色散缓变光纤中的交叉相位调制不稳定性分析毕业论文

1、分类号：0437编号:密级：公开成都信息工程学院学位论文色散缓变光纤中的交叉相位调制不稳定性分析论文作者姓名：申请学位专业：电子科学与技术申请学位类别：工学学士指导教师姓名（职称）:论文提交日期：2009年06月01日色散缓变光纤中的交叉相位调制不稳定性分析摘要当同偏振不同波长的两光波在光纤中传输时， 由于交叉相位调制和光纤中色 散效应共同作用，可能导致交叉相位调制不稳定性产生，该现象在光开关、高重 复率的脉冲串及超连续谱的产生等领域有重要应用，同时又是影响波分复用系统性能的重要因素。另外，色散缓变光纤同常规光纤相比， 在光脉冲压缩和调制不 稳定性产生孤子脉冲串方面显示出突出的优越性。 利用色

2、散缓变光纤能更有效地 产生调制不稳定性，从而也更有利于调制不稳定性的相关应用。 本文从光纤中耦 合的非线性薛定谔方程出发，解析分析并计算模拟了色散缓变光纤正色散区交叉 相位调制不稳定性产生的条件和增益谱，分析讨论了调制不稳定增益谱的谱宽和 谱峰随入纤功率、色散缓变参数及损耗系数的变化规律。结果表明，在其它条件 相同时，随着入纤功率的增加，增益谱的谱峰和谱宽都变大。而随着色散缓变参数的增大，谱宽变宽，谱峰几乎不变。随着损耗系数的增大，增益谱谱峰和谱宽 皆减小。说明大的入纤功率及色散缓变参数有利于产生调制不稳定性，而损耗则相反。关键词：交叉相位调制不稳定性；色散缓变光纤；色散关系；增益谱Analy

3、sis on Cross-phase Modulation Instability inDecreasing Dispersion FibersAbstractWhen two optical waves with same polarization but different wavelengths propagating in optical fibers, due to the interaction of cross-phasemodulation and dispersion, cross-phase modulation instability may occur. This ph

4、enomenon can find important application in many fields, such as the optical switching, generation of high repetition rate of ultra-short pulse trains and super-continuous spectrum. However, this phenomenon is also an important factor which can affect considerably the performance of wavelength divisi

5、on multiplexing (WDM) optical fiber communication system. In addition, in comparison with the conventional optical fiber, the decreasing dispersion fiber (DDF) embodies obvious superiority in optical pulse compression and modulation instability generated soliton pulse trains. It is more effective to

6、 generate modulation instability and more beneficial to its related applications by using DDF. In this paper, starting from the coupled nonlinear Schr?dinger equation, the condition and gain spectra of cross-phase modulation instability are analyzed and computer simulated in the normal dispersion re

7、gime of the decreasing dispersion fiber. Variations of the gain spectra in terms of their widths and peak values with the input powers, dispersion longitudinal varying parameters and loss coefficients are analyzed and discussed.The results showed that, when the other conditions are the same, the pea

8、k values and widths of the gain spectra will increase with the input power. With the increase of dispersion longitudinal varying parameters, the spectral widths increase while the spectral peaks keep nearly unchanged. While the spectral widths and spectral peaks will decrease with increase of loss c

9、oefficients. These results indicate that, large input powers and dispersion longitudinal varying parameters are beneficial to generation of modulation instability. While the loss takes the opposite.Key words: cross-phasemodulation instability; decreasing dispersion fiber (DDF); chromatic dispersion

10、relations; gain spectrum目录论文总页数： 18 页 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1 引言 1 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 影响光脉冲在光纤中传输的因素 1 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 光纤的基本特性 1 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 光纤损耗 2 HYPERLINK l bookmark24 o Current Docume

11、nt 光纤群速度色散 3 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 光纤的非线性效应 4自相位调制 5交叉相位调制 5 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 脉冲在光纤中的传输 5 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 3.1 麦克斯韦方程组 5 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 耦合的非线性薛定谔方程 6 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 色散缓变光纤中交叉相位

12、调制引起的调制不稳定性 11 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 4.1 线性稳定性分析 11 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 计算分析与讨论 13 HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 结 论 15 HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 参考文献 15致 谢 17声 明 18第 页共18页1引言调制不稳定性在流体力学、等离子体物理以及非线性光学中逐步受到人们 的重视，近年来对光纤中光波的调制不稳定性研究

