宏观经济学数学基础2最优控制

1、第一部分高级宏观经济学的数学基础高级宏观经济学中许多模型用到了动态最优化理论。这一部分主要介绍动态最优化理论的基本原理和方法，作为学习高级宏观经济学的必要准备知识。动态最优化理论主要包括变分法、最优控制论和动态规划。第二讲最优控制当时间般看ttfc连续变肚时*功态最优此就会溅及积分值的用大化或若最小化，这个问题址早遥由数学分支变分法加说处理.20世纪50年代，俄罗斯数学豪I”圧庞持里亚金咼其同專解决了这个问题他们把变分理论抑以推广*所得出的理论现齐播称作龌扰控制理论.一、动态最优化与静态最优化本节中我们将突出垠优控制问题和静态最优化问题的区别.济学中渔场最优管理问题来介绍最优控制问题的显苦特征

2、.设扌表示申到某终结时刻，用tT表示，在某特宦湖里捕鱼用工(#用应(“表示在/时刻的捕鱼所有捕得的鱼售价为A捕鱼成刖一右偌翻Z/以M八存ria*一車阳吗冷偌左帥口十/匿奠衣耳鑽塩止匕pu(Z)C(u(z),jr(t)e_Ftdro捕鱼人想要最大化而其必须受到收获对存量影响的限制藏设fm.则在每个时点上，鱼存量的增长率为jrz(t)=/(x(t)u(i).湖里鱼的初始存呈为工(0)=工“为起始点也有可能许可证要祥有工(丁)=帀存量的鱼，fTEpu(z)C(w(t),x(t)er捕鱼人所面临的冋题就是maxV=要加以敲大化的被积函数是一个泛函而非函数也就是函数工和盘的函数.在最大化场时我们寻找的是

3、函数P工(打和讥“在0到T时间段内的最优时间路径与静态最优化不同的是，我们的问题中包括两类变量每个时期，捕鱼者选择收获率泓但这一选择又反过来影响了理论的术语来说山0为状态变而iAf)为控制变站旦县心“Eaif閔一木应樹I动态问题中的一个约束条件是一个微分方程，其告诉我选择如何影响状态变量工的改变量*该约束条件被称作状态方rr工(T)yxTt基本最优控制问题可以表述为(V)动态问题中第二类约束是关于状态变量初始值和终结值值都进行了规定尽管状态变量的初始值常常被规定，但终结条竹许可证可以要求在许可证到期时湖中鱼的存量必须至少达到工丁就变为二、基本的最优控制问题与最大值原理maxT/(/)皿()M)

4、曲.o约束状态方程为1、最优化原理I最优化决策具有如下性质：不论初始状态和初始决策如何第一个决策而形成状态的最优解.汀尽管这个原理最适合于离散时间的动态最优化问题,但加以形从而有助于我们理解要获得基本问题最优解工Q)和暂设我们已得到这样的最优解(“和“a).和所有其他又设影子价格，或者换爭，对0jE。#母0而言，西0的一个单位的额外变化带来的估值为Ufj.=A(0).现在假设我们身处规划周期的时刻f处，此点之前的决策已无穷小的)一小段时间后的t+Az做出决策贝尔曼的“最优化房看作状态变吐在这期间开始时的初始条件时，决策仍然是最优的时间段内控制变量的值意味着即时收益为川M),)(E2/条件，我们

5、必有(=沐仃片其中M为相应的最大值函娄的估值就是A(Z)x*而该估值的改变量为 M)+-x*+Adt现在我们退后一步,想知道最优解T*(C和U*(Z)应该具有什么彳它们都应该使得这个表达式达到最优.去掉星号含探索式的讨论使我们得出结论，对于规划周期内白(1匚7)写作习惯上，这个最大化问题被写作哈密顿函数，下面我们对其力和a*Q)最大化下式:H(je(Z),A(t)U)+A上面的讨论表明以(r)代表的是状态变量在t时刻的估值或【1】对们的岛心中*耳求总肃二匚-的一阶条件为=0让何约束另外工(上)也是无约束郎3】状态方程：哈密尔顿函旺呵.打3、最优控制的必要条件和充分条件定理1（必要条件）：考虑等

6、式（11.4）,（1匚5）和（11.6）所示的基本最优控制问题.=0.关于胡最大化$fUiAv/1）f（xtt）4-Xg（xfu最倚鈕姑宓更峯*3Hu最大化3?共态方程卡（ii）才=-薯，厂、rdH端点条件*（iv）x（0）=jtctx（D=xTf定理2（充要条件）：如果哈密顿函数对于每个t都是乂和盘的凹函黄充分必要条件.3、例题A后代回到的解畀从理论上说，定理1和定理2给出了如下求解基本问题的?函数H是否为工和u的凹函数第二步，我们用a和乂求解6化，并确保在此点小于零将u代入共态方程和状态方;程对于这两个方程的通解带有的任意常数卡我们可用端点条件量的最优路径F（和相应的估值对）路径tt*（A

