线性代数作业习题第三章

1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵： 1 3 4 71087 1 0000 1 3 2 323423432 2 31 21 ; 03 ;(1)(2) 3 3 0 1 4 4 2 2 2 3 234 7 1353431 3 1 4 . ;(3)(4) 2 30033 12 1 r2 (2)r1 1 1 10002340002100000002102 1 2 2 01 330解(1)r (3)r 3 031r2 (1) 1 1 r3 r2 1 1 2112100 30 3r (2) 00000033r3 3 1 1 r2 3r3 1 1000 0 0 301 0 0101

2、0r1 (2)r2 10000 00r1 r3 01 3 4 7200r2 2(3)r1r3 (2)r1 02341 0(2)3 0 1 0010 r1 2 0 00101000105r r 03323 0r 3r2 00 001 3 2 3 4 2 2 1000 486102 200 1 13 4 3 533r2rr 3 0r 8 6 5340001(3) 2 00rr3 10 10 2 2 2 1000 3r (4) 1 r 1010002r 02111200r (3) 02 0r rr r2 03r4 (5) 0 2341 12 8 7 2 032 2 310871 29811 4 r

3、2r 1 4087 1r(4) 3 012 03rr2011 2 r 011r 2r 0 2r r211200 r (1) 000r 8r 03120000 r4 r3r4 7r1 2 r r 2300 0000002在秩是r 的矩阵中,有没有等于 0 的r 1阶子式?有没有等于 0 的 r 阶子式?在秩是r 的矩阵中,可能存在等于 0 的r 1阶子式,也可能存在等解于 0 的r 阶子式. 100100000100 00例如， 00 00 00R( ) 3 同时存在等于 0 的 3 阶子式和 2 阶子式.23从矩阵 A 中划去一行得到矩阵B ,问 A, B 的秩的关系怎样?解R( A) R(B

4、)设 R(B) r ，且B 的某个r 阶子式 Dr 0 .矩阵B 是由矩阵 A 划去一行得 Dr 0 ，到的，所以在 A 中能找到与 Dr 相同的r 阶子式Dr ，由于 Dr故而 R( A) R(B).4求作一个秩是 4 的方阵,它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,1,0,0,0)设1 , 2 , 3 , 4 , 5 为五维向量,且1 (1,0,1,0,0) ,解1 2 (1,1,0,0,0),则所求方阵可为 A , 秩为 4,不妨设3 2 4 5 3 (0,0,0, x4 ,0) (0,0,0,0, x ) 取 x x 145 (0,0,0,0,0)45 5 100 1000100

5、000010010故满足条件的一个方阵为 00 01 005求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式： 1 2;；0(1)(2) 7805357 21 3 203782 2 5 .(3) 30013 12rr2 1解(1) 1441 1 140 1 1 12 6 62 60r r3r2 r32100550502秩为r r 0313二阶子式 4 11r1 r2 2 41 r2 2r1 0 490 21(2) 77rr 411050332731 13 7021 5秩为2 .r3 3r2 0 003二阶子式 7 12 1322 2 r 2r 01 3 202 6 437 2 0 3 20 5 5053

6、782(3) 3 r 000002r11 r rr1 r27 1r2 3r1 r4 r1 0 秩为00100200 00 r 14 01 000302r 2r 10313r4 16 0r4 r3 5000782 5 582三阶子式 5336求解下列线性方程组:4 x4 0, x4 0,3323 x 0, 3 x 0,(1)(2)343425 2 x 0; 5 x 0;2323434 0, 5 x4 0, 7 x4333 7 x 0, 2 x 0,(4) 3434(3)44 6 x 0, 16 x 0,(1)734 7 x4 0;34 3 x4 0.33解对系数矩阵实施行变换: x 4 x143

7、 1 131 1 111221101002 1 0 3 x44x21 即得4 2 x3x4 03 23 x x 444 x1 3 3 x2 k故方程组的解为 x43 x 34 1(2)对系数矩阵实施行变换: x4 1 1 126101 11 1200010 x 0 x即得 3 022300 x 5 5 0 x344 2 x1 11 故方程组的解为 x2 k100 k 0 x2 03 1 x4 (3)对系数矩阵实施行变换:5 x1 0 100100001000 x 0 0 0 即得2 x 4 004 1 7 0 x1 013 x4 2 x 0 0 0故方程组的解为2 x3 x4(4)对系数矩阵实

