北京市朝阳区2022-2022学年高二数学上学期期末考试质量检测试题含解析

1、 北京市朝阳区2021-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试卷第一局部（选择题共50分）一、选择题:本大題共10小題，每题5分，共50分.在每題给出的四个选项电选出符合题 目要求的一项.不等式x（x-2） 0的解集是（）A. （x|0 x0C. （a|x2D. x|x0或xv2【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解得到结果.【详解】根据一元二次不等式的解法可知不等式v-2）。的解集为a|0al,那么当x+取得最小值时，X的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据根本不等式的取等条件可求得结果.4I 44【详解】x+-2Jx- = 4 （

2、当且仅当x =,即x = 2时取等号）X XX4.当x+-取得最小值时，.t = 2X应选：B【点睛】此题考查根本不等式取等条件确实定问题，关键是明确可利用根本不等式求解函数 最值.3 .双曲线二-=1（0）的一个焦点为（5.0）,那么的值为（）16A. 9B. 6C. 5D. 3【答案】D【解析】【分析】根据双曲线中a2+b2=c2可构造方程求得结果.【详解】双曲线焦点为（5,0）.-.a2+ 16 = 25，解得：。=3应选：D【点睛】此题考査根据焦点坐标求解双曲线方程的问题.关键是明确双曲线eb,c之冋的关 系.在平面直角坐标系xQv中，椭圆C的中心在原点，焦点，咒在x轴上，离心率为 豆

3、， TOC o 1-5 h z 2过氏的直线/交椭圆于两点，且的周长为16,那么椭圆C的方程为（）A. A = 1B.+立=18 416 4c. +r=1d. 3=i8 1616 8【答案】D【解析】【分析】结合椭圆定义可知的周长为4。，由此求得“：利用离心率可求得c：根据椭圆b- = a2-c2 4求得炉,进而得到椭岡方程.【详解】设椭圆方程为二+二=1（。60）cr V由椭圆定义知：|M|+|住1=1研|+|位勺=&眾蜓的周长为如 即4。= 16,解得：。=4-e = =/. c = 2/. b2 =a2-c2 = 16-8 = 8a 222椭圆C的方程为+ - = 116 8应选：。【点

4、睛】此题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题. 假设万，b -向量不共面，那么以下选项中三个向量不共面的是()A. -c . /? . b+cB. d + h c , + b + cC. d + b a c t cD. 0 d + b d【答案】C【解析】【分析】根据空间向量根本定理，结合向量共面的充要条件，依次判断各个选项即可得到结果.详解】A中，/J-c = 25-( + c)：.b-c B，5 +己三个向量共面，A错误；B中，d + b+c = (d + b)+c：.a + b c . a + b + c个向量共面，8错误；C中，不存在实数人，使得a + b = A(

5、a-c)+pc成立.目+ 5，d-c , &三个向量不共面，C正确；。中，月=：(3一) +何+方):.a-b M, 三个向量共面，。错误应选：C【点睛】此题考査向量共面的判断，涉及到空间向量根本定理的应用，关键是明确三个向量d.b.c共面，那么必然满足 = + z?c(A,/g/?).mJ是两条不同的直絞，。、戶是两个不同的平面，那么以下各组条件中能推出川丄/的 所有序号是()川丄a,/丄夕，。丄；mlaj/zfl, allp ；m u a丄们a叩；mua挪A.B.C. D.L A【解析】【分析】 根据直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断务个选项即可得到结果.【详解】.也丄a, a

6、ip /. limp或mu们又/丄Z? .-.mil,正确:/ m 1 a, allp m 1 p,又/?m 1 /,正确；丄，allp ./丄。，又mua .丄/,正确：在如卜列图的正方体中：DJ!平面ABCD.平面ADD丄平面ABCD, ADt u平面ADD.此时AQ与不垂直，错误.应选：A【点萌】此题考査空间中线面关系、而而关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中直线 与平面、平面与平面位置关系的相关定理.I 2mn 0. 2m + /! = 1,那么一+-的最小值是（）m nA 4B. 6C. 8D. 16【答案】c【解析】【分析】利用- + - = -+-|（2 + ）*配凑出符合根

