高中数学必修二 基本立体图形

1、基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.空间几何体、多面体的概念（1）空间几何体如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。（2）一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。多面体【思考】多面体怎样分类？提示：（1）按多面体是否在任一面的同侧关系分，可分为凸多面体（把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧）和凹多面体。我们所研究的多面体若不特别说明，都是指凸多面体。（2）多面体按围成它的面的个数

2、分，可分为四面体、五面体、六面体2.棱柱（1）棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻的侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。（2）棱柱的图形表示：（3）棱柱的表示方法：如上图所示的棱柱，可记为四棱柱ABCD-ABCD。【思考】棱柱具有哪些重要的特征？提示：（1）侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形。（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。3.棱锥（1）棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是

3、有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。（2）棱锥的图形表示：（3）棱锥的表示方法：如上图所示，该棱锥可表示为四棱锥S-ABCD。【思考】棱锥的结构特征中应注意什么？提示：对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形。4.棱台（1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。（2）棱台的图形表示：（3）棱

4、台的表示方法：如上图所示的棱柱，可记为四棱台ABCD-ABCD。【思考】棱台具有哪些重要的特征？提示：棱台的上下底面必须平行，各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台。【素养小测】1.思维辨析（对的打“”，错的打“”）（1）棱柱的侧面都是平行四边形。（）（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥。（）（3）正三棱锥也称为正四面体。（）【解析】（1）。棱柱的两个底面是全等的多边形，侧面是平行四边形。（2）。其余各面都是有一个公共顶点的三角形。（3）。正四面体是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四面体。2.下列关于棱柱的说法中正确的是（）A.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边

5、形B.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面D.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行【解析】选D。由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确。3.下面四个几何体中，是棱台的是（）【解析】选C。由棱台的概念知侧棱延长应交于一点。4.面数最少的多面体有_个面。【解析】面数最少的多面体是四面体（三棱锥），有4个面。答案：4类型一棱柱的结构特征【典例】1.下列说法中，正确的是（）A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，

6、而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形2.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1。（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由。【思维引】根据棱柱的结构特征判断。【解析】1.选D。A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图，构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点。2.（1）是棱柱，并且是四棱

7、柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义。（2）截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1。【内化悟】怎样判断棱柱的底面？提示：棱柱的底面，不是看到直观图“位置”上的上下底面，而是平行且全等的那两个多边形。【类题通】棱柱结构特征问题的解题策略1.有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：两个面互相平行；其余各面是四边形；相邻两个四边形的公共边互相平行。求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征。2.多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除。【习练破】1.下列几何体是棱柱的有（）A.

8、5个B.4个C.3个D.2个【解析】选D。棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行。当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱。很明显，几何体均不符合，仅有符合。2.下列关于棱柱的说法错误的是（）A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面【解析】选C。对于A，B，D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公

9、共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱。如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误。类型二棱锥、棱台的结构特征【典例】1.下列三种叙述，正确的有（）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图在三棱台ABC-ABC中，截去三棱锥A-ABC，则剩余部分是（）A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台【思维引】根据棱锥、棱台的结构特征

10、判断。【解析】1.选A。中的平面不一定平行于底面，故错；可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故错。2.选B。剩余部分为四棱锥A-BBCC。【内化悟】棱台能不能由棱锥截得？提示：能。【类题通】判断棱锥、棱台形状的两个方法（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确。（2）直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【习练破】下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；棱锥的侧面只能是三角形；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。其中正确说法的序号是_。【解

11、析】正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥。答案：类型三多面体的表面展开图【典例】1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（对面是相同的图案）（）2.如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？【思维引】1.正方体的平面展开图以其中一个面不动把其他面展开。2.常见几何体的定义与结构特征空间想象或动手制作平面展开图进行实践。【解析】1.选A。由选项验证可知选A。2.图中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图中，有5

12、个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点。把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以为五棱柱，为五棱锥，为三棱台。【类题通】多面体展开图问题的解题策略（1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型。在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图。（2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推。同一个几何体的平面展开图可能是不一样

13、的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图。【习练破】如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（）A.B.C.D.【解析】选C。可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现可折成正四面体，不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体。第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.圆柱、圆锥、圆台、球【思考】（1）圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？当底面发生变化时，它们能否互相转化？提示：它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不相等的圆；当

14、底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥。（2）球与球面有何区别？提示：球与球面是两个完全不同的概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分；球是实心的，球面是空心的。2.组合体的结构特征（1）定义：由简单几何体组合而成的几何体。（2）基本形式：【思考】怎样正确认识简单组合体？提示：（1）准确理解简单几何体（柱、锥、台、球）的结构特征。（2）正确掌握简单组合体构成的两种基本形式。（3）若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线（或面）。【素养小测】1.思维辨析（对的打“”，错的打“”）（1）以直角三角形

15、的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥。（）（2）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台。（）（3）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台。（）【解析】（1）。应以直角三角形的一条直角边为轴。（2）。应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴。（3）。应是平面与圆锥底面平行时。2.圆锥的侧面展开图是（）A.三角形B.长方形C.正方形D.扇形【解析】选D。圆锥的侧面展开图是扇形。3.如图所示的组合体的结构特征是（）A.一个棱柱中截去一个棱柱B.一个棱柱中截去一个圆柱C.一个棱柱中截去一个棱锥D.一个棱柱中截去一个棱台【解析】选C。由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥。类型一旋转体

16、的结构特征【典例】1.下列结论：在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线相互平行。其中正确的是（）A.B.C.D.2.下列说法中正确的是（）过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；球面上任意三点可能在一条直线上；球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段。A.B.C.D.【思维引】根据圆柱、圆锥、圆

17、台以及球的定义及结构特征进行判断。【解析】1.选D。所取的两点与圆柱的轴OO的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符。若所取两点连线的延长线不与轴交于一点，则不符合圆台母线的定义。符合圆锥、圆柱母线的定义及性质。2.选C。由球的结构特征可知正确。【内化悟】判断简单旋转体结构特征应注意哪两个方面的问题？提示：（1）明确由哪种平面图形旋转而成。（2）明确旋转轴是哪条直线。【类题通】1.判断旋转体形状的步骤（1）明确旋转轴l。（2）确定平面图形中各边（通常是线段）与l的位置关系。（3）依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状。2.与简单旋转体的截面有关的结论（1）

18、圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面。（2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面（即过旋转轴的截面）分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形。【习练破】给出下列说法：圆柱的底面是圆面；经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体。其中说法正确的是_。（填序号）【解析】正确，圆柱的底面是圆面；正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；不正确，圆台的母线延长，相交于一点；不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体。答案：类型二简单组合体的结构特征【典例】1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋

19、转一周，所得的几何体包括（）A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥2.描述下列几何体的结构特征。【思维引】1.先将平面图形割补成三角形、矩形，再旋转识别几何体。2.关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成。【解析】1.选D。图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥。2.题干图所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；题干图所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；题干图所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体。【内化悟】常见的简单旋转体有哪些？提示：圆柱、圆锥、圆台和球。【类题通】识别简单组合体的结构特征的策略（1）组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割。（2）用分割法识别简单组合体，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线（或面），进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体。【习练破】如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，BAC=45。将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个