平稳时间序列分析

1、第3章平稳时 一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。方法性工具差分运算一、p阶差分记Vx为x的1阶差分：Vx = x 一 x t tt tt1记 V2x 为 x 的 2 阶差分：V2x = Vx Vx = x 2x + xt tttt1tt1 t2以此类推：记Vpxt为x的p阶差分：Vpx = Vp-1 xVp-1 x 1二、k步差分记V x为x的k步差分：V x = kt tk t延迟算子一、定义延迟算子相当与一个时间指针，去拨了一个时刻。记B为延迟算子，x = Bx t 1tx = B 2 xn! t当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把

2、当前序列值的时间向过 有延迟算子的性质：1. B 0 = 12.若 c 为任一常数，有 B(c - x ) = c - B(x= c - x 1x= Bpx3.对任意俩个序列 x 和 J ，有B(xt 士)=xt1 士 t14. Bnx = x5. (1 - B) n =Y (-1) Bi,其中 Ci =n!i=0ni!(n i)!二、用延迟算子表示差分运算1、p阶差分2、k步差分ARMA模型的性质AR模型定义 具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p):x =。+。x +。x +A+。x + et 0 1 t1 2 t2p tp t气,E(e e ) = 0, s。t。0, E(

3、e ) = 0,Var(e )=Ex e = 0, Vs 兀 tAR(p)模型有三个限制条件：条件一：p。0。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p。条件二：E(s ) = 0,Var(s ) 二。2,E(8 8 ) = 0,s ”。这个限制条件实际上是要求随机干扰序列任为 tt 8 s tt零均值白噪声序列。条件三：Ex8 = 0, Vs兀t。这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。通常把AR(p)模型简记为：x =8 +8x +8 x +a +8 x +8t 0 1 t-1 2 t - 2p t - p t当80 = 0时，自回归模型式又称为中心化AR(p)模型。非中心化人日)序列

4、可以通过下面变化中心化AR(p)系列。令则七为 xt 的中心化序列。AR(p)模型又可以记为：以B)x = 81，其中以B) =1-81B %B2 -A -8 Bp称为p阶自回归系数多项式二、AR模型平稳性判断P45【例】考察如下四个AR模型的平稳性：拟合这四个序列的序列值，并会绘制时序图，发现(1)(3)模型平稳，(2)(4)模型非平稳1、特征根判别任一个中心化AR(p)模型(B)x,= 81都可以视为一个非齐次线性差分方程。则其齐次线性方程以B)x广0的特征方程为：xp -81 xp-1 -%xp-2-A = 0设人,人,A ,人为齐次线性方程e( B) x =(1-8 B-8 B 2-A

5、-8 Bp) x = 0的p个特征根。所以12pt12ptrAR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根七,气,A ,七都在单位圆内。同时等价于：AR模型的自回归系数多项式的根，即()=0的根，都在单位圆外。证明：设人，力,A ,人为齐次线性方程以B)x = 0的p个特征根，任取入，i e (1,2A p)，带入特12pt土i征方程：把u =：带入(B) = 0中，有i根据这个性质，(B)可以因子分解成：(B) = K (1-人B)，ii=1于是可以得到非其次线性方程(B)X =8的一个特解：尤= 二=巳 =8二E1 中 H(1 一杼)ii=12、平稳域判别使得特征方程X 一。0 一。1 X

6、1 一。2 X 2 +A * X“ = 0的所有特征根都在单位圆内的系数集合 U 1 t 12 t2pt p被称为AR(p)模型的平稳域。(1)AR(1)模型的平稳域AR模型为：了广虹+81，其特征方程为：人一。=0,特征根为：人=。则AR(1)模型平稳的充要条件是N 1,则AR(1)模型的平稳域是1 1(2)AR(2)模型的平稳域AR(2)模型为：X =。X +。X +8。其特征方程为：处。人。=0,特征根为：t 1 t1 2 t2t12七= + 号+俱,% = +*俱。则AR(2)模型平稳的充要条件是：|七| 1且|人2 p(2)平稳AR模型的方差。对平稳AR模型xt=G(B) t两边就方

7、差，其中kG 2。2 j j=0由于G2 V8，这说明平稳序列x 方差有界，等于常数党 jtj=0【例】求平稳AR模型的方差。AR(1)模型：(1。B)x = n xt1(1 。B)1= ( )j=0=耳花1 t-j j=0Green 函数为：G =。j,(j = 0,1，A )，所以平稳AR模型的方差为：3、协方差函数在平稳模型x =。+。x +。xt 01 t-12 t - 2+A+。x +等号两边同时乘x(Vk 1)，再求期p t - ptt - k望，得又由E( x ) = 0, Vk 1，y = E(xx )，可以得到自协方差函数的递推公式:t t-kkt t-ky =Qy +。y

