概率论与数理统计期末总复习小结

1、第二、三、四章随机变量的分布及数字特征习题课一、小结一维随机变量的概率分布随机变量X的分布函数F(x)=Pxx(-gVxg)的概念与性质离散型随机变量的概率分布与性质连续型随机变量的概率密度与性质重要分布(0-1分布、二项分布、超几何分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)二维随机变量的概率分布分布函数的概念与性质、边缘分布函数二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度、条件密度重要分布(二维均匀分布、二维正态分布)随机变量的独立性随机变量的函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布随机变量的数字特征数学期

2、望定义、公式与性质方差的定义与性质原点矩与中心矩协方差定义与性质相关系数的定义与性质不相关的充要条件极限定理切比雪夫不等式大数定律中心极限定理二、习题1每次试验成功的概率为p(0p1),重复进行试验直到第n次才取得r(1rn)次成功的概率是【B】C；pr(1-P)n-r(B)cn：1pr(1-p)n-r(C)pr(1-p)n-r(D)Cn-ipr-1(1-p)n-r2设随机变量XN(卩Q2)，则随着a2的增大，概率(B)单调减小(IX-卩0，有ii(A)Ps-11-丄82(B)PS-91-Z82(C)PS-91洛(D)P1-丄I82i|9S-15某事件的概率为1/4，如果试验8次，则该事件就【

3、D】(A)定出现两次(B)定出现6次.=1(C)至少出现1次(D)出现次数不能确定设两个相互独立的随机变量X与Y的方差分别是DX=4，DY=2，则随机变量3X-4Y的方差是.【68】设有5枚1分硬币、3枚2分硬币和2枚5分的硬币，从中任取5枚.求取出金额超过1角的概率为.【0.5】设X与Y相互独立且都服从B(1,05)，则PX=Y=.0.5】；,xG0,1,2PXk=r则k的取值范围是.【1,3】0,其他.EX=EY=09设随机变量x的概率密度为f(x)彳xG3,6,若10.设随机变量X与Y的相关系数为0.5,EX2=EY2=2，贝0E(X+Y)2=.【6】11盒中放有6个乒乓球，其中4个是新

4、的，第一次比赛时，从中任取2个来用，比赛后放回盒中；第二次比赛时再从盒中任取2个.（1）求第二次取出的两球都是新球的概率；（2）若已知第二次取出的两球都是新球，则第一次取出的两球是一新一旧的概率.【（1）016；067】12设X服从区间（0,1）上的均匀分布，求Y=ex的分布密度；Y=2lnX的分布密度.【厂12八fYG）=”e2,y0,】0,其它.13.假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克，设每100个螺丝钉为一袋，求每袋螺丝钉的重量超过5100克的概率；若这样的螺丝钉装有500袋，求500袋中最多有4%的重量超过5100克的概率已知=0.9772,（2.59）

5、=0.995.【0.02275；2）0.995】14假定到某服务单位办事的等待时间X（单位：分钟）服从以丄为参数的指数分布，而某人等待时间超过15分钟就会离去.10设此人一个月要去该处10次，试求：此人离去的概率；一个月里至少有两次离去的概率.【0.2231；0.6899】15设(X,Y)在区域D内服从均匀分布，D为OWyWI,yxW1,求关于X和Y的边缘分布密度；(2)X与Y是否相互独立，为什么？求X与Y的协方差Cov(X,Y),、2x,0vxv1f2-2y,0y1,fx(x)=(0,其它；fY(y)=(0,其它.1不独立；Cov(X,Y)=1】36第五、六、七章习题课一、小结(一)样本与抽

6、样分布基本概念总体、个体、样本、样本容量简单随机样本：若样本X,X，,X满足：它们相互独立，且与总体X具12n有相同的分布.统计量：样本X,X，,X的函数g(X,X,X)，且不含任何未知参12n12n数.样本数字特征：样本均值X=1艺Xnii=1样本方差S2=1艺(X-X)2，修正样本方差S*2=丄艺(X-X)2；TOC o 1-5 h znin一11i=1i=1样本k阶原点矩A=1艺Xk；样本k阶中心矩B=1艺(X-X)k.kniknii=1i=1定理若总体X的期望为卩，方差为b2，X,X，,X是来自总体X的简12n单随机样本，则EX=,DX=兰,ES*2=b2n抽样分布定理1(生成原理)独

7、立的正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量；独立的标准正态变量的平方和X2服从自由度为n的x2分布;ii=1设U，V相互独立，且UN(0,1)，VX2(n)，则T=U服从自由度为n的t分布；U/m设U，V相互独立，且Ux2(m)，VX2(n)，则F=今服从自由度V/n为(m,n)的F分布.若Xx2(n)，则EX=n，DX=2n.定理2（一个正态总体抽样分布）设X,X,X是来自正态总体N（卩Q2）的简单随机样本，则12nXN(卩,兰)；n(2)U=士MN(0,1);n(n-1)S*2)X2=咒2(n-1)；C2X与S2相互独立;T=t(n-1).S*yjn定理3（两个正态总体抽样分布）设X,X,

8、X与Y,Y,Y是分别来自TOC o 1-5 h z12n112n2正态总体N（卩Q2）和N（卩Q2）的简单随机样本，且这两个样本相互独立，则1122F=S*2/F(n-1,n-1)；S*2/O21222当Q2=Q2=Q2时，T=土2t(n+n2)，其中12S丄+丄12wnnnS2+nS2二22-n+n-212c(n-1)S*2+(n-1)S*2S2=1122-wn+n-2123.分位数设PXx=a,称x为aaaaX的a上侧分位数.它们的关系是：x（上）=x（下）a1-a会画N（0,1）、t、X2、F分布的密度曲线，会查它们的分位数表，其中F(n,n)=1-a12颠倒自由度，查表取倒数）二）参数

