2021-2022学年青海省西宁市城西区高二年级上册学期数学第一次月考试题【含答案】

1、2021-2022学年青海省西宁市城西区高二上学期数学第一次月题一、单选题1对于直线m，n和平面，下列命题中正确的是（）A如果m，n，m，n是异面直线，那么nB如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交C如果m，n，m，n共面，那么mnD如果m，n，m，n共面，那么mnC【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理，结合空间图形构造反例，依次判断即可【详解】对于A，如图，此时n与相交，故选项A不正确;对于B，如图，此时m，n是异面直线，而n与平行，故选项B不正确;对于C，如果m，n，则mn或者m，n异面，又m，n共面，那么mn，故选项C正确对于D，如图，m与n相交，故选项D不正确.故选：C2如图，

2、在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）ABCDA【分析】根据线面平行的判定可得B，C中，D中判断即可【详解】对A，如图，易得平面平面，但平面与相交，故直线与平面不平行；对B，如图，为所在棱的中点，根据中位线的性质有，且，故平行四边形，故，故，故直线与平面平行.对C，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得，直线与平面平行；对D，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得，直线与平面平行；故选：A3把正方形沿对角线折起，当以，四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成角的大小为（）ABCDC【分析】当平面平面时，三棱锥体积最大，由此能求出

3、结果【详解】解：如图，当平面平面时，三棱锥体积最大取的中点，则平面，故直线和平面所成的角为，故选：本题考查直线与平面所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题4在三棱锥中，则下列说法正确的是（）A平面平面B平面平面C平面D平面A【分析】对于A，取的中点，连接，利用面面垂直的判定定理判断，对于BCD，利用反证法分析判断.【详解】取的中点，连接,因为，所以,因为，所以，所以因为，所以,所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以A正确，对于C，假设平面，则由平面，可得过平面外一点有两条直线与平面垂直，这与过平面外一点只有一条直线与此平面垂直相矛盾，所以C错误，对于D，假设

4、平面，因为平面，所以，所以，因为，所以，所以的3个内角和大于，这与三角形内角和定理相矛盾，所以D错误，对于B，假设平面平面，过作于，因为平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，选项D中已证这不可能，所以平面与平面不垂直，所以B错误，故选：A5下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是A（1）（2）B（2）（3）C(3)(4)D(1)(4)D【详解】（1）是正方体，它的正视图、侧视图、俯视图都是正方形；（2）是圆柱，它的正视图、侧视图都是矩形，俯视图是圆；(3)是圆锥，它的正视图、侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆及圆心；(4)是球，它的正视图、侧视图、俯视

5、图都是圆因此选D6如图所示，ABCD为各边与坐标轴平行的正方形ABCD的直观图，若AB3，则原正方形ABCD的面积是()A9B3CD36A【详解】由题意知，ABCD是边长为3的正方形，其面积S9.选A.7圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（）A7B6C5D3A【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解.【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，所以，解得.故选：A.本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.8已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为ABCDD

6、【详解】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.正四棱柱的几何特征；球的体积.9一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A21+B18+C21D18A【详解】试题分析：由题意，该多面体的直观图是一个正方体挖去左下角三棱锥和右上角三棱锥，如下图，则多面体的表面积.故选A.多面体的三视图与表面积.10若一圆锥与一球的体积相等，且此圆锥底面半径与此球的直径相等，则此圆锥侧面积与此球的表面积之比为()ABCD32B【分析】设球的半径为，则圆锥的底面半径为，设圆锥的高为，由体积相等可得与的关系，再求出圆锥的侧面积与球的表面积，作比

7、得答案【详解】设球的半径为，则圆锥的底面半径为，设圆锥的高为，由，得，得，圆锥的母线长则圆锥的侧面积为，球的表面积圆锥的侧面积与球的表面积之比为：故选：11如图，在多面体中，且，F在上，要使平面，则的值为（）A3B2C1DB【分析】连接相较于点，连接，由得，再由下面平行的性质可得，从而得到答案.【详解】连接相较于点，连接，因为，且，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，所以.故选：B.12已知一个正方体的展开图如图所示，其中A，B为所在棱的中点，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中与所成角的大小是（）A30B45C60D90C【分析】把展开图还原成正方体，确定和的位置，作出异面直线所成的