8、+A +。yk 1 k -1 2 k - 2p k - p【例】求平稳AR模型的自协方差函数。平稳AR(1)模型的自协方差函数的递推公式是： y =y =。k y。2. 。2又由【例】知，y = 广，所以平稳ar模型的自协方差函数的递推公式是：y =8k 广，vk 10 1 -。2k1 1-。211【例】求平稳AR（2）模型的自协方差函数。求平稳ar（2）模型的自协方差函数的递推公式为：Y =。丫 +。丫 ，Pk 1, k 1 k-12 k - 2特别地，当k=i时，有Y =。丫 +。丫，即Y =Y11 02 111 01利用Green函数可以推出AR（2）模型的协方差：所以平稳AR（2）模型

9、的协方差函数的推导公式为：4、自相关系数平稳AR模型自相关系数的推导公式。由于Pk = L，式两边同时除以y0，可以得到自相关系数的 j 0推导公式：p =8p +8 p +a +。pk 1 k-1 2 k - 2p k - p平稳AR模型的自相关系数推导公式：Pk =中,k 0平稳AR（2）模型的自相关系数推导公式：（2）自相关系数的性质。平稳AR模型自相关系数有连个显着的特性：一、拖尾性二、呈负指数衰减5、偏自相关系数（1）偏自相关系数的定义。定义 对于平稳序列x ，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-i个随机变量 tX ,x ,A ,x条件下，或者在剔除中间k-i个随机变量x ,x

10、 ,A ,x 的干扰后，X 对X的t-1 t-2t - k +1t-1 t - 2t - k +1t - kt影响的相关度量。（2）偏自相关系数的计算。对于平稳序列x ，用过去的k期序列值x ,x ,A ,x对x作k阶自回归拟合，即tt-1 t - 2t - k +1tx =。x +8 x +A +8 x + t k1 t-1 k 2 t - 2kk t - k t式中，E（ ） = 0,E x = O（Vs 1，l k1 l-1k 2 l - 2kk l - k取前k个方程构成的方程组：该方程组成为Yule-Walker方程。用矩阵表达P1Ap、8、Pk-1k1P1AP8P1k-2?k 2=

11、2MM0M ?MMPPA18PV-1k-2kkJk D则4,其中kk DD为式的行列式，为把D中第k个列向量换成等号右边的自相关系数响亮后构成的行列式。k(3)偏自相关系数的截尾性。平稳的AR(p)模型的偏自相关系数具有p步截尾性。指p时，气=0。ar模型的偏自相关系数为：e =.kk,k = 110,k20rV2ar(2)模型的偏自相关系数为：8 =令M = 2kk2MA模型一、定义定义具有如下结构的模型称为q阶移动平均(moving average)模型，简记为MA(q):X pi + 0 A. 0 tt 1 t1q tq e roqI E(e ) 0,Var( ) = c? 2, E(e

12、 e ) = 0, s。1ttt s使用MA(q)模型需要满足两个限制条件：条件一：0这个限制条件保证了模型的最高阶数为q。q条件二：E(s ) = O,Vtzr(s )=a2,(8 8 ) = Q,st ,即随机干扰项伍为零均值白噪声序列ttEt st W(0,Q2)t通常把MA(q)模型简记为：% =|Li + -08 -A -0 8tt 1 t1q tq当H =时，模型 称为中心化MA(q)模型，而对非中心化模型只需做一个简单的位移y,=:-目,就可以转化证中心化MA(q)模型。使用延迟算子，中心化MA(q)模型又简记为：X 0(B) ,tt式中。(8) = 1-叩-。2初-A -BqB

13、q,称为q阶移动平均系数多项式。二、MA模型的统计性质1、常数均值当08时，MA(q)模型具有常数均值：如果该模型为中心化MA(q)模型，则该模型均值为零。2、常熟方差3、自协方差函数只与滞后阶数相关，且q阶截尾(1+0 2 +02 +A 02)G2, k = 0=(-0 +笑* 0 0 )b 2,1 k q4、自相关系数q阶截尾MA(1)模型的自相关系数为MA(2)模型的自相关系数为5、偏自相关系数拖尾当q 8时，MA(q)模型一定为平稳模型。MA(q)模型的偏自相关系数拖尾，自相关系数q阶截尾。三、MA模型的可逆性为了保证一个给定的自相关函数能够对应唯一的MA模型，我们就要给模型增加约束条

14、件。这 个约束条件称为MA模型的可逆性条件。可逆的定义1Xt =81 _0 81-1MA(1)模型具有如下结构式，他们的自相关系数正好相等：模型1： ：=广08模型2：把这两个MA(1)模型表示成两个自相关模型形式：X模型1： 10b =81模型2：显然，0| 1时，模型1不收敛，而模型2收敛。若一个MA模型能够表示成收敛的AR模型形式，那么该MA模型则称为可逆模型。一个自相关系数唯一对 应一个可逆MA模型。MA(q)模型的可逆性条件。XMA(q)模型可以表示为：/ = 8 0( B)t式中0(B) =1-01B-02B2-A -0Bq，称为q阶移动平均系数多项式。111、假定，A，是该系数多

