件是什么？点评这篇案例注重新、旧知识的内在联系，以旧引新，过渡自然首先，复习已学过的知识“四q，p种命题 ”和判断命题的真假，并以此巧妙地引出了推断符号pq其次，在此基础上，通过实例，创设问题情境，引出课题p 是 q 的什么条件最后，明确充要条件，并给出判断充要条件的方法和步骤环环相扣，层层深入，重点突出，抓

42、住了关键例题与练习由浅入深， 符合学生的认知规律 拓展延伸富有新意， 有利于培养学生的探索能力和创新意识， 有利于培养学生的思维能力和思维品质，整个设计圆满地完成了教学任务函 数 的 概 念教材分析与传统课程内容相比，这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式事实上，“先讲映射后讲函数 ”比“先讲函数后讲映射”，有利于学生更好地理解函数概念的本质第一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然， 利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；第二，直接进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上， 而不必花大量精力学习映射，使其认识映射与函数的关系后才能理解函数的概念函数概

43、念是中学数学中最重要的概念之一函数概念、 思想贯穿于整个中学教材之中通过实例， 引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念对函数概念本质的理解， 首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、 螺旋式上升地理解函数的本质教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解教学目 标通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用了解构成函数的要素

44、，会求一些简单函数的定义域和值域了解映射的概念任务分析学生在初中对函数概念有了初步的认识这节课的任务是在学生原认知水平的基础上，用集合与对应的观点认识函数，了解构成函数定义的三要素，认识映射与函数是一般与特殊的关 系教学 设计一、问题情景一枚炮弹发射后，经过60s 落到地面击中目标炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度 h 随时间 t 的变化规律是 h 294t 4.9t2，（ 0t 6，00h441）0 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 年到 2001 年的变化情况国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量

45、的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五 ”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化表 6-1“八五 ”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数（ %）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9问题：分析以上三个实例，对任一个给定的，射高、臭氧层空洞面积、恩格尔系数是否有值与之对应？若有，有几个？二、建立模型在学生充分分析和讨论的基础上，总结归纳以上三个实例的共同特点在三个实例中， 变量之间的

46、关系都可以描述成两个集合间的一种对应关系：对于数集中的任一个，按照某个对应关系，在数集中都有唯一确定的值与之对应教师明晰通过学生的讨论归纳出函数的定义：设 A ，B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任一个 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f（ x）与它对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作： yf（ x）， x A 其中， x 叫作自变量， x 的取值范围 A 叫作函数的定义域，与 x 的值相对应的y 叫作函数值，函数值的集合：y y f（ x）， x A叫作函数的值域注意：（ 1）从函数的定义可以看出：函数由定义域、对应法则、值域

47、三部分组成，它们称为函数定义的三要素其中，y f（ x）的意义是：对任一xA ，按照对应法则 f 有唯一 y与之对应（2）在函数定义的三个要素中，核心是定义域和对应法则，因此，只有当函数的对应关系和定义域相同时，我们才认为这两个函数相同思考：函数 f （x）与 g（ x）是同一函数吗？三、解释应用例题指出下列函数的定义域、值域、对应法则各是什么？如何用集合与对应的观点描述它们？（1） y 1，（ x R）（ 2） y ax b，（ a0）（3） y ax2 bx c，（ a 0）（ 4） y kx，（ k0）解：（ 3）定义域： x x R，值域： y y对应法则 f：自变量 a（自变量） 2

48、 b（自变量） c，即： f： xax 2 bx c（1），（ 2），（ 4）略已知：函数 f（ x）（1）求函数的定义域（2）求 f（ 3）， f（）的值（3）当 a0 时，求 f（ a）， f（ a 1）的值 目的：深化对函数概念的理解求下列函数的值域（1） f（ x） 2x（ 2） f（ x） 1 x x2 ，（ x R）（3） y 3 x，（ x N ）解：（ 1） y y0（2） y y（ 3） 3， 2， 1， 0， 1， 2， 4. （ 1）已知： f（ x） x 2，求 f（ x 1）（2）已知： f（x 1） x2，求 f（ x） 目的：深化对函数符号的理解解：（ 1） f（