7、本不等式的形式，利用根本不等式即可求 m n in n J得结果.I ?【详解】 + ni n仁捉）（2心）=4+兰+仞24 + 2.匹互=4+4 = 8（当且仅当 m n 丿in n m n.即n = 2in时取等号） m n1 2.一+ 的最小值为8tn n 应选：c 【点睛】此题考查利用根本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活应用“1，配 凑出符合根本不等式的形式.8.数列仇,和但满足bn=an,那么“数列%为等比数列是“数列也为等比数列的（A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据等比数列定义可证得甘二 |q|，可知充分性

8、成立：通过反例可确定必要性不成立，从而得到结果.【详解】假设数列0为等比数列,公比为q,那么十b为等比数列，充分性成立设数列如的通项公式为如=2为等比数列，公比0 = 2假设数列为为：2,4,8.16、一32、，满足 =2，但q不是等比数列 an必要性不成立. “数列%为等比数列”是“数列如为等比数列”的充分而不必要条件应选：A【点睛】此题考査充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列定义的应用：关键是能够明确数列成等比数列需满足的条件.2021 -臺州一模经过双曲线M :匚-貝=1( O.b 0)的左焦点作倾斜角为60。的a b-直线/，假设/交双曲线M的左支于A.B ,那么双曲线材离心率的取

9、值范围是()A.(2,+oc)B. (1,2)C. (1,71)D.(E【答案】B【解析】由题意b，得b2=c2-a2 3a2所以，2,即离心率的范围是(1,2),应选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关干eg的方程 或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到的关系式，而建立关于a.b.c的方程或不等 式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.球。直径为3, A,B,C,D是球。上四个不同的点，且满足屈.京=0，AC AD = 0 AD AB = Oi分别用貝，旦，$3表示-ABC gACD, ABD的面积，那么+災+&的最大值是() TOC o

10、 1-5 h z 19A. -B. -C. 9D. 1842【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积为零可确定AC.AB.AD两两互相垂直，从而将三棱锥的外接球转化为长方 体的外接球，根据长方体外接球直径为体对角线长可得a- + /r+c:=9,利用根本不等式可 求得ab+bc + ac9t进而求得面积之和的最值.【详解】-AB AC=0.AC Ab = 0,AD AB = Q:.AC,AB.AD两两互相垂直 .三棱锥A-BCD的外接球即为如以卜.列图所示的长方体的外接球设AD = a9 AC = b , AB = c二 J/+步+疽=3，即a2 + b2+c2=9 2a2 + 2b2 + 2

11、c2 = 18 2 2汕+2bc+2ac(当且仅当a = b = c时取等号)19二 ab + bc + ac 9 二 St + S2 + S5 -(ab + bc + ac) = - 即 +S2 +53的最大值为;应选：B【点睛】此题考查几何体外接球相关问题的求解，关键是能够利用平面向量数量枳等于零得 到垂直关系，进而将问题转化为长方体外接球的问题，涉及到利用根本不等式求解最值：需 明确长方体外接球的半径为体对角线长度的一半.第二局部（非选择题共100分）二、填空题:本大题共6小题，每空5分，共30分，答案写在答题卡上.双曲线-y2 = l的渐近线方程 .4 .【答案】y=x【解析】【分析】

12、先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近 线方程.2【详解】双曲线-/=1的a=2, b=l,焦点在x轴上4而双曲线M - ； = 1渐近线方程为y=-xcr b-ay-1.双曲线 j 一 = 1的渐近线方程为y=+-x故答案为斤【点睛】此题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位，再定量的解题思想抛物线)= 2x的焦点坐标是 ,准线方程是 .【答案】G，OJ, x = -；.【解析】试题分析：由题意得，焦点坐标是0),准线方程是A = -|,故填：(|? 0), x=-l匕匕匕考点：抛物线的标准方程及其性质

