《一元次方程》参考教案

1、一元次方程参考教案第一篇：一元二次方程参考教案21.1 一元二次方程教学内容本节课主要学习一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念教学目标知识技能探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识数学思考在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系解决问题培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用重难点、关键重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用 难点：根的作用

2、的理解关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、 情境引入 【问题情境】问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？ 【活动方略】教师演示

3、课件，给出题目学生根据所学知识，通过分析设出合适的未知数，列出方程回答问题 【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型二、 探索新知 【活动方略】学生活动：请口答下面问题（1）上面几个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程归纳：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程一

4、般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项【设计意图】主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念三、 范例点击 例1 将方程3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数 解：去括号得03x23x5x1，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x28x100其中二次项系数是3，一次项系数是8，常数项是10 【活动方略】 学生活动：学生自主解决问题，通过去括

5、号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数教师活动：在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题） 【设计意图】进一步巩固一元二次方程的基本概念 例2 猜测方程x2x560的解是什么？ 【活动方略】 学生活动：学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x1、2、3、4、5等，发现x8时等号成立，于是x8是方程的一个解，如此等等教师活动：教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结： 使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根） 【设计意图】探究一元二次方程根的概念以及作用四、 反馈练习 课本P4 练

6、习1、2题 补充习题：1将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项2你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？ （1）x2360；【活动方略】学生独立思考、独立解题教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况.五、 应用拓展例3：求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+170即可证明：m2-8m+17=（m-4）

7、2+1（m-4）20（m-4）2+10，即（m-4）2+10不论m取何值，该方程都是一元二次方程例4：有人解这样一个方程(x5)(x1)7解：x+5=1或x1 = 7，所以x1=4，x2 =8，你的看法如何？由(x5)(x1)7得到x+5=1或x1=7，应该是x+5=1且x1=7，同时成立才行，此时得到x=4且x=8，显然矛盾，因此上述解法是错误的【活动方略】教师活动：操作投影，将例3、例4显示，组织学生讨论 学生活动：合作交流，讨论解答。 【设计意图】使学生进一步理解一元二次方程的概念，对一元二次方程的根有更深刻的理解.（2）4x290 作业：第二篇：一元二次方程二、一元二次方程1、 只含有

8、一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，a 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项。2、 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法（2）因式分解法（十字相乘法）（3）公式法x= (b2-4ac (4)配方法（重点见P32）3、 一元二次方程根的判别式（2-4ac）当a 时(1)0时方程有两个不相等的实数根；（2） =0时方程有两不相等的实数根；（3） 0时方程没有实数根4、 一元二次方程根与系数关系（韦达定理）：ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，a 当 0时，设方程两根为x1,x2则x1+x2 ，x

9、1 x2= 如 = =5、 以x1,x2为根的一元二次方程为：三、二次函数2、抛物线 的对称轴是 轴，顶点是原点，当 时，开口向上，当 时，开口向下。四、图形的全等1、能够完全重合的两个图形就是全等图形。互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。2、全等图形的对应边相等，对应角相等。3、全等三角形的识别（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。简记（边边边或SSS）(2) 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这个三角形全等。简记为（边角边SAS） （3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（角

10、边角ASA） （4）如果两个三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。简记为（HL）4、能判断正确或是错误的句子叫做命题，命题常写成“如果那么”的形式，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。能判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。有些命题可以从公理或其它真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其它命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。根据题设，定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。第三篇：一元二次方程一元二次方程知识点归纳：1.一元二次方程的概念及其一般形式。2.熟练掌

11、握一元二次方程的四种解法。3.一元二次方程根的判别式及其应用。4.一元二次方程的应用。5.探索根与系数的关系一一元二次方程1.在整式方程中，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的标准形式：ax2bxc0(a0,b,c为任意常数)例1：已知方程（1）2x230；（2）11121yy10 ；（3）2x123（4）ay2byc0；（5）(x1)(x3)x25；（6）xx20。其中，是整式方程的有_,是一元二次方程的有_二一元二次方程的解法（1）认识形如x2a(a0)或(axb)2c(a0,c0)类型的方程，并会用直接开平方去解。解法一：直接开平方。若

12、一个方程可以转化为(xh)2k(k0)就可以用直接开平方求解。 例1：用直接开平方求解下列一元二次方程。（1）x290（2）9y210（3）2x250 例2：解关于x的方程4(xa)2b(b0)例3：若关于x的一元二次方程m(xa)2n0无实数根，则m与n的关系为_（2）正确理解并会运用配方法将形如x2pxq0的方程变形为(xm)2n(n0)的类型解法二：配方法配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数到方程的右边；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次系数的一半的平方；（4）写成(xm)2n的形式，再用直接开平方法求解。例1：填空（1）x26x_(x_)22（2）x25x_(x_