7、例求解下述问题max(jc-5u)dfs.t*n=u、工(0)=5,x(l)=10,该问题的哈密顿两数为H=（工+51?+如.该函数是凹甬数的和，从而是无和ti的凹函数.j是定理1的条豊10+A01代入s我们得到关于xU的两个微分方程：A7=1x=A/10.由第一个方程可得A=f+C1，其中G为任意常数.代人第二方稚三、基本问题的扩展其中Q为任意常数.由于欢0）=5,我们有。=5,而由于只1）1、不同终值条件我们已经看到，如果求解状态方程和共态方程，在通解中就W在基本问蹶中端占峯件工（0）=才和締用作初始峯盘关于工（0）的端点条件看起来相当合理它告诉我们的是在轨的可用数llh比如在渔场案例中该

8、端点条件告诉我们的是鱼的数就然而在基本问题中施加给终点的条件看起来过于严规定工（丁）=巧就意味着在许可期结東时湖里鱼必须维持在J格的终结条件可以是x（T）孑xT,也就是说”在本例中湖里所剩鱼的存鼠必须至少有某个特定值那是，捕隹许可证允许捕鱼者自由捕鱼此时对工（丁）没有任何限希（不受任何约束的限制九对于终结条件文（T）自由叮：:-:./H（八丄tXV7工冋吋E*那rr円kAWTFw不炬予微分方程解巾运的是，对这两种情况下的问题，数学上也给出了人（T值的隐含穿条件，可代替鼻（T）的特定值来赋予任意常数以特定值.如果问题中工（T）是自由的，从而横截条件为A（T）=0,定理 而定理1中的条件(iv)被

9、换为(iv)x(0)=A(T)0,工(x(T)条件(工(丁)一小入(T)=0意味着x(T)xt和；1(丁)中至少;件的一种处理方法是先尝试A(T)=0,然后检验其所得的E2圮与含淵入為小如需稱足，1这样一Miy叫做詢所求如果不満足我们题。自治问题的哈密尔顿函叮，-厂；，.t并不以独立的自变量出现，此时哈密尔顿函数的形t并不以独立的自变量出现，此时哈密尔顿函数的形问題可解=/()+辽(工a.在经济问题中我们常常考虑的是最大化未来现金流的现值，而现其目标函数的形式为哈密顿函数为H(工=F(j7,u)e_rl+Ag(xtu)其中A为常见的共态变量.也沪B“：二利了观佢哈空顿换数丄利:L貞:K対无限期

10、界是宏观经济学动态模型的另一个特征。现在将这彳Jt=,n(x)(6-51)rVU.其中相关函数的连续可微性稱足下而的必要娠件的要求同无跟期界的变分问题一样，无限期界的最优控制问题也要面对目标泛函的积分是供收敛在(6-51)中有一个含正的贴现學(p0)的貼现因子,如果兀耳是有界的，则当(吋矿呪巩门(门收敛为Oo因此*(6-51)的积分可以保证绘收敛的*能够求出其最大值，此最粧化 2状态方程苴中K为经济惮可用的资本数城而L为劳功供給武常常用经济体的人数表示.用人均数该最优控制问题的汉密尔顿函数为f(x9u)+A()g(兀，M)再构造一个现值汉密尔顿函数:最优狀态/仃）及协态变量以门与入（J满足极值

11、条件:3.欧拉方程气门最大化现值汉密尔顿函数R,在内点解,冬件与横截条件13/(x*,iL*7u)使用二乏作为横截条件要求系统是动态稳定的，苹学模型的设定般都能满足这个要求:,模型设定：化，但系统彳量表亦.将此方程冯咸题的自治性,其中甕门设经济体的总产出务配于消费Q和投令*农示療本存濫K的折旧率，则净投资为 maxVLr(c)efldMCS十占）b良中c-C/L为人均消费.H=U(c)e_*J+AiW0,凤=HefJ=Ur)+戸机b)0,Irnk（T）0,JgTfgT-oo由于我们已经假设U（C和0（走）为凹函数，且M=为正数为亡和b=牯、从而这些条件同时也是充分条件.叮11.15）有：/!、从而x=U（匚）丁酣，我们可以将横截条件（W）写作这些奈惣=竝丁）此=0.（1L16）为了明白这个条件的含义，设一有限规划周期.T代表终结【的值为正，则在最后一期剩下任何资本存就都不是最优的那母掉.如果这样的话我们可以料想（nur（n）e盯=0.我们的横截条件可以看做是这个条件在T变得非常大时的回到方程尸Ug、对等式两边求导.可得=LT（c）c于是我们可以将条件（ii）重新写作c=m；气盘）（扛+m+）.暂时忽略这些横截条件，我们