4.新课标新题型33doc-高中数学

1、 永久免费组卷搜题网PAGE 永久免费组卷搜题网高考创新题的解法 2007年全国数学考试大纲（课标版）中，能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。其中创新意识指对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.创新意识：首先是能独立思考、善于发现、提出有价值的问题，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题. 2007年山东数学考试说明对创新意识

2、的界定是：能够独立思考，灵活和综合地运用所学数学的知识、思想和方法，创造性地提出问题、分析问题和解决问题创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性.精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；反映数、形运动变化的试题；研究型、探索型、开放型的试题.一、开放型 开放型问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一，给学

3、生留有较大探索余地的试题一般有题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题其中结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论;题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的就视为正确的；全开放型，题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题，与此同时解决问题的方法也具有开放型的探索性问题，需要我们进行比较全面深入的探索，才能研究出解决问题的办法来。1

4、. 条件开放型这类题目的特点是给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，需要解题者从结论出发，通过逆向思维去判断能够追溯出产生结论的条件，并通过推理予以确认这种条件探究性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件（未必是充要条件）解决此类问题的策略有两种，一种是将结论作为已知条件，逐步探索，找出结论成立所需的条件，这也是我们通常所说的分析法；第二种是假设题目中指定的探索条件，把它作为已知，并结合其他题设进行推导，如果能正确推导出结论，则此探索条件就可以作为题设条件，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答1在四棱锥中，四条侧棱长都相等，底面是梯形，为保证顶点P在

5、底面所在平面上的射影O在梯形的外部，那么梯形需满足条件_（填上你认为正确的一个条件即可）讲解： 条件给我们以启示由于四条侧棱长都相等，所以，顶点P在底面上的射影O到梯形四个顶点的距离相等即梯形有外接圆，且外接圆的圆心就是O显然梯形必须为等腰梯形再看结论结论要求这个射影在梯形的外部，事实上，我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可显然，点B、C应该在过A的直径AE的同侧不难发现，应该为钝角三角形故当（且ACBC）时可满足条件其余等价的或类似的条件可以随读者想象点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件

6、这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力2.如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1（注：填上你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情况）分析：本题是条件探索型试题，即寻找结论A1CB1D1成立的充分条件，由AA1平面A1C1以及A1CB1D1（平面A1C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直），容易联想到三垂线定理及其逆定理。因此，欲使A1CB1D1，只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可。显然，CA1在平面A1C1上的射影为A1C1，故当B1D1A1C1时，有A1CB1D1，又由于直四棱柱的上、

7、下底面互相平行，从而B1D1BD，A1C1AC。因此，当BDAC时，有A1CB1D1。由于本题是要探求使A1CB1D1成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形或正方形时，依然有BDAC，从而有A1CB1D1，故可以填：ACBD或四边形ABCD为菱形，或四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可。 点评: ACBD是结论A1CB1D1成立的充要条件，而所填的ABCD是正方形或菱形则是使结论A1CB1D1成立的充分而不必要的条件 本例中，满足题意的充分条件不唯一，具有开放性特点，这类试题重在考查基础知识的灵活运用以及归纳探索能力。3.如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、

8、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且AB=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.（1）建立适当的平面直角坐标系，求AMN的外心C的轨迹E；（2）接上问，当AMN的外心C在E上什么位置时，d+BC最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.设AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（xp,0)，N(x+p,0)，由题意，有|CA|=|CM|,化简，得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知d=CF，其中F（0,）

9、是抛物线的焦点.d+BC=CF+BC由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点直线BF的方程为联立方程组得.即C点坐标为().此时d+BC的最小值为BF=.2.结论开放型这类题目的特点是给出一定的条件，要求从条件出发去探索结论，而结论往往是不唯一的，甚至是不确定的，或给出特例后通过归纳得出一般性结论. 解决此类问题的策略有：从已知条件出发，运用所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论；通过归纳得出一般性结论，再去证明；对多种结论进行优化（内含分类讨论）等.3老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于，都有；乙：在上函数递减；丙：在上函数递增；丁：不