13、日益深入2-5。光纤中的调制不稳定性起源于光纤色散与非线性效应的相互作用，这种作用导致连续微扰光波 振幅的指数增长。另外其产生存在于一定的频率范围内，范围越宽，越易产生。 最近研究表明，色散纵向变化的光纤(色散缓变光纤)能够产生超宽带连续谱， 因而也易形成调制不稳定性效应 。光纤中的调制不稳定性在频域上表现为谱线 旁瓣的产生，在时域上可使连续或准连续光分裂成一系列短脉冲串，因而该现象是光孤子产生的前奏7-9。利用光纤中的调制不稳定性可产生高重复率的超短脉 冲串10、制成调制不稳定激光器以及产生时间光孤子，但同时它也是影响光纤通信系统性能的一个重要因素11 0本文从光纤中光脉冲的非线性薛定谔方程

14、出发， 采用线性稳定性分析法，着重分析了光纤正色散区交叉相位调制不稳定性产生的 条件和增益谱，同时分析讨论了调制不稳定增益谱的谱宽、谱峰与入纤功率、色 散缓变参数间的关系。2影响光脉冲在光纤中传输的因素影响光脉冲在光纤中传输的因素主要有光纤损耗、光纤色散和光纤的非线性效应。下面先介绍光纤的基本特性。2.1光纤的基本特性最简单的光纤是由折射率略低于纤芯的包层包裹着纤芯组成的，纤芯、包层折射率分别记做厲和n2，这样的光纤通常称为折射率阶跃光纤， 以区别其他折射 率从纤芯到芯边缘渐渐变小的折射率梯度光纤。描述光纤特性的两个参量是纤芯 包层相对折射率差厶，定义为：ni(2.1)以及由下式定义的归一化频

15、率：“ 2 2 12V =ka n2 - n；(2.2)式中，灯=2 n ， a为纤芯半径，为光波波长。参量V决定了光纤中能容纳的模式数量。在阶跃光纤中，如果 V : 2.405， 则它只容纳单模，满足这个条件的光纤称为单模光纤。单模光纤和多模光纤的主 要区别在于芯径，对典型的多模光纤来说，其芯径a =25 m30 m；而也的典型值约为3 10 ”的单模光纤，要求a ： 5 口 m。包层半径b的数值无太严格的限制， 只要它大到足以把光纤模式完全封闭在内就满足要求，对单模和多模光纤，其标 准值为b = 62.5m。因为研究非线性效应大多用的是单模光纤，除非特别说明，本文中所指光纤均是单模光纤。光

16、纤通信出现短短几十年来，已成为通信系统的最佳选择，其中光孤子通信 是最有发展前途的光通信方式。光孤子在光纤中传播时，群速度色散(GVD)与非线性效应应该平衡，使波形在长距离传输后保持不变。然而，由于光纤损耗的影响，光脉冲的功率逐渐减小( R =Pexp_：丄)， 减弱了与色散效应相平衡所需的非线性效应，这样色散效应起主导作用，使光脉冲及其频谱展宽。为了弥补损耗的这种影响，1987年Tajima设计了色散缓变光 纤(Decreasing-Dispersion Fiber, DDF ),使色散系数随光纤长度而减小 (-2 0 expl.-Lz ,为光纤色纵向变化参量)，并使色散效应也随着光纤长 度

17、逐渐减小，通过选择合适的 值使群速度色散效应和非线性效应仍达到平衡， 实现光孤子的长距离无畸变传输，为未来高速、长距离光孤子通信系统的实现提 供了新的途径。2.2光纤损耗光纤的一个重要参量是光信号在光纤内传输时功率的消耗，若P。是入射光纤的功率，传输功率Pt = Rexp(-a|_)(2.3)式中，是衰减系数，通常称为光纤损耗，L是光纤的长度。通常习惯上通过下 式用dB/km来表示10 ft “%B =一lg =4.34&(2.4)L ipo 丿光纤损耗与光波长有关。而且在较短波长处有较高的损耗。其他对损耗有贡献的因素主要是材料吸收和瑞利散射。纯石英高吸收在紫外 区和波长超过2“的远红外区，然