13、)（3）x2px_(x_)2例2：用配方法解方程6x32x2例3：试用配方法证明，代数式2x2x3的值不小于23 8（3）掌握一元二次方程求根公式的推导方法，会用公式法求一元二次方程的根。解法三：公式法bb24ac21.axbxc0(a0)的求根公式为x(b4ac0) 2a22.若b24ac0，则方程无实根，不必用求根公式。例1：用公式法解下列方程（1）2x234x； （2）x23x30例2：用公式法解下列方程：（1）14x235x70(2)x2x0若原方程系数中含有公约数，一般先约公约数，再解方程。若各项系数有小数或分数，通常先化成整数，再解方程。（4）理解用因式分解解一元二次方程，会用因式

14、分解解某些一元二次方程。ab=0a=0或b=0解法四：因式分解例1：用因式分解解下列一元二次方程（1）x23x100（2）(x3)(x1)5（3）3x(1x)2x2（4）(2x1)22(2x1)30 347214三一元二次方程根的判别式理解一元二次方程的根的判别式，能用根的判别式判定根的情况 一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac0方程有两个不相等的实根0方程有两个相等的实根0方程没有实数根例1：对于一元二次方程2x25x30下列说法正确的是（）A.方程无实根B.方程有一个根为0C.方程有两个相等的实根D.方程有两个不等的实根例2：方程x22xk0没有实数根，则k=_例3：已

15、知m,判定方程x2(2m3)x(m1)20的根的情况。 1四用一元二次方程解决问题会列方程解决实际的问题。解决方程的一般步骤：（1）分析，找等量关系；（2)设未知数，列方程；（3）解方程；（4）验根；（5)写出答案 例1：有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。例2：两个相邻的自然数的平方和比这两个数之中的较小数的2倍大51，求这两个自然数。五：探索根与系数的关系1.解下列方程，你发现发现方程的两根之和，两根之积与系数a,b,c的关系。（1）x22x0（2）x25x60（3）x23x40（4） ax2bxc0(a0

16、,b24ac0) 结论：韦达定理：两根之和：x1x2两根之积：x1x2逆命题也成立。例1：若x1,x2是方程x22x10的两根，那么x1x2的值为例2：设,是方程x23x50的两根，不解方程，求2223的值。例3：已知：设关于x的方程x2(4k1)x2k10(1)求证该方程一定有两个不相等的实数根； caba(2)若x1,x2是方程的两个实数根，且(x12)(x22)2k3，求k的值。 本节课总结：对于一元二次方程，有直接开方法，时，配方法，因式分解法，公式法四种解法。当判别式其求根公式为：二次方程无实数根。当0时，则两根的关系为：；当判别式b24ac0时，一元，根与系数的这，种关系又称为韦达

17、定理；它的逆定理也是成立的，即当时，那么则是的两根。第四篇：一元二次方程一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax+bx+c=0（a0），其中，ax是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。a0是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。一元二次方程最常规的解法是求根公式法，其外亦有因式分解法和配方法等方法。第五篇：实际问题与一元二次方程第二课时参考教案21.3 实际问题与一元二次方程(2)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面

18、地比较几个对象的变化状况教学目标掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法重难点关键1重点：如何全面地比较几个对象的变化状况2难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利12

19、0元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润总件数设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+解：设每张贺年卡应降价x元则（0.3-x）（500+解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个100 x）=1200.1x100） 0.1目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系例1某商场礼品柜台春节期间购进甲

20、、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；0.30.750.10.25100，从这些数目看，好像两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下34面我们就通过解题来说明这个问题解：（1）从“复习引入”中

21、，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，则：（0.75-y）（200+即（y34）=120 0.253-y）（200+136y）=1204整理：得68y2+49y-15=0y=496481268y-0.98（不符题意，应舍去）y0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律（学生活动）例2两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是

22、3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元依题意，得5000（1-x）2=3000解得：x10.225，x21.775（不合题意，舍去）设乙种药品成本的平均下降率

23、为y则：6000（1-y）2=3600整理，得：（1-y）2=0.6解得：y0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等三、巩固练习新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?四、应用拓展例3某商店经销一种

24、销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少510kg（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）销售量500-10（x-50）（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量

25、就不超过10000=250kg，在40这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少解：（1）销售量：500-510=450（kg）；销售利润：450（55-40）=45015=6750元（2）y=（x-40）500-10（x-50）=-10 x2+1400 x-40000（3）由于水产品不超过1000040=250kg，定价为x元，则（x-400）500-10（x-50）=8000解得：x1=80，x2=60当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg250kg，（舍去）五、归纳小结本节课应掌握：建立多种一元二