13、.公比不为1的等比数列%满足=2,纯+%=4,那么= .【答案】-16【解析】【分析】利用为和g表示出+角=4,从而构造方程求得利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】设等比数列%公比为q(qYl)，那么外+昭= qq + qg=2/7 + 2g=4,解 得：0 = -2:.a4 =-16故答案为：-16【点睛】此题考査等比数列通项公式根本量计算，属于根底题.某四棱锥的三视图如下列图，那么该四棱锥的体枳为 ；面枳最大的侧面的面积为 【答案】 (1). 16(2). 10【解析】 【分析】 由三视图雙原几何体得到四棱锥的直观图，从而确定几何体的高和最大侧面；利用棱锥体积 公式和三角形而枳公式求解

14、即可得到结果.【详解】由三视图叮得四校锥直观图如以卜冽图所示:其中四边形人BCD为矩形，AB=PE = 4, AD = 3, PE丄平面ABCD四棱锥 P - ABCD 的体枳匕_佃3 = hcABCD . = 1x3x4x4 = 16由直观图可知侧面中最大的为PAB ,又PAB中AB边上的高为J16+9 = 5a = 2x4x5 = 1故答案为：16； 10【点睛】此题考査由三视图块原几何体、棱锥体积和侧面面枳的求解问题；关键是能够根据 视图准确复原几何体，从而确定几何体的高和最大侧面.？莱茵德纸草书?是世界上最占老的数学著作之一，其中一道題目的背景是这样的：把100 片面包分给5个人，使每

15、个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的!是较 小的两个数之和，假设将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，那么该数列的公差为【答案】55【解析】【分析】 利用和d表示岀的等量关系，从而构造岀方程组求得结果.【详解】设5个数从小到大排列所成的等差数列为,公差为d那么7(%+% + 务)=0 + 缶，5 = 10。x(3q + 9d) = 2q + d7，解得5x45哄亍d = l。. 55故答案为:557【点睛】此题考查等差数列的实际应用问题，关键是能够利用首项和公差表示出的等量关系.假设不等式x2-2y2y。的实数x,恒成立，那么实数c 的最大值为 .【答案】22-4【解析】、2

16、2(4试题分析：因为xyo,所以由A-2r 1得= 2+U时g(。取最小值271-4,又cg(rU,所以C的最大值为2。！4考点：利用导数求函数最值，不等式恒成立三、解答题:本大题共4小题，共70分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.数列%是递増的等差数列，外=3,且角，外，角成等比数列.U)求数列,的通项公式；设bn=an+2nf求数列传,的前项和S”；假设c“=,设数列弟 前项和为T”,求满足T-的的最小值.ananl【答案 1 (1) an=2n-l, neN S, = /+2服 一2 ： (3) 13.【解析】【分析】11)利用和d表示出的等量关系，从而构造出方程组求得劣和d,根

17、据等差数列通项公式得到结果；由1)可得九，采用分组求和的方式，分别对两组利用等差数列和等比数列求和公 式，合并得到最终结果：由(1)可得勺，釆用裂项相消的方法求得T，从而构造出关于的不等式，结合/?eN, 可求得结果.q+ = 3Jq =(q + d)=q(q + 4c/)解得.d = 2【详解】(1)设等差数列,的公差为d(d0) Fbh=3 得：角-ata5 :.an =+(/? !)J = 2/? 1(2)由(1)得：2=% + 2=2一1 + 2“那么S“=如+奴+如+如=1+3+5+.+(2”一 1)+2+2：+2，+. + 2=些匕虬空丄5一21-2(3)由(1)得：勺 2+2闷2

18、+ 2_1 2/1 + 111 _ 23 3 52n 24 /曰 c 由 ： 12 2/1 + 1252/-1 2/1+1 2/ + 1 e N* 满足兀 的的最小值为13 【点睛】此题考查等差数列通项公式根本量的计算，分组求和法和裂项相消法求解数列的前 项和的问题，涉及到等差数列和等比数列前项和公式的应用：数列求和的关键是能够根 据通项公式的具体形式，针对性的选择对应的方法.18 .如图，在四棱锥中，底面ABCD为咽形，平面PAD L平面ABCD. PA = PD = AB , ZAPD = 90.11)证明：人。平面PBC；(2)证明：ABA.PDx3)求二面角A-PB-C的余弦值.【答案