18、而少量的不纯物能在0.5 “2 “波长窗口导 致显著的吸收。实际上影响光纤损耗的最重要的不纯物是基态振动吸收峰在 2.37 口m处的0H 一离子，因而在光纤制作过程中采取了特别的预防措施来保证 0H 一离子浓度小于百万分之一。瑞利散射是一种基本损耗机理，它是由于制造过程中沉积到熔石英中的随机 密度变化引起的，它将导致折射率本身的起伏，使光向各个方向散射。瑞利散射随 变化，因而其主要作用区在短波长区。这种损耗对光纤来说是本身固有的， 因而它确定了光纤的最终损耗极限，其本征损耗大致为(单位是dB/km)m r = Cr/ 丸(2.5)式中，常数Cr在0.7dB/(km卫m4)0.9dB/(km m

19、4)范围内，其具体值与纤芯的 组分有关。另外，可能对光纤有损耗的其他因子是弯曲损耗和边界损耗 (由纤芯 第 页共18页i第 页共18页和包层边缘处的散射引起的）。2.3光纤群速度色散当一束电磁波与电介质的束缚电子相互作用时，介质的响应通常与光波频率有关，这种特性称为色散，它表明折射率nF对频率的依赖关系。光纤色散会 使光脉冲在传输中时域展宽，强度降低， 导致通信系统的误码增加，限制了光脉 冲无中继传输距离。单模光纤中的色散包括群速度色散 GVD和偏振模色散PMD 两大类。光纤的色散主要由两方面引起：一是光源发出的并不是单色光；二是调制信 号有一定的带宽。实际光源发出的光不是单色的，而是有一定的

20、波长范围。这个范围就是光源的线宽。在对光源进行调制时，可以认为信号是按照同样的方式对 光源谱线中的每一分量进行调制的。 一般调制带宽比光源窄得多，因而可以认为 光源的线宽就是已调信号带宽，但对高速和线宽极窄的光源，情况不一样。进入光纤中去的是一个调制了的光谱，如果是单模光纤，它将激发出基模；如果是多模光纤，则激发出大量模式。由此可以看出，光纤中的信号能量是由不同的频率 成分和模式成分构成的，它们有不同的传播速度，从而引起比较复杂的色散现象。一般来说色散的起源与介质通过束缚电子的振荡吸收电磁辐射的特征谐振 频率有关，远离介质谐振频率时，折射率与塞尔迈耶尔方程很近似22 mn2 =1rL-Lr（2

21、.6）j二国j 尬式中，是谐振频率，Bj为j阶谐振强度，式（2.6）中的求和号包含了所有对感兴趣的频率范围有贡献的介质谐振频率。由于不同的频谱分量对应于由c n 给定的不同的脉冲传输速度，因而色散在短脉冲传输中起关键作用；甚至当非线性效应不很严重时，由色散引起的脉冲 展宽对光通信系统也是有害的。在非线性范围内，色散和非线性的结合将会引出不同的结果。在数学上，光纤的色散效应可以通过在中心频率-0处展开成模传输常数：的泰勒级数来解决这里参量1，咖）訥嗨*十簪f ）屮2（-曲十ptXJ0,1,2r)：2和折射率n有关,他们的关系可由下面的式子得到1Vg1cdn d ngc(2.7)(2.8)(2.9

22、)(2.10)式中，ng是群折射率，vg是群速度，脉冲包络以群速度运动。参量 空表示群速 度色散，和脉冲展宽有关。这种现象称为群速度色散（GVD），P2是GVD参量。实际玻璃光纤的色散跟理想情况不一样， 原因有二：首先纤芯中有少量的掺 杂物，其次由于介电波导作用，其有效模折射率略低于材料折射率 n，因而减 小了其本身对的依赖关系，这样波导色散和材料色散之和才是总色散。通常， 除了在 = d附近的材料色散和波导色散相近外，波导色散对辽来说都是可以忽略的。波导色散的主要贡献是把d稍移向长波长方向，对常规光纤 D =1.31 m o根据色散参量2或D的符号，光纤中的非线性效应表现出显著不同的特征。

23、因为若波长九 0 ） o在正常色散区，光脉冲 较高的频率分量（蓝移）比较低的频率分量（红移）传输得慢。相比之下，v：0 的所谓的反常色散区正好相反。当光波长超过零色散波长（ 9 ）时，石英光 纤表现为反常色散。由于在反常色散区色散和非线性效应之间可以达到平衡，因而光纤能维持光孤子。2.4光纤的非线性效应在高强度电磁场中任何电介质对光的响应都会变成非线性，光纤也不例外。 从其基能级看，介质非线性响应的起因与施加到它上面的场的影响下束缚电子的 非谐振运动有关，结果导致电偶极子的极化强度 P对于电场E是非线性的，但满 足通常的关系式P 二；。1 E 2 : EE 3 EE（2.11）式中；0是真空中