10、是函数的最小值如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：_讲解：首先看甲的话，所谓“对于，都有”，其含义即为：函数的图像关于直线对称数形结合，不难发现：甲与丙的话相矛盾（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，则需要认识到：所谓函数在上单调递减，并不是说函数的单调递减区间只有考虑到关于直线的对称性，我们不妨构造函数，使之在上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质如即可如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数，则分段函数是必然的选择如点评：本题考查学生对于函数性质的理解和掌握思考这

11、样的问题，常常需要从熟悉的函数（一次、二次、反比例函数，指数、对数、三角函数等）入手，另外，分段函数往往是解决问题的关键（1999年全国高考) 、是两个不同的平面，、是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断： ； ； ； 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_；4.（2000年全国高考试题）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_（要求把可能的图形的序号都填上）分析：本题为结论探索型的试题，要求有一定的空间想象能力。解：由于正方体的6个面可分为互为平行的三对，而四边形BFD1E的在互为平

12、行的平面上的射影相同，因此可把问题分为三类：a：在上、下两面上的射影为图；b：在前、后两面上的射影为图；c：在左、右两面上的射影为图.综上可知，在正方体各面上的射影是图或图。点评：这也是一道结论探索型问题，结论不唯一，应从题设出发，通过分类以简化思维，再利用射影的概念，得到正确的结论。3.条件和结论都开放型有些题目条件和结论都是不确定的，但是给出了一定量的信息和情景，要求解题者在题目给出的情景中，自行设定条件，自己寻找结论，自己构建命题并进行演绎推理 5.设f(x) 是定义域为R的一个函数，给出下列五个论断： f(x)的值域为R； f(x)是R上的单调递减函数； f(x)是奇函数； f(x)在

13、任意区间a, b (a f(b)； = 5 * GB3 f(x)有反函数以其中某一论断为条件，另一论断为结论（例如： = 5 * GB3 ），至少写出你认为正确的三个命题： . 讲解：本题考察对于函数性质的理解根据单调性的定义，不难知道：等价，又由于单调函数必有反函数，所以，不难写出三个正确命题：；（或）进一步思考，函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系，而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系所以，可以知道，只有上述三个正确命题6已知是实数，给出下列四个论断：（1）；（2）；（3）；（4）以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题_讲解：显然，（1）、（2）等

14、价，它们的含义均为：同号在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正确的命题为：（1）（3）（4）；（2）（3）（4）点评：对于这一类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想在给定的情境中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果7.（1999年全国高考试题）,是两个不同的平面，m , n是平面,之外的两条不同直线，给出四个论断： m n ， ， n ， m 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题8.已知函数,给出以下三个条件:(1) 存在，使得；(2) 成立

15、；(3) 在区间上是增函数.若同时满足条件 和 （填入两个条件的编号），则的一个可能的解析式为 .答案：满足条件(1)(2)时,等；满足条件(1)(3)时,等；满足条件(2)(3)时,等.二、信息迁移型这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识，这些新知识可以是新概念，新定义，新定理和新规则，新情境，并且这些解题的信息有可能不是直接给出的，要求解题者通过观察，阅读，归纳，探索进行迁移，即读懂新概念，理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步演算和推理，从而考察在新的信息，新的情景下，独立获取和运用新信息的能力，综合运用数学知识解决问题的能力和探

16、索能力解答此类问题的方法主要是读懂和理解题中给出的新概念，并能将陌生的情景和熟悉的知识内容之间产生联想，使知识产生迁移，进而解决问题。信息迁移题，由于信息呈现的方式不同，又可分为定义信息型，图表信息型，图像图形信息型等1.定义信息型1.（2001年上海春季高考）若记号“*”表示求两个实数与的算术平均数的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选、都能成立的一个等式可以是_答案：，等.2.已知数列 的前 项的“均倒数”为 （1）求 的通项公式；（2）设 ，试判断并说明 的符号；（3）设函数 ，是否存在最大的实数 ，当 时，对于一切自然数 ，都有 讲解(1)由题意，得关系式

