函数与三角-2023高考数学（基础知识+思想方法+出题背景+高考真题训练）

1、函数与三角2023高考数学（基础知识+思想方法+出题背景+高考真题训练） 函数与三角2023高考数学（基础知识+思想方法+出题背景+高考真题训练）0.基础知识三角函数化简与求值1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin ()_；cos ()_；tan ()_ eq blc(rc)(avs4alco1(，均不为kf(,2)，kZ) .2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2_；cos 2_；cos2_，sin2_；tan2_(，2均不为k eq f(,2) ，kZ).3. 辅助角公式：a sin xb cos x_，其中tan eq f(b,a) .1. sin cos cos sin c

2、os cos sin sin eq f(tan tan ,1tan tan ) 2. 2sin cos cos2sin22cos2112sin2 eq f(1cos2,2) eq f(1cos 2,2) eq f(2tan ,1tan2) 3. eq r(a2b2) sin (x)三角函数的图象由ysin x的图象得到yA sin (x)的图象主要有下列两种方法： eq avs4al(x(ysin x)o(,sup7(相位变换)ysin （x）) 周期变换 eq x(yA sin （x）) eq o(,sup7(振幅变换) eq x(ysin （x）) 或 eq x(ysin x) eq o(

3、,sup7(周期变换) eq x(ysin x) 相位变换 eq x(yA sin （x）) eq o(,sup7(振幅变换) eq x(ysin （x）) 说明：前一种方法第一步相位变换是向左(0)或向右(0)或向右(n!以及1+2+3+.+n=n(n+1)/2，即得所需结果。在解决问题中，观察条件、结论的结构和联系是非常重要的。类似的，2022全国高考1卷第7题。（2022全国高考1卷第7题）设，则（ ）A. B. C. D. 分析：设,将0.1抽象成，,则；问题迎刃而解。理解逻辑推理，快得分数学推理是学生学习数学、进行思考的基本能力。一般地，可从以下两个方面入手培养学生的数学推理能力。明

4、确“化归也是推理”的思想在数学问题中，给出的条件有时会在量、形关系上显得较为杂乱，无从下手。这时，需要根据待解问题的表现形式，对所给的量、形关系做和谐统一的化归。即化归应朝着使待解问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更匀称和恰当。【例题】在 ABC中，A2C，求证：b/3acb/2分析 条件是角的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结论与条件统一起来，转化为sin B/3 sin Asin Csin B/2，进一步将角统一起来，由A2C，B（AC）3C，结论进一步转化为关于单变元C的不等式sin 3C/3sin 2Csin Csi

5、n 3C/2，将之再简单化为两个更为具体的不等式，即sin 3C/3sin 2Csin C，且 sin 2Csin Csin 3C/2.从而，问题就化归为如下两个表现形式上较统一的问题：（1）在 ABC中，A2C，求证 sin 3C3sin 2C3sin C（2）在 ABC中，A2C，求证2sin 2C2sin Csin 3C对于问题（1），继续将结论统一为关于同角C的同名三角函数的不等式：sin 3C3sin 2C3sin C，等价于3sin C4（sinC）36sinCcos C3sinC等价于4(sinC)26cos C+60等价于2（cosC）23cos C+10等价于(2cos C1

6、)(cos C1)0等价于cosC1/2.问题（1）随之就化归为：在ABC中，A2C，求证cosC1/2这是一个很简单的问题同样可证问题（2）分析上述解题过程，如何将元素统一，以及将条件与结论在表现形式上的统一是问题解决的关键，化归正是朝着这个方向进行的。其实，回顾、反思中学数学学习，很多内容都是遵循统一性原则的：如不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算；多变元的问题通过消元变为一个变元的问题；三角诱导公式的重要作用就是实现三角式的和谐统一，等等。类似的，2022全国1卷第18题。（2022新高考卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求的最小值分析 条件是角

7、的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结论与条件统一起来，转化为以，进一步将角统一起来。由化成，即：，得，即有，进一步转化为关于单变元B的代数式，从而，问题就化归为如下表现形式上较统一的问题：【问题3】在 ABC中，求的最小值.对于问题3，继续将其统一为关于同角B的同名三角函数式：等价于“求的最小值“问题3随之就化归为：在 ABC中，求的最小值这是一个很简单的问题3.出题背景常见不等式1【运用案例】（2022全国甲（理）T12） 已知，则（ ） B. C. D. 分析：因为,因为当，所以,即,所以；结合“”,即可判断：故，双曲函数与反双曲函数【运用案例】（2022泰州高一期末）【运

8、用案例】（2022无锡高一期末）已知函数(a，bR)（1）若a4，b8，解关于x的不等式；（2）已知为定义在R上的奇函数当x(，0时，求的值域；若对任意xR成立，求m的取值范围（2021常州高一期末）已知函数，函数.(1) 填空: 函数的增区间为 ；(2) 若命题“”为真命题，求实数m的取值范围；(3) 是否存在实数m，使函数在0，1上的最大值为0？如果存如果存在，求出实数m所有的值.如果不存在，说明理由.【考点】函数的单调性、存在性问题求参数的取值范围、函数最值的综合应用【解析】(1)的增区间为.（写开区间亦可） 2分(2)由题意，令，当且仅当时取“=”，“”为真命题可转化为“”为真命题，4

9、分因为，当且仅当时取“=”，所以， 所以. 6分(3)由(1)可知，当时，记，若函数在0，1上的最大值为0，则当即时，在上的最小值为1， 因为图象的对称轴，所以， 解得，符合题意； 8分当即时，在上的最大值为1，且恒成立，因为的图象是开口向上的抛物线，在上的最大值只可能为或，若，则，不合题意；若，则，此时对称轴，由，不合题意. 11分综上所述，只有符合条件. 12分注：如果先考虑时，恒成立，由，可得，可以避免讨论，同样得分.04.高考真题训练一、单选题1.（2022全国甲（文）T5）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 2.（2

10、022全国甲（理）T11）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3.（2022全国乙（文）T11） 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）A. B. C. D. 4.（2022新高考卷T6） 记函数的最小正周期为T若，且的图象关于点中心对称，则（ ）A. 1B. C. D. 35.（2022北京卷T5） 已知函数，则（ ）A. 在上单调递减B. 在上单调递增C. 在上单调递减D. 在上单调递增6.（2022北京卷T10） 在中，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7.（2022浙江卷T6） 为了得到函数的图象，只要把

11、函数图象上所有的点（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度二、填空题1.（2022全国甲（文）T16）. 已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，_2.（2022全国甲（理）T16）已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，_3.（2022全国乙（理）T15） 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为_4.（2022新高考卷T6） 角满足，则（ ）A. B. C. D. 5.（2022新高考卷T9）函数的图象以中心对称，则（ ）A. 在单调递减B. 在有2个极值点C. 直线是一条对称轴D. 直线是一条切线6.（2022北京卷T

12、13） 若函数的一个零点为，则_；_7.（2022浙江卷T11） 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积设某三角形的三边，则该三角形的面积_8.（2022浙江卷T13） 若，则_，_三、解答题1.（2022全国乙（文）T17）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）若，求C；（2）证明：2.（2022全国乙（理）T17）记的内角的对边分别为，已知（1）证明：；（2）若，求的周长3.（2022新高考卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）若，求B；（2）求的最小值4.