复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

1、- .复变函数与积分变换.期末试题A 答案及评分标准.复变函数与积分变换 .期末试题A一填空题每题 3 分,共计 15分11i3的 幅 角 是 32k,k0 ,12； 2.Ln1i的 主 值 是21ln23i；3. fz 112,f500 ；. -1；24z4z0是zsinz的一级 极点；5fz 1,Re s fz ,z4z二挑选题每题3 分,共计 15分1解析函数fzux,yivx ,y的导函数为B ；Afz uxiuy； Bfz uxiuy；Cfz uxivy； Dfz uyivx. 2C 是正向圆周z3,假如函数fz D ,那么Cfz d z0Az32；B3 z1 ； C3 z1 ； D

2、z32z2z2 22.word.zl.3假如级数n1c nzn在z2点收敛,那么级数在C Az2点条件收敛；Bz2 i点肯定收敛；Cz1i点肯定收敛；Dz12i点肯定发散以下结论正确的选项是 B A假如函数f z 在0z 点可导,那么fz在z 点肯定解析；- - .B 假如 f z 在 C 所围成的区域内解析,那么 C f z dz 0C假如 C f z dz 0,那么函数 f z 在 C 所围成的区域内肯定解析；D 函数 f z u x , y iv x , y 在区域内解析的充分必要条件是u x , y 、v x , y 在该区域内均为调和函数5以下结论不正确的选项是D A 为 sin 1

3、 的可去奇点；B 为 sin z 的本性奇点；zC 为sin 11 的孤立奇点 ; D 为sin 1z 的孤立奇点 .z三按要求完成以下各题每题10 分,共计 40 分1设fz x2axyby2icx2dxyy2是解析函数,求a,b,c,d.2运算Cz z e1 2dz其中 C 是正向圆周：z2；z3运算z3 12 z15 z4 z3d z22 4函数fz z 2 z1 z2 3z3 2在扩大复平面上有什么类型的奇sinz 3点？,假如有极点,请指出它的级. 四、此题 14分将函数fzz1 2 z1 在以下区域内绽开成罗朗级数；10z11,20z1,31z五此题 10分用 Laplace变换求

4、解常微分方程定解问题- yx 5yx 14y x ex.word.zl.y0y0六、此题 6 分求ftet- 0.的傅立叶变换,并由此证明：0cost2d2et2三按要求完成以下各题每题10 分,共 40 分 1 设fz x2axyby2cicx2dxyy2是 解 析 函 数 , 求a,b,c,d.2cxdy,解：由于fz 解析,由 C-R 条件uvuvxyyx2xaydx2yax2 bya2 d2,a2 c,2 bd,1 b,1给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分；2运算Czz e2zdz其中 C 是正向圆周：1 解：此题可以用柯西公式 仅给出用前者运算过程柯西高

5、阶导数公式运算也可用留数运算洛朗绽开运算,由于函数fz zz ez在复平面内只有两个奇点z 10,z21,分别以z 1,z221为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆c1,c2且 位 于c内Czez2zdzC1zz e2dzC2zz e2dz1z1z1.word.zl.2iz ez12izez2z02i1 z- - .无论采纳那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分；153z 3 1 z 2 z2 2 z 4 3 d z解：设 f z 在有限复平面内全部奇点均在：z 3,由留数定理15z 3 1 z 2 z2 2 z 4 3 d z 2 i Re s f z , -5 分

6、2 i Re s f 1 12 -8 分z z1 15f 1z z 12 1z 12 2 z 2 1z 4 3 z 121 1 1f 2 2 2 4 3 有唯独的孤立奇点 z 0,z z z 1 z 2 z 1 1 1 1 1 1Re s f z z 2 0, lim zf z z 2 lim 1 z 2 2 2 z 41 3 115z 3 1 z 2 z2 2 z 4 3 d z 2 i-10 分2 3z z 1 z 2 2 4函数 f z 3 z 3 在扩大复平面上有什么类型的奇sin z 点？,假如有极点,请指出它的级 . 解：2 3 2f z z z 1 z 2 3 z 3 的奇点为

7、z k , k 0 , ,1 2 , ,3,sin z 1z k , k 0 , 1 , 2 , 3 , 为（sin z）0 的三级零点,2z 0,z 1 , 为 f z 的二级极点,z 2 是 f z 的可去奇点,3z 3 为 f z 的一级极点,4z 2 , 3 , 4,为 f z 的三级极点；5为 f z 的非孤立奇点；- .word.zl.- .朗级数；备注：给出全部奇点给5 分 ,其他酌情给分；四、此题 14分将函数fzz1 2 z1 在以下区域内绽开成罗 10z11,20z1,31z解：1当0z11fz z211 z11z11z1而z11 n01n z1 n11 nnz1n1n0f

8、zn01n1nz1 n2-6 分2当0z1fzz211 z21z =1n0nzz1z2n0zn2-10 分3当1zfz 2 z11 3 z11 zz1fz1n01nn0z13-14 分z3zn每步可以酌情给分；五此题 10分用 Laplace变换求解常微分方程定解问题：- yx 5yx4yx ex.word.zl.y 0 1y0 1解：对yx的 Laplace变换记做Ls - .,依据 Laplace变换性质有s2Lss15sLs 1 4Lss11 5 分整理得Ls s1 s111 s4 s116 1115 14 s11 7 分10 s1ss15110 s16 s115 s4 yx1ex5ex