17、，从而有将两式相减，得 ，而 (2)应用（）的结论，得，于是 .(3) 由（2）知 是数列 中的最小项， 时，对于一切自然数 ，都有 ，即 ， ，即 ，解之，得 ， 取 点评“均倒数”是指已知数列 的前 项的算术平均数的倒数3在 ，且对任何 都有： （i） ； （ii） ； （iii） ，给出以下三个结论： （1） ； （2） ； （3） 其中正确的个数为（A ）A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个4.（北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一

18、路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 （A） （B） （C） （D）解：依题意，有x150 x355x35，x1x3，同理，x230 x120 x110 x1x2，同理，x330 x235x25x3x2故选C5.（福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：AB=xx+yy.给出下列三个命题： = 1 * GB3 若点C在线段AB上，则AC+CB=AB; = 2 * GB3 在ABC中，若C=90，则AC+CB=AB； = 3 * GB3 在ABC中，AC+CBAB.其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点

19、，定义它们之间的一种“距离”：若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则=在中，= 命题 成立，而命题在中，若则明显不成立，选B.6.（广东卷）对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则A. B. C. D. 解析：由得,所以,故选B.OM（ ， ）7.（辽宁卷）设 eq oac(,+)是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意有 eq oac(,+),则称A对运算 eq oac(,+)封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集 (B)整数集(C)有理数集 (

20、D)无理数集解析： A中121不是自然数，即自然数集不满足条件；B中120.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。8（山东卷）定义集合运算：AB=zz= xy(x+y)，zA，yB，设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为（A）0 （B）6 （C）12 （D）18解：当x0时，z0，当x1，y2时，z6，当x1，y3时，z12，故所有元素之和为18，选D9(陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解

21、密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7解析：当接收方收到密文14，9，23，28时，则，解得，解密得到的明文为C10(上海卷)(理) 如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，给出下列命题：若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若0，且0，则“

22、距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；若0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3解：选（D） 正确，此点为点； 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）； 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点； (上海卷)（文）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是_.11(上海卷)如果一

23、条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36 解析：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；12（四川卷）非空集合关于运算满足：（1）对任意、，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：非负整数，为整数的加法。偶数，为整数的乘法。平面向量，为平面向量的

24、加法。二次三项式，为多项式的加法。虚数，为复数的乘法。其中关于运算为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号）解析：非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有； （2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：,满足任意，都有，且令，有，所以符合要求；,若存在，则，矛盾， 不符合要求；,取，满足要求， 符合要求；，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以不符合要求；，两个虚数相乘得到的可能是实数， 不符合要求，这样关于运算为“融洽集”的有。13.若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“”，且对于任意3个实数a，b，

25、c都能成立的一个等式可以是_。解析：由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一。这题要把握住，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“”，则可容易得到a+（bc）=（a+b）（a+c）。正确的结论还有：（ab）+c=（ac）+（bc）,（ab）+c=（ba）+c等。试题（陌生的情境）联想已有知识网络审题（阅读、理解、探索）迁移、提取相关信息获解确认（熟悉的情境）点评：通过阅读，正确理解和运用新定义，是解决问题的关键2.图表信息型14一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：第1行1第2行2 3

26、第3行4 5 6 7则第9行中的第4个数是（C ） A. 132 B. 255 C. 259 D. 26015. 向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图： （A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡; （B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.请你根据提供的信息解答下列问题： （1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？ （2）哪一年的规模最大？为什么？讲解 （1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，由图（B）可知, =30，

27、且点在一直线上，从而 由图（A）可知, 且点在一直线上，于是 =（万只），（万只）第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；（2）由（万只），第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.16.（2000年全国高考试题）中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的

28、部分10%超过2000元至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）元（A）800900 （B）9001200（C）12001500 （D）15002800 17.（2002年上海高考题）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（）有一定的关系图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是：（ ）气温最高时，用电量最多气温最低时，用电量最少当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加18.（2000年上海

29、市高考试题）据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代，七八十年代，九十年代的变化情况由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下右图图示为讲解：本题考察读图的能力从1950年到2000年的土地沙化总面积为一条折线，说明这一段的土地沙化总面积不是匀速增长的但相应于这条折线的每一段线段，都代表其对应年份的土地沙化总面积匀速增长，即这一段的年平均土地沙化面积为定值因此，分三段计算，不难得出结论，如图点评：函数三种表示法（解析式、列表、图像表示法）中，学生较为熟悉的是解析式表示法然而，由于另外两种表示法具有直观、形象