24、的介电常数，j j =1,2,为j阶电极化率。光纤中的最低阶非线性效应起源于三阶电极化率3，它是引起诸如三次谐波产生、四波混频以及非线性折射等现象的主要原因。然而，除非采取特别的措施实现相位匹配，牵涉到新频率产生的（三次谐波的产生或四波混频）非线性过 程在光纤中是不容易发生的。因而，光纤中的大部分非线性效应起源于非线性折 射率，而折射率与光强有关的现象是由3引起的，即光纤的折射率可表示成2 2n,E| ）=n）+匕定|（2.12）式中，n範是式（2.6）的线性部分，E2为光纤内的光强，n2是与/（3 有关的非线 性折射率系数nRe 3（2.13）8n式中，Re表示实数部分，并且假设光场是线偏振

25、的，因而四阶张量只有一个分 量3对折射率有贡献，3张量的特性能通过非线性双折射影响光束的偏振特 性。折射率对光强的依赖关系导致了大量有趣的非线性效应：其中研究得最广泛的是自相位调制(SPM)和交叉相位调制(XPM )。2.4.1自相位调制SPM指的是光场在光纤内传输时光场本身引起的相移，它的大小可以通过 记录光场相位的变化得到 =nkL =(n + n2，E 2 koL(2.14)式中，k2n , L是光纤长度。与光强有关的非线性相移nl = n2kL|E|2是由SPM引起的。在其他方面，SPM与超短光脉冲的频谱展宽有关，而在光纤的 反常色散区与光孤子的存在有关。2.4.2交叉相位调制XPM指

26、的是由不同的波长、传输方向或偏振态的脉冲共同传输时，一种光 场引起的另一种光场的非线性相移。它的起源可以通过方程(2.11)中给出的总电场E来解释。一 1E 二? exp i it 广 E2 exp - i 2t c.c.(2.15)cc表示复共轭，当两个频率分别为 和2，x方向偏振的光波同时在光纤内传 输时，频率为-1的光场的非线性相移为% = nzkoLtjEf +2|E2)(2.16)由于相位失配的关系，这里忽略了频率 和匕以外产生的极化的所有项。方程 (2.16)右边的两项分别由SPM和XPM引起。XPM的一个重要特性是，对相同强 度的光场，XPM对非线性相移的贡献是 SPM的两倍。在

27、其他方面，XPM与共 同传输光脉冲的不对称频谱展宽有关。3脉冲在光纤中的传输3.1麦克斯韦方程组要掌握非线性色散介质中电磁波的传输理论， 才能理解光纤中的非线性现象 和色散现象，本节先介绍麦克斯韦方程组和一些重要概念， 如极化的线性和非线 性部分。同所有电磁现象一样，光纤中光脉冲的传输也服从麦克斯韦方程组， 在国际 单位制中，该方程组可写成可 x E = - D、H = J-ctD J式中，E， H分别为电场强度矢量和磁场强度矢量;(3.1)(3.2)(3.3)一 _(3.4)D，B分别为电位移矢量B = 0和磁感应强度矢量；电流密度矢量 J和电荷密度f表示电磁场的源，在光纤这 样无自由电荷的

28、介质中，显然是 J =0,f =00介质内传输的电磁场强度 E和H增大时，电位移矢量D和磁感应强度B也随之增大，它们的关系通过物质方程联系起来D - ；0E PB n0H M式中，；0为真空中介电常数；为真空中的磁导率；P , 强度和磁极化强度，在光纤这样的无磁性介质中M =0。描述光纤中光传输的波方程可以从麦克斯韦方程组得到。旋度，并利用式(3.2)、(3.5)和(3.6)，用E，P消去B，D， - i c2f x 于6- E -22 - 02c ctct式中，；0=1/C2，c为真空中的光速。为完整表达光纤中光波的传输，还需要找到电极化强度(3.5)(3.6)M分别为感应电极化对方程(3.

