2021-2022学年高二物理竞赛课件：一维单原子链模型

1、一维单原子链模型一维单原子链模型一维单原子链模型格波及其色散关系简约布里渊区长波极限下的格波声子一维单原子链模型一维单原子链是最简单的晶格模型，是学习格波的典型例子，它较全面地表现了格波的基本特点。绝热近似：用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响离子实比电子重103105倍，离子实振动速度比电子慢很多将电子的运动和离子实的运动分开电子对离子振动的影响，可用一个稳定的势场来替代简谐近似：保留2次项，忽略高阶项VOar平衡时势能取极小值两个重要近似：平衡位置非平衡位置晶格具有周期性，晶格的振动模具有波的形式 格波格波的研究方法： 计算原子之间的相互作用力根据牛顿定律写出原子

2、运动方程，并求解方程 原子n和原子n+1间的距离一维单原子链模型：平衡时相邻原子间距为a（即原胞“体积”为a），原子质量为m原子限制在沿链方向（一维）运动原子n离开平衡位置位移 n原子n和原子n+1间相对位移一维单原子链模型忽略高阶项，简谐近似考虑原子振动，相邻原子间相互作用势能相邻原子间作用力只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力第n个原子的运动方程平衡位置非平衡位置VOar牛顿第二定律F=ma一维单原子链模型上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式naq是第n个原子的振动位相因子A是原子振动振幅，为常数是格波的角频率，为常数；q是格波的波数和q满足以下的色散关系连续介质中的波

3、（如声波）可表示为，则可看出格波和连续介质波具有完全类似的形式一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减2的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值限制为该式将(2)式带入(1)式可得(3)格波解一维单原子链模型aq取值任意加减2的整数倍对所有原子的振动没有影响红线：q=/2a绿线：q=5/2a将波数q取值限制为即波数q取值在简约布里渊区（第一布里渊区）中第一章内容：简约布里渊区内的全部波矢代表了晶体中所有的状态，区外的波矢都可通过平移倒格矢在该区内找到等价状态点；讨论固体性质时，可以只考虑第一布里渊区。简约布里渊区一维单原子

4、链模型一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述但如果用与其它原子不同的运动方程描述两端的少数原子，则会导致相互联立的方程求解更加复杂采用玻恩卡曼周期性边界条件避免这种情况含义：原子链首尾的振动情况必须复原玻恩卡曼周期性边界条件限制波数在简约布里渊区内取均匀分布的N个分立值边界条件一维单原子链模型取正值，则有频率是波数的偶函数色散关系曲线具有周期性，仅取简约布里渊区的结果即可由正弦函数的性质可知，只有满足的格波才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强烈衰减0q(q)格波的色散关系

5、一维单原子链模型长波极限情况一维单原子格波相当于波速为的连续介质波相邻两个原子之间的位相差趋于0，晶体内所有原子振动情况相同短波极限情况色散关系为非线性表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上它是一种驻波格波取值的长波极限一维单原子链模型声子一维单原子链模型能量本征值本征态函数 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数 振动能量的本征值为其中nq为声子数3-2 一维单原子链模型声子13晶格振动的问题转化为声子系统问题的研究解释金属电阻随温度升高而增大，解释超导现象。热传导可以看成是声子的扩散；热阻是由于声子被散射等等声子概念引入后给我们处理具有强相互作用的原子集体晶体带来了极大方便，而且生动地反映了晶格振动能量量子化的特点。类似的描述方式和概念是固体物理的一大特征，即多体系统集体运动的激发单元，称作元激发Elementary excit