9、1e4x 10分10615六、6分求ftet0的傅立叶变换,并由此证明：cos02t2d2et解：Feitetdt0-3 分F0eitetdt0eitetdt0 0eitdt0eitdt0 eit0eit0 ii0F1i1i220 -4 分2ft1eitFd0 - -5 分21eit22d0 22122costisint d0.word.zl.- f200cost2disin- .td0 t2220cost2d0,2-6 分2cost2d2et.期末试题2.复变函数与积分变换一填空题每题3 分,共计 15分二112i 的幅角是2xy； 2.Lni的主值是 ； 3. a= ,fz x22xyy2

10、i2 axy2在 复 平 面 内 处 处 解析 4z0是zsinz的；极点； 5fz 1,zz3Res fz ,二挑选题每题3 分,共计 15 分1解析函数fz ux,yivx,y的导函数为；.word.zl.Afz uyivx； Bfz uxiuy；dz0Cfz uxivy； Dfz uxiuy. 2C 是正向圆周z2,假如函数f z ,那么CfzAz31；B3z ； C1z3z； Dz3 1 2. z1 2- - z 在 C 所围.3假如级数cnzn在z2 点收敛,那么级数在n1Az2点条件收敛；Bz2 点肯定收敛；Cz1i点肯定收敛；Dz12i点肯定发散以下结论正确的选项是 A假如函数f

11、z 在z 点可导,那么fz 在0z 点肯定解析；B 假如Cfzdz0,其中 C 复平面内正向封闭曲线 , 那么f成的区域内肯定解析；C函数 f z 在 z 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内肯定可以展开成为 z z 0 的幂级数,而且绽开式是唯独的；D函数 f z u x , y iv x , y 在区域内解析的充分必要条件是 u x , y 、v x , y 在该区域内均为调和函数5以下结论不正确的选项是A、 lnz 是复平面上的多值函数； B 、cosz 是无界函数； C 、sin z 是复平面上的有界函数； D、e 是周期函数z得分三按要求完成以下各题每题 8 分,共计 50 分 1

12、 设 f z u x , y i x 2 g y 是 解 析 函 数 , 且 f 0 0, 求g y,ux,y,fz 2z2；.word.zl.2运算Cz2zzi2dz其中 C 是正向圆周1 3运算z2z e1 z z,其中 C 是正向圆周z；C 1- 4利用留数运算zCz13- .22dz其中 C 是正向圆周z3；1 z5函数fzz 21 z2 在扩大复平面上有什么类型的奇点？,假如sinz 3有极点,请指出它的级 . 四、此题 12分将函数fz z1 2 z1 在以下区域内绽开成罗朗级数；10z11,20z1,31z五此题 10分用 Laplace变换求解常微分方程定解问题yx 5yx 1

13、4y x exy0y0六、此题 8 分求ftet0的傅立叶变换,并由此证明：0cost2d2et2.复变函数与积分变换.期末试题简答及评分标准B一填空题每题3 分,共计 15分.word.zl.- - f7；2.112i 的幅角是42k,k0,12,Ln1i的主值是1ln2i4； 3. fz 11z2,0 0 ；24fzzsinz,Res fz,00 ；5fz 1,z3z2Res fz ,0 ；二挑选题每题3 分,共计 15分1-5 A A C C C三按要求完成以下各题每题10 分,共计 40 分1求a,b,c,d使fz x2axyby2icx2,dxyy2是解析函数,解：由于fz 解析,由

14、 C-R 条件2cxdyuvuvxyyx2xaydx2yax2 bya2 d2,a2 c,2 bd,c,1 b,1给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分；2Cz z11 2dz其中 C 是正向圆周z2；解：此题可以用柯西公式 仅给出用前者运算过程柯西高阶导数公式运算也可用留数运算洛朗绽开运算,由于函数fzz1z在复平面内只有两个奇点z 10,z21,分别以z 1,z21 2为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆c1,c2且 位 于c内- .word.zl.- .假如有Cz12zdzC1z12dzC 2z12dz1 z1z12i1z12iz12z00

15、z1 13运算Cz3ezdz,其中 C 是正向圆周z2；1z 解：设fz在有限复平面内全部奇点均在：z2,由留数定理z2fzdz2iRes fz,2ic1-5 分1z11z3 ezz2ezz211113 1111 1z11z.22 z.3zzz2z3zz2z1112 1111.2.3z.4zzz2z3c1 11118.2.33z2fzdz82i34函数fz z21 z32 3在扩大复平面上有什么类型的奇点？,sinz 极点,请指出它的级 . fz 的奇点为zk,k0,12 ,3,0 的三级零点,.word.zl.zk,k0 ,1 ,2 ,3 ,为（sinz）3z,1为fz 的二级极点,z2 是

16、fz 的可去奇点,z0,2,3 ,4,为fz 的三级极点；- 为fz 的非孤立奇点；- .给出全部奇点给 5 分；其他酌情给分；1四、此题 14分将函数 f z z 2 z 1 在以下区域内绽开成罗 朗级数；10 z 1 1,20 z 1,31 z 10 z 1 1,20 z 1,31 z解：1当 0 z 1 11 1 1f z 2 z z 1 z 1 1 z 1 1 n n 1而 z 1 n z 1 1 z 1 n 0 n 0n 2f z n z 1-6 分n 02当 0 z 1f z z 2 z 11 =z 12n 0 1 n z nn 2 1 z-10 分n 03当 1 zf z z 2 z 11 z 31 11 z1 1 n n 1f z 3 1 n 3-14 分z n 0 z n 0 z五此题 10分用 Laplace变换求解常微分方程定解问题- yx 2yx3yxex.word.zl.y0 ,0y01解：对yx的 Laplace变换记做Ls - .,依据 Laplace变换性质有s2Ls12sL s