29、1)两边取可得(3.7)P和电场强度E的关系。当光频与介质共振频率接近时，P的计算必须采用量子力学方法。但在远离介质的共振频率处，P和E的关系可唯象地写成(2.11)式，感兴趣的0.5艸2“ 波长范围内的光纤的非线性效应正是这种情况。如果只考虑与3有关的三阶非线性效应，则感应电极化强度由两部分组成_P(r：t) = U,t)+pNL(,t)(3.8)式中，线性部分PL (r,t)和非线性部分PNL (r ,t)与场强的普适关系为Pl r,t1ttE r,t dt(3.9)Pnlr ,t i=；0I I I i3 ttt t2，t-t3 Er,t1 E rt?E r dldtzdts(3.10)

30、式(3.7)(3.10)给出了处理光纤中三阶非线性效应的一般公式。进行如下简 化： 把方程(3.8)中的Pnl r,t非线性极化处理成总感应极化强度的微扰，因为石英光纤中的非线性效应相当弱，因而这是合理的。由于光纤的损耗很小，与频率有关的介电常数的虚部相对于实部可以忽略，因而在下面的讨论中可用n2代替；，以微扰的方式将光纤损耗包括进去。在阶跃光纤的纤芯和包层中由于折射率与n方位无关，于是有E 三、E) I 2E _2E(3.11)3.2耦合的非线性薛定谔方程光纤中大多数非线性效应的研究涉及到脉宽范围为10 ns10fs的短脉冲的应用。当这样的光脉冲在光纤内传输时，色散和非线性效应将影响其形状和

31、频谱。下面首先推导单束光脉冲在非线性色散光纤中传输的基本方程。利用方程(3.8)和(3.11)，波动方程(3.7)可写成如下形式222 2E - 12 E = %： pL%： PNL(3.12)c ctctct式中，极化强度的线性部分 P和非线性部分Pnl通过方程(3.9)和(3.10)与电场强 度E r,t对应。为解方程(3.12)需做几个假设来简化它， 把PNL处理成PL的微扰，实际上， 折射率的非线性变化小于10占： 假定光场沿光纤长度方向其偏振态不变，因 而其标量近似有效，事实并非如此，除非采用保偏光纤，但这种近似非常有效； 假定光场是准单色的，即对中心频率为0的频谱，其谱宽为，且LU

32、o：1。因为0约为1015Hz，最后一项假定对脉宽-0.1ps的脉冲是成立的。 在慢变包络近似下，把电场的快变化部分分开，写成E r,t = 1 r ,t exp - i 0t i 亠 c.c.l(3.13)5?为假定沿x方向偏振的光的单位偏振矢量，Er.t为时间的慢变化函数(相对于光周期)。类似地，可把极化强度分量 P，Pnl表示成：Pl r,tr,t expi t - c.cJ(3.14)2Pnl r,t =丄？Pnl r,t exp -i yt c.c.1(3.15)2把方程(3.15)代入方程(3.10)可得到极化强度的非线性分量 Pnl r,t。假定非 线性响应是瞬时作用的，因而方程

33、(3.10)中的3的时间关系可由三个7 函 数的积得到，这样方程(3.10)变成Pnl (t )=名0八)上(几)E(t E(t )(3.16)瞬时非线性响应的假定相当于忽略了分子振动对(3)的影响(拉曼效应)。一般地说，电子和原子核对光场的响应是非线性的，原子核的响应应比电子的响应慢。对石英光纤，振动或拉曼响应在60fs70fs时间量级，这样方程(3.16)在脉宽大 于1ps时基本有效。把方程(3.13)代入(3.16)，发现Pnl r,t有一项在处振荡，另一项在三次谐 波处振荡，后一项由于需要相位匹配，在光纤中常被忽略。利用方程(3.15)得出PNL r, t的表达式PNL (r ,t )

34、% 名0 名NL E(r ,t )(3.17)式中，；NL为介电常数的非线性部分，由下式决定；NLE r ,t ：(3.18)4为得到慢变化振幅E(r,t)的波动方程，在推导过程中，把沁处理成常量，这种方法从慢变包络近似以及Pnl的扰动特性来看，可认为是合理的。把方程(3.13)(3.15)代入(3.12)，傅里叶变换为-% 表示为.OQ *t(3.19)E(r,时一时0 )= J E(r ,t e炉)dt-4并满足亥姆霍兹方程i 2E ； k；E =0(3.20)式中，k0 =，/c，且sfeo )=1 +弦国尸名NL方程(3.20)可利用变量分离法求解。假定解的形式为：_*Er ，一 0

