和差公式及倍角公式的运用

1、 和差公式及倍角公式的运用一、和差公式sin(a土B)=sinacosB土cosasinB,cos(a土B)=cosacosB卩sinasinB,tan(a土B)=tana土tanB1卩tanatanB倍角公式sin2a=2sinacosa,cos2a=cos2a-sin2a=1一2sin2a=2cos2a-1,2tanatan2a=1-tan2a三、应用类型题型一）给角求值例】、求sin1OOosin(-16Oo)+cos2OOocos(-28Oo)的值解析】原式=-(cos100sin200+cos200sinlOo)=-sin30o=-2或原式=一(sin8Oosin2Oo+cos2Oo

2、cos8Oo)=-cos6Oo=-1）例2、计算1-2sin222.5o的结果等于（D【解析】I-2sin222.5o=cos45o=-2答案：B例3、已知sinaI，则cos-2a）的值为）D【解析】cos0-2a)=-cos2a=-(1-2sima)=2sin2a-1=2x9-1=-9答案：B例4、已知a为第三象限角，cosa=-3，则tan2a二3【解析】a为第三象限角，cosa=-5,sina=一1一cos2a=45sina4于是tana=cosa3:.tan2a=2tana241一tan2a1-例5、求sin10osin30osin50osin70o的值.解析】法一：利用二倍角公式的

3、变形公式解：sin2a=2sinacosa，sin2asina=2cosa原式_sin2Oo.1.sinlOOo.sin14Oo2cos1Oo22cos50o2cos70osin2oo1sin8oosin4oo_1_2sin80o22sin40o2sin20o16法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式解：原式_cos8o240。cos2O0_|cos2O0cos4O0cos8O02sin2oocos2oocos4oocos8oo_sin4oocos4oocos8oox2sin2oo4sin20osin8oocos8oo_sin160o_18sin2oo16sin20o16或原式_cos8o

4、ocos4oocos2oo_cos20ocos40ocos80o22sin4oo_2sin200cos4oocos8oo1sin8oocos8oo_8sin2001sin16oo1=16sin20016提示：sin2a=2sinacosa，sin2acosa=2sina因此cos2oo=sin4002sin200法三：构造对偶式，列方程求解令兀=sinlOosin50osin70o,y=coslOocos50ocos70o.贝Uxy=sin10ocoslOosin50ocos50osin70ocos70o=sin200sin1000sin1400222=1sin2Oosin8Oosin4Oo=

5、1sin8Oosin4Oosin2Oo88=1cos1Oocos5Oocos7Oo=y88sin1osin3oosin5oosin7oo=存y丰0，:X=，从而有8例6、求下列各式的值ntan-12【解析】原式=|2sin28-）=-2（-2皿8）=-打厂TOC o 1-5 h z-n亠n1一tan21一tan2(2)原式=旦=2x昱=2x=2、月nnntan2tantan12126题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点：对“二倍角应该有广义的理解，如：4是是2的二倍角“是2的二倍角，32是32的二倍角等；2（2）公式逆用：主要形式有2sin2cos2-sinla，sin2cos2=sin

6、2a,2sin22sin222tan2sin2=,cos2=,cos22一sin22=cos22,=tan22.2cos22sin21-tan22变式训练】n/、tan8_-n1一tan28同步练习、求下列各式的值(1)cos2Oocos4Oocos6Oocos8Oo;(2)(cos一sin)(cos+sin)；8888题型二）给值求值例、已知叫-x）=5xe（哙求工的值4点拨】求少-x的范围=求cos(-x)的值=利用cos2x=sin(冬-2x)求值442TOC o 1-5 h znnnnnnn而sin(_-2x)=2sin(_-x)cos(_x)；cos(+x)=sin_-(_+x)=s

7、in(-x).2444244【解析】.xe(0扌|-x$(04),依题意，sin(4-x)=5，:cos(_-x)-sin2(_-x)二竽,又costan匸一0)sin2(+0)_x二sin(f-2x)二2sin(_-x)cos(_-x)-2乂1乂呼二毎, HYPERLINK l bookmark20 o Current Document nnnn1cOs(4+x)=sin2-(4+x)=sin(4-x)=5W6_原式二亘=竺6155题后感悟】1）从角的关系寻找突破口这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，

8、将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论当遇到n土x这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将nnn条件与结论沟通.cos2x=sin(-2x)=2sin(_-x)cos(-x).类似这样的变换还有：cos2x-sin(2+2x)-2sin(4+x)cos(4+x),.nnnsin2x-cos(一2x)-2cos2(_一x)一1-1一2sin2(_一x),sin2x=一cos(-+2x)=1一2cos2(4+x)=2sin2(4+x)一1等等.例2、已知叫-x）=3,xe听,求工的值4解析】0sin2x二cos(一2x)=1一2sin2(?x)二1x()2二1

9、,2439又.xe(O.-x*(0,-),依题意，叫一x）=，:cos（_-力打-血町-x）哼而sin(冬+x)=sin冬一(冬一x)=cos(一x)=5,_2_3题型三）化简例、化简下列各式：2cOS20-1(cos1Oo(1+寸3tan1Oo)；cos7Oo、：1+cos4Oo点拨】切化弦，并逆用二倍角公式cos10o(1+cos1OO、:3sin1Oo)【解析】(1)原式二_cos1Oo)=cos100+、3sin1osin2Oo迈cos2Oo3cos100+sin100)2sin400sin400=2j2(sin300cos100+cos300sin100)=22sin400=?迂2(

10、cos10o+*3sin1Oo)_22(2sin400sin400提示：1、1+cos40o=2cos22Oo；分子变为cos500.【解析】(2)原式=竺20n2sin(0)42、还可以将2变为cos600,将#变为sin600,因此,cos20cos204=1.ncos20sm(20)cos2(二一0)2cos(-0)4题后感悟】被化简的式子中有切函数与弦函数时，常首先“切化弦”，然后分析角的内部关系，看是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转化；若没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与差的三角函数展开（或重新组合），经过这样的处理后，一般都会化简完毕变式训练】化简：(Dv3tan120-3sin120(4cos212。一2)(2)1+sina一cosa+1+sina+cosa1+sina+cosa1+sina一cosa3sin120一3【解析】原式=*3sinl2o3cosl2o2sinl2o(2cos212o-1)2sin12ocos12ocos24o1.0.【错解】Jsinx+cosx1,两边平方，得(sinx+cosx)21,1+2sinxcosx1,sin2x0,2kn2x2kn+n(keZ),因此，knx1,两边平方，得sinxcosx0,必有sinx0且c