06第六章万有引力

1、第六章 万有引力一、内容提要1行星运动的三大定律（开普勒定律）1 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。行星轨道的偏心率 都比较小。（很接近于圆）2 对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等 的面积。3. 行星绕太阳运动周期T的平方和椭圆轨道的半长轴a的立方成正比，即：4该恒量对各行星都相同）万有引力定律（1）.任何两质点间都存在相互吸引力，方向沿两质点的连线方向，大小与两质点的质量的乘积成正比，与它们 之间距离的平方成反比：（2）引力质量和惯性质量 惯性质量：反映质点保持其原来运动状态不变的程度，不涉及引力。 引力质量：反映质点吸引其他物体的能力，不

2、涉及惯性。 引力质量和惯性质量相等，可以不加以区分。（3）.地球自转对重量的影响（a） W和f偏角a ,在九=45。时，sin aaa 1.74 x 10-3 rad = 6，偏角很小，但九=45。为最大值。（ b ） W 的大小：通常说在赤道重量小，两极重量大，不仅是半径作用，而且还有非惯性力的影响（或地球自 转的影响）。引力势能（1）万有引力势能.r Mm若取两吸引质点相距无穷远处为引力势能零点：=0,则引力势能恒为负:2）三种宇宙速度：第一宇宙速度：环绕地球表面做匀速圆周运动的速度：第二宇宙速度：脱离地球引力成为太阳系中的一个人造卫星的最小速度先=J2 崔也當=11.2krn / s 第

3、三宇宙速度：物体摆脱太阳的吸引，到其它恒星世界去的最小速度。也=16.7ina/j二、习题解答6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道上运行。试用开普勒第三定律证明：一个T物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为t =答：方法一：圆轨道半径即半长轴a。设物体下落为绕中心天体沿极扁（半短轴趋于0）椭圆运a转，半长轴2， v远一o,对同一中心天体有:T2圆周运动 =ca3沿所示椭圆T- (a/2)3 = c = T2 ,1a3T21T = T2 2。如题所述落向中心天体时间t=T12 = t4 2 （取自方励之书）。这也只是种定性讨论；若如后面方法所述t=也是定性讨论。方法二：应

4、用开氏第三定律，中心天体定，初=C,任意y时，设周期Ta3T 2T 2亦有一二C二 -y3a 3运转速率u =u2二 y3c，4兀 2y2-(1)，y -T 2Cy2中心天体使行星具有向心下落加速度，下落初速为0 ，显然dv = adt =-伫 dt,ncy 2v = 0 + J t- 一dt - (2)， dy = vdt = 0Cy211 -伫I o cy2dt dt丿3)，-泌=J tdt = tdt04n 2-(4)，Jo-泌=Fd ,0ca3 = T2，ca 31石=2T打77和结果不符(5.7)。dvYv(3) (4)处理万法见 P104，= g -104 dtmdv=dt处理。方

5、励之P144有之，t =土星质量为5.7X 1026kg，太阳质量为2.0X 1030kg，二者的平均距离是1.4X 10吨。(1) 太阳对土星的引力有多大？(2)设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度。答：m = 5.7 x 1026kg， m = 2.0 x 1030kg， G = 6.67 x 10-11kg， r = 1.4x 1012m，12( 1 )引力mmF = 6.67 x 10-11 x5.7 x 1026 x2.0 x 1030 /(1.4x 1012)2 = 3.88x 1022Nr22)F=mv2/r， v = (Fr / m)1/ 2 =3.88x1022x1.4x101

6、2/(5.7x1026)1/2 =9.76x103ms-1(P598 答数 1.5 x 1023N，430ms-1 是错的。)598某流星距地面一个地球半径，求其加速度。M答：a = G 地 n r2667 x 10-11 x 5.98 x 1024 = 2.45 = g4 x 6370 2 x 10 64(1) 一个球形物体以角速度转动。如果仅有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？有此估算巨蟹座中转速为每秒30 转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果。（2）如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（2.0X 1030kg或3X105Me，Me为地球质量），

7、此脉冲星的最大可能半径是多少？ （3）若脉冲 星的密度与核物质的相当，它的半径是多少？核密度约为1.2X10i7kg/m3。4答：（1） M = 3兀R3P，取距心r，纬度，体元m，受引力F大于等于向心力mMMGco sx = m 2rco 门，G = wr2r22r43兀R3p - G w2r3，取r 二 R , p 令w = 2k x 30 = 65rads-1，则知 F(2) w = 60k , p =(60k)23 x 6.67 x 10-11 x 3.14沁1.27 x 1014kg/m3为脉冲星最小密度,）4M = 3kR3p，知 m、4kR3 p -1(3)GR2P，可知Ro=1