35、二 F x, y A z式中，A(za是z的慢变函数；p0是波数，它将在后面确定。方程 两个关于F x,y和Az的方程：李+密+ %瞪一2F=0 x :y2-0 A 2 一 诸 A = 0；z方程(3.23)中的介电常数近似为2 2二 n n n 2n n式中，为微扰，其表达式为(3.21)(3.22)(3.20)分离成(3.23)(3.24)(3.25)(3.26)项包括了光纤的损耗及非线性效应。入式(3.29)可得利用式(3.26)和(3.28)可导出八，把它代兰 A 丄-:z 1 ：:t 2-2Aa2a-:t22(3.30). 2 in = n2 E +2k0式中，为吸收常数，对石英光纤

36、，、：-O方程(3.23河通过一阶微扰理论求解。首先用 n2代替；求解方程，得到模分 布函数F x,y和对应的波数 对单模光纤，对应由高斯近似(3.24)给出的光 纤基模HEn的模分布，然后对方程(3.23)考虑微扰，n的影响，根据一阶微扰理论， n不会影响模分布F x,y。然而本征值将变为：(3.27)=P 式中:化.2(3.28)门 k。也nF(x, yD dxdy(x,yp dxdy在频率0处把展成泰勒级数如式(2.7)和 (2.8)，把式(2.7)代入式(3.23)再做傅里叶逆变换，就得到如下的非线性脉冲传输方程：-2八2 2 ；:t2(3.29)方程(3.30)描述了单束皮秒光脉冲在

37、单模光纤内的传输，式中的：反映了光纤的损耗，i， 2反映了光纤的色散，则是考虑了光纤的非线性特性。当群速度色散(GVD )是由：2引起时，脉冲包络以群速度Vg =1i移动。对于同偏振不同波长的两光束在光纤中传输的情况，根据2.4.2节对交叉相位调制的讨论，在准单色近似情况下，将光纤的快变换部分展开，写成如下形式：Er,t = 1 刃归 exp - i “t 亠 E2 exp - i 2t b：；c.c.(3.31)式中，X是偏振方向的单位矢量，.1，.2是两脉冲载频，并且假设对应的振幅E，E是时间的慢变函数，这种假设与.v.：:-.j j =1,2的假设是等价的，此假设对脉冲大于0.1 ps时

38、成立。慢变振幅E1， E2的变化由波方程(3.12)描述，感应极 化强度的线性和非线性部分分别给出。为了看清交叉相位调制的起因，将方程(3.31)代入方程(3.16)，可得:Pnl (餌 Jexp(-it )+Pnl(2 Jexpf-gt j1rI、+ c.c.(3.32)PNL(r,t) = 2? + PNL(2G)1 国2 亦卩口(2豹1-国2 V+Pnl(2豹2 -餌)expLi(2B2-c01)t”其中:PNL1=eff E1PNL 2eff E2PnL 2, 1 _ * 2Pnl 2 二-匕2 22E2 E1+ 2EE22 *二 eff E1 E2二 eff E22E1*(3.33)

39、(3.34)(3.35)(3.36)用effxxxx作为有效非线性参量。剩下的两项对折射率产生非线性作用，4这可通过将Pnl J j =1,2写成下面的形式看出：Pnlj 二；0；NLEj(3.37)将其与线性部分合在一起，则总的感应极化强度为：P(Bj )=“gjEj(3.38);jLNL-inL nj(3.39)(3.40)式中:nL是折射率的线性部分，则折射率的非线性部分为：nj 痒盯 /2nj i2胆)2 +2E3_j 2)这个方程表明，光波的折射率不仅与自身的强度有关，而且还与共同传输的其他波的强度有关。当光波在光纤中传输时，会获得一个强度有关的非线性相位丄 NL J i Z i z

40、n2 F22 % (z)=亠 anj = (Ej +2E3T )(3.41)cc式中，j=1或2,第一项与前面讨论的自相位调制相联系，第二项产生与共同传 输的另一光波对这束光波的相位调制，它与交叉相位调制相联系。方程(3.41)右边的因子2表示对相同的光强，交叉相位调制是自相位调制的两倍，定性的讲， 两光频不同时的项目数要比频率简并时的项数多一倍。早在1984年，人们就通过将两束连续波（CW）注入到15km长的光纤中来测量交叉相位调制引起的相移。不久以后，皮秒脉冲也用于观察交叉相位调制引起的频谱变化。在交叉相位调制下，根据式（3.30）可得到两个光波场的传输方程。假设非线性效应对光纤的模式影响

