2021-2022学年天津北辰区大张庄中学高三数学理联考试题含解析

1、2021-2022学年天津北辰区大张庄中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若， ，则大小关系是（ ）A B C D参考答案：D2. 若，则（）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】由，再由题中数据，即可得出结果【详解】因为，所以，故选：A【点睛】本题考查给值求值的问题，熟记诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式即可，属于基础题3. 在直角坐标系xOy中，若x，y满足，则z=2x+y的最大值为（）A0B1C3D2参考答案：B考点：简单线性规划3

2、804980专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=2x+y的最大值解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=0，y=1时，z=2x+y取最大值1故选B点评：本题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法”解题是解答本题的关键4. 已知为的外心，。若，则的最小值为（ ） A、1B、C、D、2参考答案：D略5. 我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽

3、到的最小编号为（）A 2B3C4D5参考答案：考点：系统抽样方法专题：计算题；概率与统计分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（14+x）=48，所以x=3故选：B点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键6. 下面是关于复数 的四个命题:, 的共轭复数为 的虚部为其中真命题为 （ ） 参考答案：C略7. 已知是等差数列，则过点 的直线斜率是（ ）（A） （B） （C） （D） 参考答案：B8. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+

4、i）2B. i2（1i）C. （1+i）2D. i（1+i）参考答案：C , , ,所以选C.9. 在平行四边形中，设，则（ ）ABCD参考答案：A10. 在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）A B C D参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若满足约束条件：；则的取值范围为 。参考答案：-3,012. 数列满足且对任意的，都有，则的前项和_.参考答案：由可得，所以。所以。由得，令，得，即数列是公比为2的等比数列，所以。13. 在中，且的面积为，则边的长为_.参考答案：略14. 已知且，则等于_参考答案：【知识点】复数及其有关概念. L

5、4 解析：.【思路点拨】根据复数模的意义求解.15. 某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表（结果保留两位有效数字）：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数554490131352017191男婴数2716489968128590男婴出生频率（1）填写表中的男婴出生频率；(2）这一地区男婴出生的概率约是_.参考答案：（1）0.49 0.54 0.50 0.50 (2）0.5016. 如果直线与直线平行，则 .参考答案：317. 某四面体的三视图如图所示，则其四个面中面积最大的是_参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

6、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，),在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的普通方程，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，若曲线与的公共点都在上，求的值.参考答案：（1）（2）试题分析：（1）根据三角函数平方关系消参数，将曲线的参数方程化为普通方程；再利用将的方程化为极坐标方程；（2）将代入的极坐标方程得 ，再将代入的极坐标方程得,解得.19. （本小题满分12分） 已知是公差不为零的等差数列，1，且，成等比数列.（）求数列的通项;（）求数列的前n项和.参考答案：（）由题设知公差d0，由1，成等比数列得，4分解得d1，d0（舍去）， 故的通

7、项1+（n1）1n.7分()由（）知，9分由等比数列前n项和公式得 12分20. 已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值；（3）若是椭圆上不同两点，轴，圆E过，且椭圆C2上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C2是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由参考答案：（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将

8、P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可（2）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值（3）依题意可得符合要求的圆E，即为过点F，P1，P2的三角形的外接圆所以圆心在x轴上根据题意写出圆E的方程由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P1E|，结合图形可得圆心E在线段P1P2上，半径最小又由于点F已知，即

9、可求得结论【详解】（1）椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P（1,）在椭圆C上；，解得a2，b，椭圆C的标准方程为（2）由题意：C1：，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），M，N不在坐标轴上，kPM，直线PM的方程为yy2（xx2），化简得：x2x+y2y，同理可得直线PN的方程为x3x+y3y，把P点的坐标代入、得，直线MN的方程为x1x+y1y，令y0，得m，令x0得n，x1，y1，又点P在椭圆C1上，（）2+3（）24，则为定值 （3）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，n），点E在x轴上，设点E（t，0），则圆E的方程为：（xt）2+y2（mt）2+

10、n2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则|ME|2（xt）2+y2，当xm时，|ME|2最小，m，又圆E过点F，（）2（mt）2+n2，点P1在椭圆上，由，解得：t或t，又t时，m2，不合题意，综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（，0）【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键21. 沪昆高速铁路全线2016年12月28日开通运营途经鹰潭北站的G1421、G1503两列列车乘务组工作人员为了了解乘坐本次列车的乘客每月需求情况，分别在两个

11、车次各随机抽取了100名旅客进行调查，下面是根据调查结果，绘制了月乘车次数的频率分布直方图和频数分布表乘车次数分组频数0，5）155，10）2010，15）2515，20）2420，25）1125，05（1）若将频率视为概率，月乘车次数不低于15次的称之为“老乘客”，试问：哪一车次的“老乘客”较多，简要说明理由；（2）已知在G1503次列车随机抽到的50岁以上人员有35名，其中有10名是“老乘客”，由条件完成22列联表，并根据资料判断，是否有90%的把握认为年龄与乘车次数有关，说明理由老乘客新乘客合计50岁以上50岁以下合计附：随机变量 （其中n=a+b+c+d为样本容量）P（k2k0）0.2

12、50.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.024 参考答案：【考点】独立性检验的应用；概率的意义【分析】（1）分别计算G1421次与G1503次“老乘客”的概率，比较即可得出结论；（2）根据题意，填写列联表，计算观测值k2，对照临界值表得出结论【解答】解：（1）G1421次“老乘客”的概率为P1=（0.052+0.04+0.008）5=0.5，G1503次“老乘客”的概率为；P1P2，G1421次老乘客较多；（2）根据题意，填写列联表如下；老乘客新乘客合计50岁以上10253550岁以下303565合计4060100计算k2=2.932.706，有90

13、%的把握认为年龄与乘车次数有关【点评】本题考查了频率分布直方图和独立性检验的应用问题，是基础题22. 如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，BAD=45，OB=BC=1，AD=3BC，现将等腰梯形ABCD沿OB折起如图乙所示的四棱锥POBCD，且PC=，点E是线段OP的中点（1）证明：OPCD；（2）在图中作出平面CDE与PB交点Q，并求线段QD的长度参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质【分析】（1）推导出OPOC，OBOP，从而OP平面OPD，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出DE和SC不可能垂直（2）作出Q点，利用坐标系求出Q的坐标，利用空间距离公式求解即可【解答】证明：（1）如图甲所示，因为BO是梯形ABCD的高，BAD=45，所以AO=OB，因为BC=1，OD=2OA，得OD=3，OC=，如图乙所示，OP=OA=1，OC=，PC=，所以有OP2+OC2=PC2，所以OPOC，而OBOP，OBOC=O，所以OP平面OPD，又OBOD，所以OB、OD、OP两两垂直故以O为原点