课件微积分77.1空间解析几何基础知识

1、7.1 空间解析几何基础知识 1 7.1.17.1.2空间直角坐标系空间中常见图形的方程 2 7.1.1 空间直角坐标系 坐标系的作用：连结几何与代数。 点 坐标 曲线（直线） 曲线方程（直线方程) 曲面（平面） 曲面方程（平面方程) 这样，就可以使用代数（微分，积分）精确刻画几何，也可用几何研究代数（赋予代数表达式以图形）。 3 1. 一维坐标（数轴） 三要素：原点，方向，长度单位 作用：将直线上的点与实数一一对应 4 2. 二维坐标（平面直角坐标系） 构造：从数轴原点作一与之垂直的长度单位相同的数轴 作用：将平面上的点与二元有序数组一一对应 第一象限第二象限第三象限第四象限第一象限第二象限

2、 5 3. 三维坐标（空间直角坐标系） 构造：从二维坐标原点作一与之垂直的长度单位相同的数轴 数学上一般采用右手系，本书亦然。 6 4. 初识空间直角坐标系：点，坐标轴，坐标平面，卦限，距离 点：空间中的点与有序三元组(x, y, z)互相唯一确定 7 4. 初识空间直角坐标系：点，坐标轴，坐标平面，卦限，距离 卦限 图 7-2 8 4. 初识空间直角坐标系：点，坐标轴，坐标平面，卦限，距离 坐标平面 xz平面方程：y=0yz平面方程：x=0 9 4. 初识空间直角坐标系：点，坐标轴，坐标平面，卦限，距离 坐标轴 Y轴方程：Z轴方程： 10 4. 初识空间直角坐标系：点，坐标轴，坐标平面，卦限

3、，距离 距离：原点到点 P(x, y, z) 之间的距离 11 空间中任意两点P1(x1, y1, z1) 和P2(x2, y2, z2) 之间的距离 12 7.1.2 空间中常见图形的方程 1. 球面 设球面 S 的中心为 C(x0,y0,z0), 半径为 R, 则点 P(x,y,z) 在 S 上等价于 | CP | = R, 或 | CP | 2 = R2, 即(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R2, (7.2)所以 (7.2) 称为球面 S 的方程. 特别, 以原点O 为球心、半径为R 的球面方程为 x2 + y2 + z2 =R2. 将 (7.2)

4、 式左边的平方项展开, 得到下列形式的二次方程：x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. (*)反之, 这种方程的图形是否一定是球面呢？ 将方程 (*) 左边分别对 x, y 和 z 配方, 得(x + a)2 + (y + b)2 + (z + c)2 = a2 + b2 + c2 - d.所以, 只有当 a2 + b2 + c2 - d 0 时, 方程才表示球面, 其球心为点 (-a, -b, -c), 半径 13 例 1 给定点 P1(1,0,-2), P2(3,-4,0), 求： 1) | P1P2 |; 2) 以 P1 为中心、| P1P2 |

5、为半径的球面的方程. 解 1) 由公式 (7.1), 2) 由公式 (7.2), 以 P1为球心、| P1P2 | 为半径的球面的方程为(x - 1)2 + (y - 0)2 + z - (- 2)2 = 24,即 (x - 1)2 + y2 + (z + 4)2 = 24, 或 x2 + y2 + z2 - 2x + 8z - 7 = 0.(7.1)(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R2, (7.2) 14 2. 平面 从几何知识知道, 到两点 P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) 等距离的点P (x, y, z) 的轨迹 p 是

6、线段 P1P2 的垂直平分面, 即点 Pp 等价于 | PP1 | = | PP2 | 或 | PP1 |2 = | PP2 |2用坐标表示是(x - x1)2 + (y - y1)2 + (z - z1)2 = (x - x2)2 + (y - y2)2 + (z - z2)2,即 2(x2-x1)x + 2(y2-y1)y + 2(z2-z1)z + x12 + y12 + z12 - x22 - y22 - z22 = 0. 若记 A = 2(x2 - x1), B = 2(y2 - y1), C = 2(z2 - z1), D = x12 + y12 + z12 - x22 - y22