41、不大，横向关系可以通过分离变量看出，把Ej r,t写成Ej r,t AFj x, yAj z,t expi jZ（3.42）式中，Fj x, y是第j j -1,2个场的模式分布，Aj z,t是慢变化振幅，vj是载频对应的传播常数。按类似于式（2.7）的方法，将每个与频率有关的传播常数展开，并且仅保留到第二项，则可包含色散效应。对Aj（z,t）所导出的传输22 V +方程是ctjin2j /-.(3.43)+尹广十fjAj +2从式中，k = jjj =1 Vgj,Vgj是群速度,1 2 j是群速度色散系数，:j是损耗系数,交叠积分fjk定义为f jk 2JFj(x, y ) Fk(x,y f

42、dxdy I111a“Fj(x, y ,dxdy JIoo2.Fk x,y dxdy(3.44)对单模光纤来说，因为模式分布Fj x,y与频率有关，所以fn, f22,f12一般也不相同，它们之间差别很小，在实际情况中可以忽略。这时式（3.43）可以写成下面形式的两个耦合方程21 2 .:z vg1；:t 2；:t22+=“1(人|2+2 划 2A1n 2 jCAf式中，非线性系数j定义为:j 72(3.45)(3.46)(3.47)式中，Aeff是有效纤芯面积（Aeff =1/齢），其值依赖于光纤参数，如纤芯半径， 纤芯一包层折射率差，若光纤基模用高斯近似，则Aef二二2，因为假设两光波的波

43、长相同，贝尼们的Aeff也相同。4色散缓变光纤中交叉相位调制引起的调制不稳定性4.1线性稳定性分析两个不同波长的连续光同时在光纤中传输时，与单色光相似，在光纤的反常 色散区仍将产生调制不稳定性。当两束波长不同、偏振相同的光通过正常群速度 色散区时，XPM引起的耦合是否仍会使连续状态不稳定。下面就通过线性稳定 性分析法求证这一问题。对于普通光纤，群速度色散系数-：2j是常数，Jj Z = -：2j o，对于色散缓变 光纤(DDF)，P 2j(z)=02j(Oexp(-%z)比为光纤色散纵向变化参量；j为光 纤损耗系数；j为非线性系数。设A =uiexp宀z 2 , A? =U2expi jqz

44、2代入式3.2节推导的耦合非线性薛定谔方程(3.45)和(3.46河得:U1 :Ui ：；：2Ui+ + 二卩212.:zVg1 ：t 2；:t=i 1exp ：z 2u； exp ：z U12.：U21: U2i ：:U2P222.:z Vg2 ；:t 2；:t=i 2 U2 exp :;-2Z 2u； exp :jz S(4.1)(4.2)在连续及准连续波情况下，振幅Uj在光纤的输入端z=0处与t无关。设Aj z,t在 光纤内传输时仍保持与时间无关，方程(4.1)、(4.2)的稳态解为 TOC o 1-5 h z U1(z,t aVP exp?1 J0 exp(-SzJ+2P2exp-Jz

45、jdz(4.3)u2(z,t )= P2 expR2 f P2exp( a 2z)+2R exp a(4.4)式中P、P2为z=0处的入射功率。为了研究解的稳定性，微扰稳态，设微扰3(乙t ) p/、a2(z,讣 P2 2，则有U1 (z,t )= Qr bxpf ?1 P exp(%z)+2P2 expcz jdz(4.5)u2(z,t )= QB +a2 bxpi?2 ( P2 expG2z)+2R expjz jdz(4.6)a2线性化得将(4.5)、(4.6)代入(4.1)、(4.2)并使 a、a.z21 a1_! i a212(4.7)(4.8)vg1：t 2:t2= i ；1 P

46、exp(。忆加 +a1 )+2(RP2 ) 2 expyzla： +a22:a2 . 1 ：a2 . ia2:z vg2 ft 2 22 :t2二 i 2p2exp：i722z a2 a； 2RB expLSz a1 a1*令微扰的通解形式为/Y广丫ai = U 1 coskz -口 1t -+ iV1kz -亀(4.9)Vg1 /1 Vg1 丿.-r z *a U 2 coskz _02t+ iV2kz 怎t-ivg2 Z式中，k是波数；“j j =1,2是微扰频率将(4.9)、(4.10)代入(4.7)、(4.8),可得到关于Ui、5、V和5的齐次方程组，即(4.10)ksinksin-I