15、项式的q个根，则0(B)可以分解成： 人人 人0(B)顼 (1人 B)k=1把式带入，得XX邛(1-人 B)(1一。B)A (iqB)kk=1式收敛的充要条件是：|人J 1。这个条 k件称为MA(q)模型的可逆性条件。3、逆函数的推导公式如果一个MA(q)模型满足可逆性条件，它就可以写成如下两种等价形式： 把(b)式带入(a)式，得由待定系数法可以得到逆函数的推导公式:=1=Wj=i七,k q = I (B) x =E IBixi=1=工Ixi t-i i=1P64【例续】考虑【例】中的四个MA模型的可逆性，并写出可逆MA模型的逆转形势。4、MA模型偏自相关系数拖尾Vk 0, MA(q)模型延

16、迟k阶偏自相关系数为:寸 Il+k71寸虬=传，由于Z I 7不会恒等于零，所以MA(q)模型偏自相关系数kk (1 + 02 +02 +A2)b 2l+k l -拖尾。ARMA模型一、定义定义把具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为ARMA(p,q):x = + x + x +A + x + -0 -A -0 t 01t12t2ptpt 1t1qtq丰0,0丰0E( ) = 0,Var( ) =b2,E( ) = 0,s t tt s tEx = 0, Vs p k 0, j q四、ARMA(p,q)模型的统计性质1、均值对于一个非中心化平稳可逆的ARMA(p,q)模型：两边同时求

17、均值：2、自协方差函数3、自相关系数考察AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的自相关系数和偏自相关系数，可以总结出模型模型自相关系数p;k偏自相关系数、kkAR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾平稳时间序列时间序列建模的一般步骤 怎样判断平稳性？ 什么是平稳性？这里指宽平稳。如果序列工满足下列条件，则称为是平稳的。 t性质3的一个推论是，对Vs t, k, Corr(x , x ) = Corr(x , x )，记为p，称为延迟为k的自t st+k s+kk相关系数k = s -t平稳性的直观含义是“序列的前二阶矩不随时间的推移而改变”，这使得我们可以

18、把不同时间点的数 据放在一起作统计推断. 观察时序图根据平稳性的定义，平稳序列具有常数均值和常数方差的性质，因此其时序图应该在一个常数值附近波动，且波动的范围有界；具有明显趋势性和周期性的序列通常不是平稳序列；例如：自相关图检验平稳序列通常只具有短期的自相关，即自相关函数(ACF)往往很快的衰减到零。因此衰减很慢的序 列很可能是非平稳的。例如前面三个例子里面对应的自相关图分别如下：怎样做白噪声检验？什么是白噪声？如果序列* 满足E(x )=日,Var(x ) =。2,Cov(x ,x ) = 0, Vt。s，则称x 为白噪声序列tttt st(White Noise),记为如果xt还服从正态分

19、布，则称为高斯白噪声。白噪声是纯随机序列，它具有性质，因此我们可以通过检验下列假设来检验序列是否是白噪声检验统计量为LB(Ljung-Box)统计量LB = n(n + 2)刃k=1在原假设成立的条件下，LB近似服从自由度为m的卡方分布X 2 LB X2(1 -a. 2)时拒绝原假设。mm注：为什么只需要检验前6期，12期或者前18期的自相关呢？这是因为一个平稳序列通常只存在 短期的自相关，如果短期之间都不存在显着的自相关，则更长期的延迟之间就更不会存在自相关了；相 反的，如果存在显着的短期自相关，则该序列必然不是白噪声；怎样计算自相关系数和偏自相关系数？样本自相关系数(SACF)样本偏自相关

20、系数(SPACF)1APAAP1人PAaP1k-111AA P1AAPAA P1A人P其中，D =1k-2 _ _ ，D =12MMMk MMMAPAPA1APAPA人Pk-1k-2k-1k - 2kA怎样识别模型?所谓的模型识别就是选取是适当的p,q，也就是模型定阶； ARMA模型的理论ACF和理论PACF理论上讲，我们可以根据上述特点确定模型的阶，但在实际操作中具有下列障碍SACF,SPACF不会出现理论上的完美截尾情况；本应截尾的SACF和SPACF仍会出现小值震荡的情 况；平稳序列通常只具有短期相关性，当k足够大是，SACF和SPACF总会衰减到零值附近做小值震荡。 什么时候认为P k = 0 ？n - p由于Pk * 近似服从标准正态分布，因此当P = 0时，se(p )kk于是有因此，当SACF落在2倍标准差的范围内是，我们认为Pk = 0 ；怎样判断截尾还是拖尾？如果有SACF在最初的d阶明显大于2倍标准差，而后几乎95%的SACF都落在2倍标准差内，且 这种过程很突然，则可以视为是“截尾”；反之，如果超过5%的SACF都落在2倍标准差范围之外，或者SACF衰减到零