8、角，然后求角的大小【详解】解：展开图还原为正方体(如图),其中分别为所在面的对角线，因为分别为相应棱的中点，所以，易知，所以为与所成的角(或其补角)，又因为，所以，即与所成角的大小是故选：C二、填空题13袋里有除颜色不同外其他都相同的8个球，其中红球和黄球各有2个，其余都是蓝球根据以上信息，请写一个概率为1的事件：_一次从袋里摸出7个球，其中三种颜色的球都有（答案不唯一）【分析】根据已知写出一个必然事件即可.【详解】写一个概率为1的事件，即必然事件即可如：一次从袋里摸出7个球，其中三种颜色的球都有故一次从袋里摸出7个球，其中三种颜色的球都有（答案不唯一）14已知，是空间中的三条相互不重合的直线

9、，给出下列说法：若，则；若与相交，与相交，则与相交；若平面，平面，则，一定是异面直线；若，与成等角，则其中正确的说法是_（填序号）【分析】根据平行公理可判断，在空间考虑两直线都与第三条直线直线相交的所有可能情况可判断，考虑在两个平面内的两条直线的所有位置关系可判断，两条直线与第三条直线成等角，这两条直线可相交可平行可异面判断.【详解】由公理4知正确；当与相交，与相交时，与可能相交、平行，也可能异面，故不正确；当平面，平面时，与可能平行、相交或异面，故不正确；当，与成等角时，与可能相交、平行，也可能异面，故不正确故本题主要考查了空间中线与线的位置关系，考查了空间想象力，属于中档题.15一个圆台上

10、、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为_cm.13【分析】结合圆台的图形，利用勾股定理即可求得母线的长.【详解】如图，由题意可得，过点A作，交OB于点C.在中，.故答案为13本题考查圆台的结构特征，考查圆台母线的求法，属于基础题.16若各顶点都在一个球面上的长方体的高为4，底面边长都为2，则这个球的表面积是_【分析】根据长方体的体对角线长等于外接球的直径可得球的半径，再根据球的表面积公式可求解.【详解】解：长方体的体对角线长为，球的直径是2R2，所以R，所以这个球的表面积S4()224.故答案为:.17如图: PA平面ABC，ACB=90且PA

11、=AC=BC=，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_.【分析】先过B作BDAC，且BD=AC得到下底面为矩形，把问题转化为求PBD；然后通过PADB，DBAD证得DB平面PAD，进而求出BD，PA；在RTPDB中，求出PBD的正切值即可【详解】过B作BDAC，且BD=AC；所以ADBC为矩形,且PBD（或其补角）即为所求因为PA=AC=BC=aAD=a；BD=aPA平面ABCPD=；又因为PADB，DBADDB平面PADBDPD在RTPDB中，tanPBD=即异面直线PB与AC所成的角的正切值等于故答案为本题主要考察异面直线及其所成的角解决本题的关键在于通过过B作BDAC，把问题转化为求P

12、BD三、解答题18已知向量，其中（1）若，且，求的值；（2）设函数，当时，是否存在整数使得的值域为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由（1）；（2）存在，.【分析】(1)由给定条件求得，进而求出x的三角函数即可计算得解； (2)求出的表示式，再化简函数，然后按a值的正负分别求出函数值域即可作答.【详解】（1）因，则，整理得：，于是得，而，即，又，从而得，即，所以；（2）由题意，因，则，因此，而，则当时，的值域是，又的值域为，于是得，解得，都是整数，符合题意，当时，的值域是，又的值域为，于是得，解得，不全是整数，不合题意，综上，存在整数使得的值域为.19已知复数，i是虚数单位.（1）若是实