9、估计1.点估计方法1-矩估计法：用样本原点(中心)矩及其函数估计总体相应原点(中心)矩及其函数.例如估计一个参数9，令X=EX，解出9;估计两个参数9,9，令X=EX丄X2=EX2，解出9,9TOC o 1-5 h z12ni12i=1最大似然估计法：选取参数，使样本X,X,X取值x,x,x的概率12n12n(密度)最大.其步骤如下：.写出似然函数L(9)=PX=xPX=xPX=x(离散型)，1122nnL(9)=f(x,9)f(x,9)f(x;9)(连续型);12n取对数lnL(9)；求出lnL(9)(即L(9)的最大值点9=0；9的最大似然估计为9八.2.点估计的评价标准无偏性：E9=9；

10、有效性：E9=e9=9且D9D9，则称9八比99有效;12一致性(相合性)：若limPns98=192则称99是9的一致估计量.n区间估计概念若P99=1a，则称(9,9)为参数9的置信概率为1-d的1212置信区间.概率意义等式P99=1a表示随机区间(9,9)包含参数9的1212概率为1a.置信概率1a反映可靠性，越大越好；置信区间(9,9)的长度99反映1221精确度，越小越好.求置信区间的原则：对于给定的置信概率1a，使置信区间(9,9)的长12度99越小越好.214一个正态总体N(卩Q2)均值与方差的置信区间(其中分位数均为下侧分位数）：Q2已知,卩的置信区间为X土1-:QTn;、,

11、_S*Q2未知，卩的置信区间为X土t（n-1）；i-avn2卩已知,Q2的置信区间为工(X-卩)2i-i=1XX2(n)d丿(n)1-d检验假设Ho:P叫统计量惴拒绝域Ut(n1)1a2检验假设H:卩卩00拒绝域tt(n1)1a卩未知，关于Q2的检验（咒2检验）统计量X2二(n1)S*2Q20拒绝域X2z2(n1)或者ia2X2Q20统计量X2二(n1)S*2Q20拒绝域z2xa(n-1)检验假设H:Q2X2(n1)1-aQ2o5.两个正态总体N（卩,Q2）、N（卩,Q2）均值的假设检验（t检验，拒绝域均采用下侧分位数）统计量t=统计量t检验假设H:卩卩012统计量tXYwnn12XYnn12

12、XY丄+丄nn12Sw拒绝域|t|t(n+n2)a1212拒绝域t+n2)1a12拒绝域tt(n+n2)1a121231236.两个正态总体N（卩Q2）、N（卩Q2）方差的假设检验（F检验，拒绝域均1采用下侧分位数）122检验假设H:b22统计量F=S*2拒绝域FF(n1,n1)或者012S*21a12212Fb2统计量F-空拒绝域FF(n1,n1)012S*22a12检验假设H:b2F(n1,n1)012S*221a12注检验两个正态总体均值相等时，应先检验它们的方差相等.、习题10部机床独立工作，因检修等原因，每部机床停机的概率为0.2，则同时有3部机床停机的概率为（）.【C3-0.23-

13、0.87或0.201】10设总体X服从N（卩,1）分布，X,X是一个样本，则两个无偏估计量11亍2x1+2x212K二4X+3X中有效的是（）241423若总体X服从N（卩,1），由来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5,则卩的双侧0.95置信区间（u二1.96）为（）.【（4.804,5.196）】0.975设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有PX-EX|2.【12】在假设检验问题中，显著性水平Q的意义是（）原假设H成立，经检验被拒绝的概率；0原假设H成立，经检验不能拒绝的概率；0原假设H不成立，经检验被拒绝的概率；0原假设H不成立，经检验不能拒绝的概率.【A】0设总

14、体XN（卩Q2），其中卩已知，b2未知，X,X,X是取自X的一个样本,则下列表达式中不是统计量的是（）k=0k=0k=0k=0X+X+X；B.max(X,X,X)；1231233X2C.为i；D.X-2卩.【C】O21i=1设随机变量X与Y都服从标准正态分布N(0,1)，则下列各式中正确的是()AX2/Y2服从F分布；X2+Y2服从%2分布；X2和Y2都服从2分布；X+Y服从正态分布.【C】设X,X,X是来自总体X的一个样本，DX=O2，记12nnii=1S*2=工(XX)2,下列命题中正确的是()n-1ii=1S*是O的无偏估计量；S*是O的极大似然估计量；S*与X相互独立；S*2是o2的无

15、偏估计量.【D】设DX=4,DY=2且X与Y不相关，则D(3X2Y)=()A.6；B.16；C.28；D.44【D】袋中装有N只球，但其中白球数为随机变量，只知道其数学期望为n，试求从该袋中任取一球为白球的概率解用X表示袋中的白球数，则EX=n=kP(X=k)k=1设A=取出白球，由全概率公式P(A)=P(X=k)P(A|X=k)=1Lp(X=k)-k-NNk=1/、(0+1)x9,0 x0是未知参数,0,其匕X,X是来自X的样本求(1)似然函数；(2)极大似然估计量.1n解(1)似然函数L(0)=n(0+1)X9=(0+1)nX9X9i1ni=1(2)ln(L(9)=nln(9+1)+0工InX,ii=1d(lnL(0)nd09+1i=1+工InX=0，i得0-1,ln