30、的特点，在实际应用中较为常见因此，学会读图非常重要图形、图像信息型19.（2000年全国高考试题）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从一月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线线段表示 图1 图2（）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P =f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g(t)（）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天） 解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间

31、的函数关系为（II）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)即当0t 200时，配方整理得所以，当t=50时，h(t)取得区间0，200上的最大值100；当20087.5可知，h(t)在区间0，300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大三、归纳型规律性探索型命题是指从命题给出的多个具体的关系式，通过观察、归纳、分析、比较，得出一般规律的命题。解题策略是：通过研究题设的变化规律，猜想结论，然后证明。1.（2006广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中

32、第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则 ； （答案用表示）.2006年北京卷14图思路分析:法一：由题可知f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，15，通项公式是(不妨，累加整理即得通项公式)，所以f(2)=f(1)+3=4，f(3)=f(2)+6=10，f(4)=f(3)+15=35，f(5)=f(4)+15=35，以此类推f(n)=f(n1)+,于是累加得f(

33、n)=。所以答案应填10；.点评 将数列的通项公式、数列的求和融合到2006年4月24至5月1日举行的世乒赛这一实际情景当中，重点考察累加法求通项公式和常规数列的求和，此外观察分析数据的能力也是本题考查的一个重要方面。当然要顺利解出此题，个人的空间想象能力也是一个非常重要的方面，要求考生在头脑中能清晰建立起“堆成正三棱锥”这一空间模型，并要注意相邻两堆个数变化的根本原因.2. 若、，(1)求证：； (2)令，写出、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式； (3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.讲解 (1)采用反证法. 若，即, 解得 从而与题设,相矛盾， 故成立. (

34、2) 、, .（3）因为 又,所以,因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.3.观察sin220+cos250+sin20cos50=,sin215+cos245+sin15cos45=，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 .答案：sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=四、类比型类比在数学解题中有着十分重要的作用。类比推理可用如下图式描述：根据 其中分别与相同或相似， 推论：B类对象也具有与d相同或相似的属性d。这种题目的特点是给出一个数学情境或一个数学命题，要求解题者发散思维去联想，类比，推广，转化，找出类似的命题，推广的命题，深入的命题.常用的类比有： 1、平面与空间的类

35、比 1.（2002年上海春季高考）如下图若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点与点，则三角形面积之比若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上，分别有点，点和点，则类似的结论为：_把立体几何知识与相关的平面几何知识类比，是实现知识迁移的有效方法，也利于化难为易，启迪思维。如，关于勾股定理，可有几个类比：勾股定理：在直角边长为a,b，斜边长为c的直角三角形中，有 类比1：长、宽、高分别为p,q,r,对角线长为d的长方体中，有 类比2：长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为p,q,r,长方体对角线长为d，则有 类比3：四面体交于一个顶点O的三条棱两两互相垂直，与O相邻的

36、三个面的面积分别为A，B，C，与O相对的面的面积为D，则有： 我们知道正三角形内任一点P到各边距离之和为常数。分别从三条边相等与三个角相等类比，“在各边相同的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”和“在各角相等的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”。可以证明这两个命题都是正确的（利用面积法证明）。在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.”提醒：关于空间问题与平面问题的类比，通常

37、可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角面 积 线段长； 2.同类之间类比（椭圆与双曲线类比）2.若数列an是等差数列，数列bn满足bn=，则bn也为等差数列.类比上述性质，相应地，若数列cn是等比数列，且cn0，数列dn满足dn= ，则数列dn也为等比数列. 答案：dn=（nN*）3.（2000年上海市高考试题）在等差数列an中，若 a10= 0 ,则有等式a1 + a2 + + an = a1 + a2 + + a19-n (n19 , n N +)成立类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b9= 1 ，则有等式_成立4.有对称