49、 x 1）（ x 1） 2（2） f（ x 1） x 2（ x 1） 1 2（ x1） 2 2（ x 1） 1f （x） x2 2x 1练习1. 求下列函数的定义域2. 已知二次函数 f（ x） x2 a 的值域是 2， ），求 a 的值3. 函数 f（ x） x， x表示不超过 x 的最大整数，求：（1） f（ 3.5），（ 2） f（ 3.5）四、拓展延伸在函数定义中，将数集推广到任意集合时，就可以得到映射的概念集合 A a1， a2到集合 B b1， b2的映射有哪几个？解：共有 4 个不同的映射思考：集合 A a1， a2， a3到 B b1， b2， b3的映射有多少个？点 评这篇案

50、例设计完整， 条理清楚 案例从三个方面（实际是函数的三种表示方法，为后续内容埋下伏笔） 各举一个具体事例， 从中概括出函数的本质特征， 得出函数概念，体现了由具体到抽象的认知规律， 有利于学生理解函数概念，更好地体现了数学从实践中来例题、 练习由浅入深，完整，全面映射的概念作为函数概念的推广，处理方式有新意 “拓展延伸 ” 的设计为学生加深对概念的理解，提供了素材在“问题情景 ”中的三个事例中， 第一个例子中的 “对应关系 ”比较明显，后两个例子则不太明显如果能在教学设计中加以细致对比说明，效果会更好函数的表示方法教材分析函数的表示方法是对函数概念的深化与延伸解析法、 图像法和列表法从三个不同

51、的角度刻画了自变量与函数值的对应关系这三种表示方法既可以独立的表示函数，又可以相互转化； 既各有侧重和优势， 又各有劣势和不足； 既相互补充， 又使函数随自变量的变化而变化的规律直观和具体 这节内容，是初中有关内容的深化、延伸与提高教材在复习初中三种表示 方法定义的基础上， 分三个层次对三种表示方法进行了比较第一个层次： 回顾与比较；第二个层次：选择与比较；第三个层次：转化与比较教学重点：画简单函数的图像；教学难点：分段函数的解析式求法及其图像的作法教学目 标在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数通过具体实例，了解简单的分段函数，并解简单应用能根据简单

52、的实际问题，建立函数关系式，画出它们的图像，进一步理解、体会函数的意义任务分析学生在初中已经对这节内容有了初步的认识这节的教学任务是在学生原认知水平的基础上，用对应的观点认识函数，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数，明确三种表示方法各有优劣， 在一定条件下可以相互转化为突出根据简单的实际问题建立函数关系式，画出它们的图像这个重点， 除学习教材中的实际问题外，又增加了练习 为突破分段函数这个难点增加了高斯函数作为练习教学 设计一、问题情景复习引入复习初中三种函数的表示方法学生回答函数三种表示方法的定义方法探究复习与比较例：某种笔记本的单价是5 元，买 x（ x 1，2，3， 4，5）个笔记本需

53、要 y 元试用三种表示方法表示函数y f（ x）引导学生分析讨论三种表示方法的各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？函数图像上的点满足什么条件？满足函数关系式yf （ x）的点（ x，y）在什么地方？二、建立模型教师明晰函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等 采用解析法的条件：变量间的对应法则明确；采用图像法的条件：函数的变化规律清晰；采用列表法的条件：函数值的对应清楚函数图像上的点满足函数关系式y f（ x），满足函数关系式y f（ x）的点（ x， y）在函数图像上，故函数图像即为点集p（ x， y） y f（ x）， x A 比较与分析例：下表是某校高一（1

54、）班三名同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分： 表 7-1第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三名同学在高一学年度的数学学习情况进行分析学生分析讨论：本例是用何种方法表示函数的？要分析“成绩 ”与“测试次数 ”之间的变化规律，用何种方法表示函数？注意：在这里选择何种表示方法，要根据问题的具体情况和三种表示方法的长处来确定教师进一步明晰将“成绩 ”与“测试次数 ”之间的函数关系用函数图像表示出来，就能比较直观地看到成绩的变化情况转化与比较