19、】(1)证明见解析：(2)证明见解析：(3) 一吏.3【解析】【分析】根据AD/BC及线面平行判定定理可证得结论：由面面垂直性质可证得ABL平面PAD,由线面垂直性质可证得结论； 取nD.BC的中点为0E,根据垂直关系可以。为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】(1) 四边形ABCD为矩形/. AD/BC.BCu 平面 PBC , AD(z 平面 PBC.AD 平面 P8C(2) .平而 PAD 平面 A BCD,平面 PADQ 平面 ABCD = AD , AB u 平面 ABCD,AB1AD:.AB丄平面PADP u 平面 PADAB 丄 PD3)取人。的中点为

20、0,取BC的中点为E ,连接。P,從，那么。E1ADPA = PD :. PO 丄 AD:. PO 丄平面 A BCD以。为坐标原点，分别以所在直线为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系, 如以下列图所示不妨设AB = yiPA = PD = AB t ZAPD = 90:.PA = PD = 41 AD = 2, OP = 1二A(L0,0), 8(1,7,0), C(T，Vl0), (O.O.l), D(T、0,0) 那么脇= (1,V,T)，成=(-2,0,0), PD = (-1,O,-1)由(2)可知：ABLPD/ ZAPD = 90 :.PAPD / AB. PA cz 平面 PA

21、B, ABrPA = A :. PD 丄平面 PA8PD为平面PAB的一个法向量设平面PBC的一个法向量为/； = (x,y,z)那么塑=、+r = ,令广1,解得：5 73 = (。,1板) TOC o 1-5 h z riBC = -2x = 0、-PD，H/ cos =- |PD|-|n V2xV3 3.二面角A-PB-C为饨角二面角A-PB-C的余弦值是一巫3【点睛】此题考查立体几何中线面平行和线线垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问 题；涉及到线而平行的判定定理、线面垂直的性质定理、面面垂直的性质定理等知识的应用, 属于常考题型.19.抛物线)户=2px(p 0)经过点(1,2)

22、.11)求抛物线C的方程及其准线方程：(2)过抛物线C的焦点尸的直线/交C于a,8两点，设。为原点.(i )当直线/的斜率为1时，求AOB的面枳：(ii)当网| = 3冏|时，求直线/的方程.【答案】1) y2=4x, x = -l：2) ( i ) 2/2； 3)y = (x-l).【解析】【分析】(1)将点(L2)代入抛物线方程可求得，进而得到结果：2)设厶(由,1)，戸(沔，方)(i)设直线!：y = x-lt与抛物线方程联立得到韦达定理的形式；由S*b = Ssfa + Skb，整理得到&如=；J()1 + )44月及，代入韦达定理可求得结 果；ii)设直线l:y = k(x-l).与

23、抛物线方程联立得到韦达定理的形式；由网| 二 3|，结合抛物线定义得到. = 3,弓+2，与韦达定理的结论联立后可求得A，进而得到结果.【详解J (1) .抛物线y2=2px过点(1,2).2p = 4,解得:p = 2抛物线的方程为)户=4.i,准线方程为工=一1由(1)知：F(l.O)设A况), 8(玛况)(i)由题意得：直线/的方程为y=x-iy: =4x v. + y. = 4联立仁 ，得；y4v-4 = 0二尸八，y = x-4.w|=i, |yj+|y2|=|yi-y2Sw = Ss+SK=!|OF|TM| + ；|OF|.|)%| = ：|OF|(m|+|yJ).SAOB的面积为2白.lii)易知直线/的斜率存在且不为0设直线 l:y = k(x-l)联立，.|/*X| = 3|F5|.,心+ 1 = 3(毛 +1),即 = 3x2 + 2 W2 + ,.VjX2 = 1 联立，解得:冬=31，代入得：k2=3直线/的方程为y = b(x-l)【点睛】此题考査直线与抛物线的综合应用问题涉及到抛物线方程的求解、抛物线中三角 形面枳的求解、焦点分弦成比例问题的求解：求解焦点分弦成比例问题的关键是能够根据向 最共