8、施行变换: 53 347 2 0100 017 1700700 2 0即得4x x x33 x 44 xx故方程组的解为 xx7求解下列非线性方程组:2 x 3 y z 4, x 2 y 4z 5, 2,4(1) 33 10,(2)3 x 8 y 2z 13,311x4 x y 9z 6;3 x 8;1262 x y z w 1,2 x y z w 1,(3) 4x 2 y 2z w 2,(4) 3 x 2 y z 3w 4,2 x y z w 1; x 4 y 3z 5w 2;解(1) 4对系数的增广矩阵施行行变换,有 121102 210 034 100 0 6 R( A) 2 而 R(B

9、) 3 ,故方程组无解(2)对系数的增广矩阵施行行变换: 1 2 131401002 100 5 0200 040 x 2z 1 2 1 x 即得 y z 2亦即 y k12z z z 10(3)对系数的增广矩阵施行行变换:1 1 100 211100 0010 2 00 1 x 1 y 1 z 1 1 1 1 x 2 2 2 即得 y 222 0 0 y y100 k k2 即1z 1 0 z z w 00w 0(4) 对系数的增广矩阵施行行变换: 11 21 21 31 34 07707 0 20007 1 1 16075797075 0107 7 000 x 1 z 1 w 6 1 16

10、 7 x 77757y77 5 9 5 即得 y z w 59即 k k z 1 7 2 7 7 77z z w 1 000w w 0 18 取何值时,非线性方程组 1, , 2333(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?111111 0 ,即 1,2时方程组有唯一解.解(1)R( A) R(B)(2)1 11 (1 )(2 ) 02 (1 )(1 )( 1)2 11111 10B 1 0 120由(1 )(2 ) 0, (1 )(1 )2得 2 时,方程组无解.(3)R( A) R(B) 3 ,由(1 )(2 ) (1 )(1 )2 0 ,得 1时,方程组有无穷多个解.9非线性方程

11、组8 2 2,3 , 233当 取何值时有解？并求出它的解 1 210 2 21 101 2111 22 0( 1)解 B 11302( 1)( 2)方程组有解，须(1 )( 2) 0 得 1, 2 x1 1 1 k1 0当 1时,方程组解为 x2 x 1 03 x1 1 2 方程组解为 x k 1 2当 2 时,2 x 1 03 (2 ) 1, 2,310设23 2 1,3问 为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解 2 2 45 25 45 1 012 22解 1 1 21 (1 )(10 )2初等行变换12 01 (1 )(4 ) 02(1 )2 (10 ) 1

12、 且 10 时，有唯一解. 0 ,即0当A2当(1 )(10 ) 0 且(1 )(4 ) 0 ，即 10 时，无解.229当(1 )(10 ) 0 且(1 )(4 ) 0 ，即 1时，有无穷多解.22 21 1200此时，增广矩阵为 0000 00 2 x1 2 1原方程组的解为 x2 k1 1 k2 0 0( k1 , k2 R ) x 1 003 11试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵： 22 212 10 1 302 32142 0 32135 ;1 .(1)12(2) 1 2 33212 01010 3153321 11000100 310解 （1） 300 0 1 1721 3

13、1 012 10 1 9 30102 32102 0020 10001 0 2 0 2 1212 0 01 3 76 1123 10 12 010001 021 0 22723 10 3 2 6故逆矩阵为 12121 210 22 21 2142 2100 2100 21000100 11 21 2151 211 1 2111 10 121 3002 32 3292 321 2 32100010000110000010001000100000100010001010 3010 301 00(2) 10010 11 0 00000 1 01 0 4 0 201 1 0 0 203 6 202 1 1 111 2 10000 1 060 101 4 1000 1 021100 2 4 1 1 故逆矩阵为 2 2 3 4 1