47、kz-d-|kz02t三Vg116 _ 目21阳2 sin |kz_C 丿j 2.t=s、Vg1 丿 j(4.11)4 1 R P2 exp -:-z U 2 cos kz - 0 2+ *?1R exp(-4 2 . P1P2 exp：；：-+ *2Y2P2exp(1 觴。2 sin kz-Q2i2yiV2=0(4.12)丿11-r z6 - ky 广 coskz ft -J”- %丿二 01 . 2-1z 2 1 1t、丿-z U1 cos kz d12z w21- z-kV2 汽 cos kz _ 0 2 t -Tl(4.13)(4.14)要使式(4.11)、(4.12)、(4.13)、

48、(4.14)组成的方程组有非平凡解，其系数行列式必 为零，即微扰必须满足下面的色散关系：k4 k2(f1+f2)+f1f2=CxpM(4.15)其中4=21 211 *2 1P1 exp - ： 1Z(4.16)1 1f2 =詐202&02202 +2?2P2exp(-讣片(4.17)Cxpm =4021卩22?1為卩1卩2。2。2 exp(-c(1z)exp-c(2Z)(4.18)解式(4.15 )得k2 亠f2 -山 f2)2 -4(们2 -Cxpm*2*(4.19)2由(4.19)式可知，当该式取负号且ff : Cxpm时，k2 : 0,k为复数。由(4.9)、(4.10)式可知，此时微

49、扰Q、32指数增长，即发生调制不稳定性，其必要条件为ff : Cxpm。微扰的功率增益为仁、12gGd)=2lm(k)=J2tf1 +f2 +4(Cxpm - 也卩2 -(人 + f2 (4.20)调制不稳定条件(行2 Cxpm )表明，门在一定的范围内，增益g存在,对这些频率下的稳态解是不稳定的。而且不论 GVD系数是什么符号，都可以产 生调制不稳定性，对于双光束，即使两光束都为正常 GVD，调制不稳定性也能 够产生。那么g门的频率范围取决于 空1和空2是都为正，都为负，还是一个为 正一个为负，最小的频率范围对应于两光束的正色散区情况，由于这种情况下的 调制不稳定性完全由XPM引起，下面对此

50、情况进一步讨论。假设两入射光波差别很小，则J1 022 0八2 0，1、2二，、S S =:-，丄r ： “2 = I。设 d =4 R expl_ ： z ：2 0、b2 =4 P2 expl_ ： zl/ 2 0，调制不稳定性的条件 CXPMf1 f2变为门2小c=丄(抵 +b2 丫 +12b1bJ -(bb2 )在两光束的正常色散区oC=2 ；,器刃旺+卩2)2 +i2RpJ2 (PT J由式(4.20)可求出DDF中XPM的调制不稳定性的增益谱为gg )=2lm(k )邛2(0 貝exp(妝廡O2 卢(4.21)(4.22)(4.23)4.2计算分析与讨论上面经过分析推导给出了同偏振不

51、同波长的两光束在有损耗光纤中传输时, 三阶非线性效应与色散效应在交叉相位调制下相结合产生调制不稳定性的条件 以及调制不稳定性增益谱的公式。假定门1乙，下面根据上述理论模型在 MATLAB中模拟调制不稳定增益谱，从而得出调制不稳定增益谱的谱宽、谱峰 与入纤功率、色散缓变参数以及损耗系数的关系。图4.1给出了两光波同在色散缓变光纤正色散区时不同色散纵向参量下的调 制不稳定增益谱，由图可见，在其它参量相同时，随着色散纵向变化参量的增大， 增益谱的谱宽增大，谱峰位置远离主波频率， 但谱峰峰值变化不明显。说明色散 纵向参量的增大有利于产生调制不稳定性。图4.2给出了两光波同在色散缓变光纤正色散区时不同光纤损耗系数下的调 制不稳定增益谱，由图可见，在其它参量相同时，随着光纤损耗系数的增大，增 益谱谱宽变小，谱峰峰值也减小，谱峰位置靠近主波频率，说明损耗系数的增大 不利于产生调制不稳定性。图4.3给出