2021-2022学年高二物理竞赛课件：粒子被一维势垒

1、粒子被一维势垒2粒子被一维势垒散射。当粒子的能量 时，有一半粒子被反射回去，求粒子的质量所满足的方程。0aV0 x解：第一步分区写出定态方程提示：这是个常规题，需要求出各区的波函数及反射系数，利用条件求解。可假设并不对题目结果有影响。3第二步写出各区定态方程解0aV0 x第三步利用边界条件求反射系数有当 时， 从而有此为质量所满足方程。解之得4一质量为m的粒子，处在势能为的一维势场中运动，求粒子的本征能量和本征波函数。，为归一化常数）本征函数为 其中 中，粒子的能量（提示：已知在势场 另外，如果势能变为变化吗？本征函数呢？，本征能量发生补充例题：5学习要点 在经典力学中的任一力学量 是坐标 和

2、 动量 的函数，它对应量子力学中的厄米算符 。 的本征值为力学量的可测值。 如果粒子的波函数是力学量算符 的本征函数, 本征值为 ， 则测量该粒子的力学量 时，得 如果粒子的波函数不是力学量算符 的 本征函数，则测量该粒子的力学量 时，得到 的是平均值：6 算符 的厄米共轭算符 的定义是其中 与 是任意波函数。 算符 的厄米算符的定义是其中 与 是任意波函数。比较以上两式可以看出， 如果满足条件： 则是厄米算符。厄米算符具有如下性质：(1)本征值是实数；(2)本征函数具有正交性。7设力学量算符 的本征函数为 ，相应的本征值为 ：如果 ，则 是正交的：如果 ，则 不一定是正交的。设本征值相同的

3、个本征函数相互不正交，可将它们作线性组合，一定可以得到 个新的相互正交并且归一的本征函数。因此厄米算符的本征函数一定可以使之满足正交归一条件8 在一定条件下，厄米算符本征函数具有完备性厄米算符 的本征函数具有完备性是指任意波函数 可以通过 的所有本征函数全体集合 表示为其中如果 的个数为有限的 ，则是完备的。如果 ，则在本征值 无上限的条件下 是完备的。 厄米算符 与 存在共同本征函数完备系的充 分必要条件是 与 对易。9量子力学中的基本对易关系是算符函数的定义是其中10 算符 与 的不确定关系为其中不确定关系的一个重要例子是11 一个质量为 的粒子处于 的无限深 方势阱中， 时，归一化波函数

4、为求(1)在后来某一时刻 的波函数；(2)在 与 时体系的平均能量；(3)在 时粒子处于 内的几率。提示：所给波函数是体系的定态波函数吗？关键：利用有12 已知一维运动的粒子在态 中坐标 和动量 的平均值分别为 和 ，求在态中 和 的平均值。提示：首先要理解题意，同时需要知道如何通过变量代换 来使用题目所给的条件。以求动量的平均值为例13 设一维粒子由 处以平面波 入 射，在原点处受到势能 的作用。(1)写出波函数的一般表达式；(2)确定粒子在原 点处满足的边界条件；(3)求出该粒子的透射 系数和反射系数；(4)分别指出 与 时的量子力学效应。提示：这是一个非常基本的题目，应该掌握！x0解：(1)波函数的一般表达式(2)在原点处满足的边界条件14x0(3)求透射系数和反射系数其实就是根据上述方程求B,C从而求得(4)当 时，是 势垒，会发生Tunelling Effect. 当 时，是 势阱，量子力学认为粒子有一 定