13、数，求b的值；（2）在点P在实轴上，点P在虚轴上，点P在一三象限的角平分线上，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：若，复数在复平面内对应的点为P，且_，求实数m的值.注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答记分.（1）；（2）选；选；选.【分析】（1）根据，先利用复数的除法化简，再根据复数为实数求解；（2）易知，选根据：P在实轴上，则复数为实数求解；选：根据点P在虚轴上，则复数为纯虚数求解；选：根据点P在一三象限的角平分线上，由实部和虚部相等求解.【详解】（1）因为，所以，因为是实数，所以，解得；（2），选：因为 P在实轴上，所以，解得；选：因为点P在虚轴上，所以，解得；选

14、：因为点P在一三象限的角平分线上，所以，即，解得.20在中，分别为内角的对边，且满足（1）求的大小；（2）从，这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题问题：已知_，_，若存在，求的面积，若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分（1）；（2）答案不唯一，具体见解析【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合辅助角公式化简运算，可求出角的范围.（2）若选择条件，由余弦定理可计算的值，面积公式计算面积；若选择条件，正弦定理计算边，两角和的正弦计算，可求面积；若选择条件，由大边对大角可知三角形不存在.【详解】解：（1）因为，由正弦定理可得因为所以即因为所以因为即（2）

15、若选择条件，由余弦定理可得，解得，故，所以若选择条件由正弦定理可得，可得所以若选择条件这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，所以，所以，所以又因为所以与矛盾所以这样的三角形不存在21如图1，已知ABD和BCD是两个直角三角形，BADBDC.现将ABD沿BD边折起到的位置，如图2所示，使平面平面BCD.（1）求证：平面平面；（2）与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由.（1）证明见解析；（2）与BD不可能垂直，证明见解析.【分析】（1）证得平面，结合面面垂直的判定定理即可得出结论；（2）假设与BD垂直，然后推出与已知条件矛盾，即可得出与BD不可能垂直.【详解】（1）因为平面平面BCD，平面

16、平面BCD=BD，CD平面BCD，CDBD，所以CD平面，又因为平面，所以CD，又因为,，所以平面，且平面，所以平面平面；（2）假设与BD垂直，又因为CDBD，且，所以平面，又因为平面，所以，这与矛盾，故假设不成立，即与BD不可能垂直.22如图，在三棱锥中，平面平面，点D，E在线段上，且，点F在线段上，且证明：平面证明见解析【分析】证明，原题即得证.【详解】证明：因为，所以.因为平面平面，平面平面平面,所以平面，所以.因为，所以,因为平面，所以平面.23已知一个圆柱的侧面展开图是边长为和的矩形，求该圆柱的表面积或【分析】分类讨论侧面，根据对应周长求底面半径，最后根据圆柱表面积公式求表面积【详解

17、】解： 以AB边为底面周长的圆柱时，底面圆半径，高，所以表面积，以AD边为底面周长的圆柱时，底面圆半径，高，所以表面积，综上，所求圆柱的表面积是或.24如图，在中，斜边，可以通过以直线为轴旋转得到，且平面平面动点在斜边上（1）求证：平面平面；（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的正切值（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）平面平面，可证平面，即可证明结论；（2）取中点，连，则，（或补角）为异面直线与所成的角，解，即可求出结论.【详解】（1）平面平面，平面平面，平面平面，平面平面平面；（2）取中点，连，为的中点，（或补角）为异面直线与所成的角，平面，平面，平面，在中，斜边，所以异面直线与所成

18、角的正切值为.本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.25如图，正方体的棱长为，连接，得到一个三棱锥，求：（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥的体积.（1）；（2）【分析】（1）由图可知，三棱锥是棱长为的正四面体，分别求出它的表面积和正方体的表面积，再相比，便可得答案.（2）利用割补法，由正方体的体积减去四个体积相同的三棱锥，即可得解.【详解】（1）正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，且其四个面都是正三角形，则其表面积为，又因为正方体表面积为，则三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为；（2）利用割补法，三棱锥为正方体去掉四个体积相同的三棱锥.，则三棱锥的体积为.本题考查三棱锥的表面积和体积，借助正方体的性质以及割补法，同时考查学生的想象力和空间思维能力.26在四棱锥中，平面，（