55、例：画出函数y x的图像教师归纳、整理初中作函数图像的基本方法是列表、描点和连线， 但这个方法比较烦琐 我们可以把初中学过的一次函数、 反比例函数、 二次函数的图像作为基本图像，把要作的函数的图像转化为基本函数的图像来解决y x，若不含 “ ”号，则是我们初中学过的y x，现在含绝对值号，故去绝对值号，得分段函数而分段函数的图像只要分段作出即可三、解释应用练习一1. 作出 y x 1的图像，与函数y x的图像比较，并说出你发现了什么 2. 作出 y x 2 2 x 1 的图像3. 若 x 2 2x 1 m，当 m 为何值时， 关于 x 的方程有四个解？三个解？两个解？无解？例题某市空调公共汽车

56、的票价按下列规则制定：乘坐汽车不超过5km ，票价 2 元超过 5km ，每增加 5km ，票价增加 1 元（不足 5km 的按 5km 计算）已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1km，如果沿途（包括起点站和终点站）有21 个汽车站，请根据题意写出票价与路程之间的函数解析式，并画出函数的图像学生分析讨论：函数定义域是什么？值域是什么？图像如何作？教师引导学生写出如下解答过程 解：设票价为y 元，路程为 xkm 如果某空调汽车运行路线中设21 个汽车站，那么汽车行驶的路程约为20km，故自变量 x的取值范围是x（ 0， 20，且 x N，函数 y 的取值范围是 y 2， 3， 4， 5 由空调汽

57、车票价的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数的图像函数图像共有20 个点构成像例 3、例 4 这样的函数称为分段函数，分段函数的图像应分段作练习二1. 下图都是函数的图像吗？为什么？（ D）目的：进一步深化对函数概念和函数图像的理解某人从甲镇去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行，图中横轴表示运动的时间， 纵轴表示此人与乙村的距离，则较符合该人走法的图像是（）（ D）小明从甲地去乙地， 先以每小时 5km 的速度行进 1h，然后休息 10min ，最后以每小时 4km的速度行进了30min 到达乙地试写出速度 v（ km h）关于出发时间 t（ h）的函数关系式，并画出

58、图像试写出小明离开甲地s（ km ）关于出发时间 t（ h）的函数关系，并画出图像四、拓展延伸设 x 是任意的一个函数， y 是不超过 x 的最大整数，记作： y x，问： x 与 y 之间是否存在函数关系？如果存在，写出这个函数的解析式，并画出这个函数的图像答案：存在函数关系，是著名的高斯函数现只写出x 1， 1的函数关系： y图像略某家庭 2004 年 1 月份、 2 月份和 3 月份煤气用量和支付费用如下表所示： 表 7-2月份用气量煤气费1 月份4m24 元2 月份25m214 元3 月份35m219 元该市煤气的收费方法是：煤气费基本费超额费保险费若每月量不超过最低限度Am 3，则只

59、付基本费3 元和每月每户的定额保险C 元；若用气量超过 Am 3，超过部分每立方米付B 元，又知保险费 C 不超过 5 元根据上面的表格，求A ，B， C分析：可设每月用气量xm 3，支付费用 y 元，建立函数解析式解之 解：设每月用气 xm3，支付费用 y 元，则由 0 C5，得 3 C8由第 2 和 3 月份的费用都大于8，得两式相减，得B 0.5， A 2C 3 再分析 1 月份的用气量是否超过最低限度不妨令 A 4，将 x 4 代入 3 B（ x A） C，得 3 0.5 4（ 3 2C） C4， 由此推出 3.5 4，矛盾，A4， 1 月份付款方式为 3 C3 C4 C 1 A 5A

60、 5， B 0.5， C 1点评这篇案例分三个层次对三种表示方法进行了比较：第一层次：用一个简单的例子对函数的三种表示方法进行了复习和比较；第二层次：对函数的三种表示方法进行了比较，选择了适当的方法表示函数； 第三层次：三种表示函数的方法的相互转化三个层次，层层深入，并对三种表示方法的优、劣进了比较，重点突出拓展延伸通过高斯函数， 加深了学生对抽象函数、分段函数的认识 在注重三种表示方法的同时，加强了学生应用意识的培养函数的单调性教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一， 它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起 在初中学习函数时， 借助图像的直观性研究了一些函数的增减性 这节内