初中数学北师大八年级上册（2023年修订） 实数 二次根式a平方的算术根的化简【教案】

1、 二次根式的化简【教学设计】【教学目标】1.通过探究、观察、归纳出二次根式的性质公式；2.在例题剖析与巩固练习中，掌握二次根式的性质，并会利用其进行二次根式的化简.【教学重点】公式的推导和应用.【教学难点】运用公式进行二次根式的化简.【评价设计】1.学生能积极参与探究，归纳并理解公式；2.学生能积极参与例题剖析，正确运用公式对二次根式进行化简.【内容与实施】一、课前热身1.计算：= ，= ，= ，= .= ，= ，= ，= .2.用字母a代替上面式子中的底数，可表示为 .【学生活动】独立完成，在小组内交流结果.【设计意图】通过练习，学生自测对算术平方根的理解和计算是否到位，培养求真的意识，并未

2、导入新课作铺垫.二、讲授新课1.探究二次根式的意义（1）二次根式的意义式子的实质是：a的算术平方根的平方.由于a是被开方数，因此要求a 0.如：，等，都有意义.对比分析：二次根式的实质是 .由于它的被开方数是一个完全平方数，所以 0，因此中的a可以是 .如，等，都有意义.【学生活动】通过阅读，在进一步理解二次根式的实质和意义的同时，对比观察、归纳得出二次根式的实质和意义.【设计意图】通过阅读与自主探究，学生进一步加深对的实质和意义的理解，同时对比观察、归纳出的实质和意义，培养探究意识和归纳、概括的能力.（2）与的区别：运算顺序取值范围先 ，后 .中的a必须是 ，即a 0先 ，后 .中的a可以是

3、 .【学生活动】独立完成填空，并对比体会与的在算理和意义上的区别.【设计意图】通过填空，让学生在对比中进一步体会和的实质和意义，培养归纳、总结的习惯.2.探究的性质， . 当a 0时， . . 当a 0时， . 当a 0时， .综合上面的情况，有【学生活动】独立完成填空，并在小组内交流结果和自己的意见，合作归纳出的性质公式.【设计意图】通过自主探究和合作交流，归纳出的性质公式，培养学生自主探究、合作交流的能力及概括总结能力.三、典例剖析（二次根式的性质的运用举例）1.运用进行计算.例1 求下列各式的值：（1）；（2）.变式1：求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.【学生活动】通过观察老师的示

4、范，尝试独立完成例1（2）题及变式1的三个练习，主动展示自己的做法，总结心得.【设计意图】通过运用公式进行计算，培养知识运用能力，体会探究学习的性质公式的意义，并同学间相互评价的过程中体会计算要领.2.给定未知数的范围，化简含单个未知数的二次根式.例2 化简：（a3）.例3 化简：（1x3）.变式2：化简（1）；（2）（x4）.（3）已知2a1，化简.【学生活动】观察老师对例2和例3的处理方法，体会运用将二次根式化简问题转化为绝对值化简问题的必要性；独立完成变式2的三个练习，并在小组内交流方法和结果.【设计意图】通过运用公式对二次根式进行化简，进一步培养知识运用能力，体会化未知为已知的数学方法

5、.3.根据所给条件确定未知数的范围，化简含多个未知数的二次根式.例4 已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简.变式3：设a，b，c是ABC的三边，化简：.【学生活动】在老师的引导下，对比例4与例2、例3的区别：（1）未知数的范围由题目给出变化为自己通过数轴得出，（2）未知数数量从单个变化为多个；独立完成变式3，并在小组内交流提高解答效率和准确性的方法.【设计意图】通过对问题的不断变化，培养学生知识迁移能力；对于进行较长、较复杂式子的化简运算，建议学生先对式子的各个部分分别化简，再代入原式计算，注意代入时，应将各部分化简的结果添括号后再代入.四、课堂小结应用公式进行化简时，去掉根号后，要加上

6、绝对值，俗称“出房子，进院子”.五、巩固提升（课后完成）1.化简：（1）（x1）；（2）（x2）.2.计算：，其中a=5.3.已知1x4，化简.4.已知，求x的取值范围.5.已知3a7，化简.6.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简.7.化简：.8.把中根号外的a移到根号内.【学生活动】学生于课后进行巩固练习，其中第1-6题所有学生都必须完成，第7-8题由每个小组的1-2号同学合作完成.【设计意图】学生于课后进行适当的练习，有利于学生巩固理解所学知识，联系中对学生分层要求，使不同学生有不同的收获，同时将合作学习延伸到课外，让学生体会到合作学习不仅仅是课堂学习的一中形式，应贯穿于自己的整个学习

7、过程.【教学反思】探究并运用进行计算和化简是本节课的重点，也是关键。处理好了，课堂效率就搞，否则就会流于形式，成为一堂弱课甚至是一堂废课。充分发挥学生的主管能动性，先由学生根据自己预习课本和对知识的理解进行方法小结，在自主探究与小组合作交流的过程中进行总结、归纳，再在练习中体会解题技巧。对于这类代数式化简，主要还是转化为绝对值的化简，因此，学生在理解探究学习的意义的基础上，熟练掌握绝对值化简的几种类型非常重要，特别是绝对值化简后，要添加括号（即出房子，进院子）。此外，化简绝对值，还需要用到绝对值的性质，有理数加、减法法则等重要知识，对于学生而言，这些都必须要熟练掌握，精准计算。本堂课，学生的参与度较好，能积极参与到对问题的探究和分析中，课中学生与老师、学生与学生间的交流也比较多，一堂课下来，学生的体会和感悟也颇多。但二次根式的化简问题涉及到绝对值、有理数运算及