8、 w2R，p = w24，p = 1.3 x 1014 kgm-3，2 x 1030 = 4kR3 p,4 kG3可得R6.2.4距银河系中心约25 000光年的太阳约以170 000 000年的周期在一圆周上运动。地球 距太阳8光分。设太阳受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太 阳质量为单位银河系的质量。答： mw 2 R = GMmMmm w 2 R = G日地地 地R 2日地M =w 2r3 /G; M =w 2R 3 /G日 地 日地)(RR日地)3125000170000000”(8/60/24/365)1.53x1011m = 1.99 x1033 kg ，日

9、6.2.5某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s,近日点的速度为80 km/s。若地球在 半径为1.5X 108km的圆周轨道绕日运动，速度为30 km/so求此彗星的远日点距离。Mm v2答：彗星远、近地点，曲率半径P相同。因引力不同，故速度不同。f 一 = G = m亠， 远r2p远v2f = m-，近pr x 10 = r x 80 ,远近v = 80kms-i近GMmv2圆周运动），地m地R2地R地地7v2 R1v2 ）， v地地 （v2 一8r2近远地（3）太阳、地球、 代入， 得远R = 1.5 x 108 km，地，GM 二 v2地=30kms -i，得 r = 3.75

10、 x 107km远x R-，地v = 10kms -i远（1）彗星满足角动量守恒，r_v一二r v远 远 近 近-，（2）取彗星、太阳为组，无穷远为E二0，则机械能守恒。pGMm 1 GMm 1+ mv2 二一+ mv2,r2 远r2 近远近6.2.6 均质细杆长L质量为M。求距其一端为d处单位质量质点受到的引力（亦称引力场 强度）。答：F = Gp-1f L+d 丄 dx = Gp （-丄）Il+d = Gp （丄-）=GM 1d X2X dd L + dd（d + L）626 題ffi.6.2.7半径为R的细半圆环线密度为九。求位于圆心处单位质量质点受到的引力（引力场强 度）。答：关于Y左

11、右对称，水平力相抵消，只计Y分量之和。 TOC o 1-5 h z r 7 111F = 2JK/2G _sin0 -RdO = 2G九（-cosO）1冗/2 = 2G九，f = 0 或y 0 R2R0R xF =卜G 1 sinOdO =-G cosO k = 2G九/Ry 0 RR 06.3.1考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V,赤道上的加速度是极点上的一半。 求此行星极点处的粒子的逃离（第二）速度。答：球形半径R,质量M,绕AB轴自转。仿地球重力加速度g，%2二mg，g指O 点。g = GMr2，此在A、B及赤道均同。赤道线速度v，以星为参照系为非惯性系，赤道物体m受引力（重力）

12、、惯性离心力f*二mv2/R，方向向外，故星为参照物，赤道物体 cGMm / mv2 /1 m GM 1 GM加速度ma = GMmR2 mv2R = m - g = y ，=v2 0逃离速度即第二宇Mm 1宙速度 v, - G 2 + m v2 = 0 ， v2 = 2GM/R = 4v2， v = 2v2R 22 222me6.3.2 一直地球表面的重力加速度为9.8m/s2,围绕地球的大圆周长为4X107n，月球与地球的 直径及质量之比分别是D /D =0.27和M /M =0.0123。试计算从月球表面逃离月球引力场所me必需的最小速度。答：解法一：仿地球第二宇宙速度笃地=、,2R g

13、 = 11.2kms 1， v、 地地2月m=0.27R ， g = G 月 = G地 月 R2(月，g0.0123m0.0123地 =g ，0.27R )20.272 地地v2月2 x 0.27R xi地0.0123g0.272 地(0.0123、1/20.27 丿V2R g = 0.2314 x 11.2 x 103 = 2.39kms-1、 地地mm1( 11/2(1 )G 月 +mv2 = 0，v=2Gm -=2GmRR222月R月R2月月J月丿V月丿1/2解法二： mg = G 月=G 月 R2月0.0123m地0.272R2地0.0123 m=G 地0.272R2地1=6g 地厶 门)(c 0.0123门)1/2J0.0123ccc. v = Qg R 丿/2 = 2 g x 0.0123R=11.2 = 2.39kms-12 月月 I 0.272地地丿0.276.4.1 月球在地球上引起潮汐。试证明潮汐产生的磨擦会使地月间距离增加。 答：略。6.4.2 图 6.4.2 表示利用潮汐发电。左方为陆地和海湾，中间为水坝，其下有通道，水流 经通道可带动发电机。涨潮时，水进入海湾，待内外水面高度相同时，堵住通道图6.