7、 - z22, 则上式可写成Ax + By + Cz + D = 0. (7.3)由于 P1 与 P2 不是同一个点, A,B,C 不全为 0. (7.3) 称为平面 p 的方程, 这是 x, y, z 的一次方程. 反之, 不难证明, x, y, z 的一次方程所表示的图形是一个平面. 15 2. 平面 平面上直线方程：Ax + By = C. 空间中平面方程：Ax + By + Cz = D.平面上 直线 Ax + 0y = C 平行于 y 轴； 直线 By = C 平行于 x 轴；空间中 平面 Ax + By + 0z = D 平行于 z 轴； 平面 Ax + Cz = D 平行于 y

8、轴； 平面 By + Cz = D 平行于 x 轴； 平面 Ax = D 平行于 y 轴和 z 轴, 即yz坐标面； 平面 By = D 平行于 xz 坐标面； 平面 Cz = D 平行于 xy 坐标面； 16 例 2 作下列方程的图形： 1) x + 3y - 2z - 6 = 0; 2) 3x + 2y - 6 = 0. 解 1) 在方程中任取不共线三点： A(6,0,0), B (0, 2, 0), C(0,0,-3). 过这三点作平面 p1 即为所求图形 . 图 7-3 17 例 2 作下列方程的图形： 1) x + 3y - 2z - 6 = 0; 2) 3x + 2y - 6 =

9、0. 解 2) 在 xy 平面上, 方程 3x + 2y 6 = 0 表示一条经过点 A(2,0), B(0,3) 的直线. 在空间中，由于 3x + 2y +0z 6 = 0 中 z 的系数为 0，故点 P(2, 0, t), Q(0, 3, t) 都在所求平面上, 因此所求平面平行于 z 轴. 图 7-3 18 3. 柱面 设 G 是空间中一条曲线, 由所有与 G 相交且相互平行的直线组成的曲面称为柱面 (如图 7-4), G 称为柱面的准线, 这些直线称为柱面的直母线 (或简称母线). 柱面的准线不是唯一的, 柱面上与所有母线都相交的曲线都可作为准线 下面只讨论母线平行于坐标轴的柱面.

10、图 7-4 19 设 G 是 xy 平面上方程为 f (x, y) = 0 (7.4)的曲线, 要求以 G 为准线、母线平行于 z 轴的柱面 S 的方程 从空间看来, G 在直角坐标系 Oxyz 中的方程为 (7.5)设 P(x0, y0, z0) 是 S 上任意一点, 则 P 必在 S 的某一直母线上. 设此直母线与G 的交点为 Q (如图 7-5), 则 Q 有坐标 (x0, y0,0). 由于 QG, 当有 f (x0, y0) = 0, 所以P 的坐标适合方程 (7.4). 反之, 坐标满足方程 (7.4) 的点必在 S 上. 因此, 以 G 为准线、母线平行于 z 轴的柱面的方程就是

11、 (7.4).图 7-5 20 例如: 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 方程x2 + y2 = R2表示一个圆柱面, 它以 xy 平面上的圆为准线, 母线平行于 z 轴. 同理, 方程 g( y, z) = 0 表示母线平行于 x 轴的柱面, 其准线为 yz 平面上的曲线 21 4. 二次曲面 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 由 x, y, z 的二次方程a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz+ 2a1 x + 2a2 y + 2a3 z + a0 = 0 (7.6)(其中二次项系数 aij (i, j = 1,2,3) 不全为 0) 所表示的图形称为二次曲面. 方程 (7.7)的图形是一个椭球面, 原点 O 是它的中心, 三个坐标平面是它的对称平面, 三个坐标轴是它的对称轴, 它们与椭球面的交点分别为 (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) (如图 7-6).图 7-6 22 方程x2 + y2 = 2pz (7.8)的图形是一个旋转抛物面 (当 p 0 时, 如图 7-7 (a). 探照灯和汽车前灯的反光镜镜面就是这种曲面 (图 7-7 (b), 在其焦点处的光源所发出的光线经反射后成为一束平行光线图 7-7 23 方程y2 - x2 =