全国高中三角函数典型例题(教用)

1、典型例题】1、已知 tan x 2 ，求 sin x,cos x的值解： 因为 tan x sin x 2 ，又 sin2 a cos2 a 1 ， cosxsin x 2 cos x联立得 2 2sin 2 x cos 2 x 1解这个方程组得25sin x555cosx525sin xcosx 5cosx52、求 tan( 120 ) cos(210 )sin( 480 ) 的值 tan( 690 )sin( 150 ) cos(330 )tan( 120 180 ) cos(180 30 )sin( 360 120 ) 解： 原式otan( 720 30o) sin( 150 ) cos

2、(360 30 )tan 60 ( cos30 )( sin120 )3 3.tan30 ( sin150 ) cos303、若 sin x cosx 2,，求 sin xcos x 的值 sin x cos x解： 法一：因为 sinx cosx 2, sin x cos x所以 sin x cos x 2(sin x cos x)得到sin x3cos x ，又 sin2a cos2 a 1 ，联立方程组，解得sin x 310103 10sin x 101010 cosx 1010 cosx10法二：因为sin x cosx2,sin x cosx所以 sin xcosx3所以 sin

3、x cosx 2(sin x cosx) ，所以 (sinx cosx)2 4(sin x cos x) 2 ，所以 1 2sinxcosx 4 8sinxcosx，3所以有 sin xcosx104、求证： tan2 xsin2x tan2 x sin2x。x5、求函数 y 2sin( ) 在区间 0,2 上的值域。x x 7 解：因为 0 x 2 ，所以 0 ， 由正弦函数的图象，6 2 6 6得到y 2sin( 2x 6)12,1 ，所以 y 2sin( 2 6)1,26、求下列函数的值域2(1) y sin2 x cosx 2；(2) y 2sin xcosx (sin x cos x

4、) )解：( 1) y sin2 x cosx 222=1 cos x cosx 2 (cos x cosx) 31382 1 2 13 1 2 13 令t cosx ，则 t 1,1, y(t 2 (cos x sin x) sin2x cos2x sin2x 2sin( 2x)2 sin( 2x )44所以最小正周期为 ()若 x 0, ，则 (2x ) ,3 ， 所以 当 x=0 时 ，f(x) 取最 大值 为 t) 3 (t )2 (t )22 4 2 4利用二次函数的图象得到 y 1, .(2) y 2sin xcosx (sin x cosx)= (sin x cosx)2 1 (

5、sinx cosx)令 t sin x cosx 2 sin(x )，则 t 2, 2425则 y t 2 t 1, 利用二次函数的图象得到 y ,1 2.7、若函数 y=Asin( x+)( 0，0)的图象的一个最高点为 (2, 2) ，它到其相邻的最低点之间的图象与 x 轴交于 (6，0) ，求这个函数的一个解析式。 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解：由最高点为 (2, 2)，得到 A 2 ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与 x 轴 TOC o 1-5 h z 1T交点的间隔是 个周期，这样求得4 ， T=16，所以聞創沟燴鐺險爱氇谴净。448又由 2 2 sin( 2 ) ，得到可以取. y

6、 2 sin( x ).84 84448、已知函数 f ( x)=cos x 2sin xcosxsin x()求 f(x)的最小正周期；()若 x 0, , 求 f(x)的最大值、最小值数1 sin xy 的值域cos x4 2 2 2 22 4 4 4 1;当 x 3时， f ( x)取最小值为2.解： ( ) 因为 f( x)=cos x 2sin xcos x sin4 x (cos xsin x)(cos xsin x) sin2 x 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。9、已知 tan2 ，求(1)cossincos sin；( 2)sin 2sin .cos2cos2 的值.sin1解：(1)

7、 cossincoscossinsin1cos1 tan1 tan1 2 3 2 2 ；1222(2)sin 2sin cos2cos2sin2sin cos2cos2sin2cos2sin2sin22cos cossin22 1cos22 2 221423说明：利用齐次式的结构特点 (如果不具备， 通过构造的办法得到) ，进行弦、 切互化， 就会使解题过程简化。210 、求函数 y 1 sinx cosx (sinx cosx) 的值域。解：设 t sinx cosx 2 sin( x ) 2，2 ，则原函数可化为4y t2 t 1 (t 所以 f (x) 的最小正周期 T ，因为 x R，

8、)2 3，因为 t 2，2 ，所以24当t2 时，ymax3 2，当t 2时， ymin 4，所以，函数的值域为y 34，3 2 。11、已知函数 f(x) 4sin 2 x 2sin 2x 2，x R ；( 1)求 f (x)的最小正周期、 f(x) 的最大值及此时 x 的集合；(2)证明：函数 f(x) 的图像关于直线 x对称。8解： f(x) 4sin2 x 2sin 2x 2 2sinx 2(1 2sin2 x)2sin 2x 2cos 2x 2 2 sin(2 x )4 3 所以，当 2x 2k ，即 x k 3时， f ( x)最大值为 2 2 ；2 8(2) 证明：欲证明函数 f

9、 (x) 的图像关于直线 x 对称，只要证明对任意 x R ，有8 f( x) f ( x) 成立，88因为 f( x) 2 2 sin2( x) 2 2sin( 2x) 2 2cos2x ， 8 8 4 2f ( x) 2 2 sin2(x) 2 2sin( 2x) 2 2cos2x ，88 4 2所以 f( 8 x) f( 8 x)成立，从而函数 f(x)的图像关于直线 x 8 对称。12 、已知函数xR)y= 1 cos2x+ 3sinx cosx+1221)当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；2)该函数的图像可由 y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？1

10、 2 31213解：( 1)y= cos x+sinx cosx+1= (2cos2x1)+(2sinx cosx )+122444酽锕极額閉镇桧猪訣锥。1515= cos2x+sin2x+(cos2x sin +sin2x cos)+4442664= 1 sin(2x+ )+ 52 6 4所以 y 取最大值时，只需 2x+ = +2k, (kZ)，即 x=+k, ( kZ)。6 2 6所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为 x|x= +k,k Z 6( 2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换：i )把函数 y=sinx 的图像向左平移 ，得到函数 y=sin(x+ ) 的图像；66ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的1 倍(纵坐标不变) ，得到函数222y=sin