26、次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题作业第一单元方程第五课时的教案设计5、整理与练习（1）主备人：孙丽萍教学内容：第7页第1-4题教学目标：1、进一步理解并掌握如axb=c、axbx=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。2、在观察，分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程，积累将现实问题数学化的经验，感受、方程的思想方法及价值，发展抽象能力和符号感。3、在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考，主动与他人合作交流，自觉检验等习惯；获得一些成功的体验，进一步树立学好数学的自信心，产生对数学的兴趣。教学重点、难点：进一步理解并掌握如ax

27、b=c、axbx=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。教学对策：在交流中积累找等量关系的经验。教学准备：投影片或小黑板一、回顾与整理组织小组讨论：投影出示小组讨论内容1、像3.4X1.88.6、5XX24这样的方程各应怎样解？2、在列方程解决实际问题时，可以怎样找数量之间的相等关系？举例说明。学生四人一组进行讨论，教师参与其中几组的讨论，然后全班交流。二、练习与应用1、解方程。（第7页第1题）学生每人选三题独立解答并要求选其中一题进行检验，同时指名板演。教师结合板演及巡视学生练习情况进行讲评，集体核对。追问：在解“1806X330”这样的方程时，我们首先要做什么？在解“27X3

28、1X145”这样的方程时，我们首先要做什么？在得出方程的解后，我们还需要做什么？2、在括号里填上含有字母的式子。（补充）（1）合唱队有男生X人，合唱队的女生人数是男生的3倍。女生有（ ）人，合唱队一共有（ ）人，男生比女生少（ ）人。（2）王大妈和刘大妈买同一种花布，每米X元。王大妈买了2.6米，应付（ ）元；刘大妈买了1.4米，应付（ ）元。两人共付（ ）元，刘大妈比王大妈少付（ ）元。（3）一个长方形的宽是X 厘米，长是宽的2.5倍，长是（ ）厘米，长和宽一共是（ ）厘米，宽比长短（ ）厘米。学生独立思考写出含有字母的式子，然后指名回答。3、列方程解实际问题。（1）出示第7页第2题。指名读

29、题，提问：武汉长江大桥铁路桥的长度与南京长江大桥铁路桥的长度之间有什么关系？武汉长江大桥公路桥的长度与南京长江大桥公路桥的长度之间又有什么关系？要求学生用含有字母的式子表示数量间的相等关系。（提醒学生用不同的字母分别表示题中的两未知量）全班交流。学生列方程解答，然后指名交流。（2）出示第7页第3题。引导学生仔细观察第三题图，说说从图中知道了哪些信息？提问：小树从3月1日到9月1日共经过了几个月？长高了多少？启发：你能找出题中数量间的相等关系吗？（先小组内交流再指名口答）板书：小树原来的.高度6个月长的高度现在的高度（平均每月长的高度6个月）要求学生列出方程并解答，检验。全班核对。（3）出示第7

30、页第4题。指名读题，说说题中的已知条件与所求问题。提问：印制画册用去的总钱数是由几部分组成的？板书：制版费、印刷费提问：其中印刷费是怎样得到的？（板书：每本印刷费本数）完成板书：制版费每本印刷费本数印制画册的总费用要求学生独立解决，全班核对。三、拓展练习列方程解下列题目。1、修一条公路，未修长度是已修长度的3倍，如果再修300米，未修长度就是已修的2倍。这条公路长多少米？2、甲、乙两人从东、西两村相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4.5千米。他们在离中点2.55千米处相遇，东、西两村相距多少千米？四、全课小结今天这节课我们学习了什么内容？你有什么收获？还有没有疑惑的地方？五、布置作业完成配

31、套练习课后反思：在列方程解决实际问题的教学过程中，教师教的重点和学生学的重点，不在于“解”，而在于“学解”。以“学解”为出发点，注重的是解决问题的过程。也就是说，要让学生经历寻找实际问题中数量之间的相等关系并列方程解答的全过程学生在问题情境中探索、研究、寻求已知与未知数量之间的内在联系，建立数量之间的相等关系，把日常语言抽象成数学语言（数量关系式），进而转化成符号语言（方程）。反思自己这几天的教学，可能在这方面做得还不够好。如在组织学生列方程解决实际问题过程中，经常让学生先独立思考题中数量之间的关系，然后根据这个数量关系来列方程，随后让个别学生交流数量关系及列出的方程。课堂上较多学生用语言来表达数量关系时都存在困难，表达不清，虽然