38、中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）.定理：过圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值1.（）写出该定理在椭圆中的推广,并加以证明；（）写出该定理在双曲线中的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论.解：（）设直径的两个端点分别为A、B,由椭圆的对称性可得,A、B关于中心O（0,0）对称,所以A、B点的坐标分别为A（,B（.P（上椭圆上任意一点,显然,因为A、B、P三点都在椭圆上,所以有 , , .而

39、,由得：.所以该定理在椭圆中的推广为：过椭圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值.（）该定理在双曲线中的推广为：过双曲线上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值 该定理在有心圆锥曲线中的推广应为：过有心圆锥曲线上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值 EQ F(A,B) .同类之间的类比在圆锥曲线中，常常以姐妹题形式出现，这样对学生思维和素质的考查具有很好的功能，而且题型新颖，避免了传统的考法的单调。3.与已知数学方法类比5.设，利用推导等差数列前n项和的方法倒序相加法，求的值

40、为_。解：本题类比数学方法，即利用倒序相加法，通过合情猜想即可解决。由又，。4.与已知概念类比6.（2004年北京）定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列a等和数列，且，公和为5。那么的值为_，这个数列前n项和的计算公式为_。分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。解：a是等和数列，公和为5，则，知，（nN*）。3，数列a形如：2，3，2，3，2，3，。评注：这是一道新情境题型，关键要吃透定义，对于n为奇数时，五、存在性型存在性

41、探索型命题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在，进行演绎推理，若推出矛盾，则假设不成立，若推出结果，则假设成立，即指定的数学对象存在。一般来说，是否存在型问题，实质上是探索结论的开放性问题相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论，有些时候须讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试的命题者的青睐解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素1已知数列中，且对于任意自然数，总有，是否存在实数，使得对于任意自然数恒成立？证明你

42、的结论讲解：是一个一般性的结论，为了探求是否存在，我们可从特殊的n出发，求出的值，再检验是否满足一般的条件由，代入，可解得代入检验，可知当时，一方面由得，另一方面，由得，矛盾所以，这样的实数不存在点评：探索，常常遵循“从一般到特殊，再从特殊到一般”的思维方法先从具体、特定的实例入手，从中探测出问题的结论，再经过严格的论证2已知函数（是自然数）是奇函数，有最大值，且（）试求函数的解析式；（）是否存在直线与的图象只交于P、Q两点，并且使得P、Q两点的中点为（1，0）点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由讲解：（）由为奇函数易知：又因为是自然数，所以，当时，0；当时，所以，的最大值必在时取得

43、当时，等号当且仅当时取得所以，又，所以，结合是自然数，可得：所以，（）对于“是否存在型”的问题，一般探索的方法为：假设存在，导出矛盾，或者从部分结论出发，导出其存在的必要条件，再验证是否充分根据上述思路，我们可以假设存在满足条件的直线，则、Q的坐标可为P，且这两点都在函数的图像上即：消去，得，解得：所以，或所以，直线的方程为：的存在性还须通过充分性的检验把直线的方程与函数联立，不难求得，共有三组解：因此，直线与的图象共有三个交点，与“只交于两点”矛盾所以，满足条件的直线不存在在得到这样的解答之后，我们不妨回头再看一看，在上述过程中，函数的性质（如奇偶性）并没有得到充分的应用若能充分运用这个已知

44、条件，则可以得到其他不同的探索过程解2：设，则由为奇函数可知：P关于原点的对称点也在的图像上，又，所以，且，故问题等价于：是否存在直线，使得与有两个距离为2的交点将代入，解之得：，令，解得：，所以，此时直线的方程为充分性的检验过程同上以上两种解法都是从求出直线的方程入手如果我们将着眼点放在“只交于两点”，则可以得到下面简洁的解法解3：当直线的斜率不存在时，此时与函数的图像只交于一点，不满足题设，所以，可设直线的方程为：，与联立，消去得： （#）由P、Q关于点（1，0）对称，可得：点（1，0）在直线上，所以，对于上述方程（），若，则方程只有一解，不符合题意若，则方程（#）的实根个数可能为1个或3个不可能有两个即过点（1，0）的直线与的图象不可能只有两个交点，所以，这样的直线不存在点评：敏锐的观察，