函数的基本性质知识点归纳与题型总结

1、 / 8函数的基本性质知识点归纳与题型总结一、知识归纳1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内 任意一个 x，都有 f(x) f(x)， 那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对 称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内 任意一个 x，都有 f(x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函 数关于原点 对称2函数的周期性周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何 值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数 的周期最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，

2、 那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期解题提醒： 判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定 义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有 f( x)f(x)或f(x)f(x)，而不能说存在 x0使 f(x0)f(x0)或 f(x0)f(x0) 分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函 数去否定函数在整个定义域上的奇偶性题型一 函数奇偶性的判断典型例题：判断下列函数的奇偶性：f(x)(x1) 11xx；(2)f(x)x22x1，x0，x22x1，x0 且 a1)1x解： (1)因为 f(x

3、)有意义，则满足0，1x所以 10 时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；当 x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)所以 f(x)为奇函数法二： (图象法)作出函数 f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数4 x20，因为所以 2 x2 且 x0，x20，所以定义域关于原点对称又 f( x)所以 f(x)f(x)故函数 f(x)为偶函数函数的定义域为 R，因为 f（x）f（x）loga x x 2 1loga（x x2 1）loga（ x21x）loga（ x2 1x）loga（ x21x）（ x21x）loga(

4、x2 1x2)loga1 0，即 f(x) f(x)，所以 f(x)为奇函数通性通法：判定函数奇偶性的 3 种常用方法定义法图象法性质法设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”提醒 (1)“性质法 ”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立 的(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性题型二 函数的周期性2 1 x ，0 x1，典型例题 (1)已知函数 f(x)若对任意的 n N*，x1，1

5、 0）fx题型三 函数性质的综合应用函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常 将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常 与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主多以选择题、填空题 形式出现角度一：奇偶性的应用 TOC o 1-5 h z 1函数 yf(x)是 R上的奇函数，当 x0 时， f(x)()A 2xB2xC 2xD2x解析：选 C x0 时，x0，x0 时，f(x)2x.f(x)是 R上的奇函数，当 x0 时，f(x) f(x) 2x.故选 C. 角度二：单调性与奇偶性结合2已知 f(x)为奇函数，且当x0时， f(x)单调递增， f(

6、1)0，若 f(x1)0，则 x 的取值范围为 ( 数f(x)的示意图，如图，则不等式 f(x1)0可转化为 1x1 1，解得 0 x2.Ax|0 x2Cx|x3Bx|x2D x|x1解析： 选 A 因为函数f(x)为奇函数，所以 f(1)f(1)0，又函数 f(x)在(0， )上单调递增，所以可作出函角度三：周期性与奇偶性结合3.定义在 R上的偶函数 f(x)满足 f(x 3) f(x)若 f(2)1，f(7)a，则 实数 a的取值范围为 ( )A(， 3)B (3， )C(， 1)D (1， )解析：选 D f(x3)f(x)，f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的函数，f(7)f(79)f(2)又函数 f(x)是偶函数， f(2)f(2)，f(7)f(2)1，a1，即 a(1， ) 角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在 0,2)上单调递减， 则下列结论正确的是 ( )A0f(1)f(3)B f(3) 0f(1)Cf(1)0f(3)D f(3)f(1)f(0) f(1)，即 f(1)0 f(3)故选 C.通性通法：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及 奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类