《微积分B》课程教学大纲

1、微积分B教学大纲一、说 明适用专业经管、政管、教育、化学、生科、历史、城环等学院相关专业先修课程中学数学总学时128总学分4+4（一）本课程的目的、要求（1）使学生比较系统地掌握本课程的基本概念，基本理论和基本运算技能，为学习后继专业课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。（2）通过教学，逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，并注意培养学生的数学建模能力和用所学理论解决简单应用问题的能力，培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。（二）内容选取和实施中注意的问题（1）本课程有以下内容：一元与多元函数微积分、无穷级数与常微分方程

2、。（2）在讲清概念的基础上，精选范例，注意教学方法，阐明基本概念和基本规律，突出重点，提高教学效果。（3）本课程以提高学生的解题能力为主，应注意分析解题思路，安排一定量的习题课。并布置适量的作业和思考题，培养学生解决实际问题的能力。（4）在应用本大纲进行教学时，应保证大纲规定的基本内容，大纲中不带“*”号的内容属基本内容，带“*”号内容可根据教学的实际情况机动处理。（5）建议总课时128课时左右，在第一、二学期开设，其中第一学期周课时为5课时，第二学期周课时为4课时，总学分为4+4=8学分。（三）教学方法本课程讲授为主，适当地练习为辅。合理使用计算机多媒体辅助教学。（四）考核方式本课为考试课程

3、，闭卷，笔试考试。说明：1.作业，课堂笔记，出勤等方面的分数占学期成绩的20%；2.期末考试分数占学期成绩的80%；3.期末考试严格实行考教分离；考试试卷由系部负责人在考试前从卷库中随机抽取，交教务处审核；考试完毕试卷密封；考试阅卷实行流水阅卷。（五）教学内容与学时分配教学章节教学内容学时安排备注1函数、极限与连续18学时2一元函数微分学24学时3一元函数积分学22学时4无穷级数（数项级数、幂级数）12学时5多元函数微分学20学时6多元函数积分学（二重积分）16学时7常微分方程16学时（六）各学期教学内容分配第一学期 函数、极限与连续；一元函数微分学；一元函数积分学。第二学期 无穷级数（数项级

4、数、幂级数）；多元函数微分学；多元函数积分学（二重积分）；常微分方程。二、大 纲 内 容第一章 函数、极限与连续1函数；2数列的极限；3函数的极限；4极限存在准则，两个重要极限；5无穷小的比较；6函数的连续性。说明和要求:理解函数的概念，了解函数的几种常用表示法，了解函数的基本性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性）。理解复合函数的概念，了解反函数的概念。掌握基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。理解极限的概念（对极限的-、-定义可在学习中逐步加深理解，对于给出定义可不作过高要求）。理解函数的左右极限与函数极限的关系，掌握极限四则运算法则及两个极限存在法则（夹逼准则和单调

5、有界准则），掌握用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小和无穷大的概念，了解无穷小的阶的概念及无穷小与函数极限的关系，了解无穷小与无穷大的关系，会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理），会利用介值定理证明根的存在性等问题。第二章 一元函数微分学1导数的概念；2求导法则；3高阶导数4隐函数和参数方程所确定的函数的导数；5微分；6中值定理；7洛比达法则；*8泰勒公式；9函数单调性与极值；10函数的凹凸性，函数作图。说明和要求:理解导数的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性

6、之间的关系。会求平面曲线的切线和法线，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解高阶导数的概念。会求某些简单函数的n阶导数，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。了解隐函数的概念，掌握隐函数和参数方程所确定的导数；了解微分概念及几何意义； 理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日(Lagrange)定理，掌握这两个定理的简单应用。了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。掌握用洛必达法则（LHospital）求不定式的极限的方法。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水

7、平、铅直和斜渐近线）。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。会求曲线的渐进线。第三章 一元函数积分学1不定积分；2定积分；3广义积分；4定积分的应用。说明和要求:理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元法和分部积分法。理解定积分的概念及性质。掌握定积分的换元法和分部积分法。理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）公式。理解广义积分的概念。会计算简单广义积分。掌握定积分元素法，掌握用元素法求平面图形的面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积的方法。了解利用元素法计算功、压力、引力等物理量的方法。第四章 无穷级

8、数1数项级数，正项级数，正项级数收敛性的一般判别原则，比较原则，比式判别法与根式判别法。一般项级数与莱布尼茨判别法。2幂级数，收敛半径与收敛区间，幂级数的性质，连续性，可积性（逐项积分），可微性（逐项微分）；幂级数的运算。3函数的幂级数展开：泰勒级数及展开的条件，初等函数的幂级数展开式。4求幂级数和函数。说明和要求：1了解级数，幂函数等概念，会求一些级数的和。2掌握级数与幂级数的性质。3、会求幂级数的收敛半径与某些幂级数的收敛域。4会将某些函数展开成幂级数，会用间接法求函数的泰勒展开式。5会求幂级数的和函数。6本章的重点是级数的求和及收敛性的比较判别法，幂级数收敛半径与收敛区间，幂级数的性质，

9、函数的幂级数展开，求幂级数和函数。难点是求幂级数的和函数。第五章 多元函数微分学1多元函数、极限和连续；2偏导数与全微分；3复合函数与隐函数的微分法；4偏导数的几何应用；5多元函数的极值。说明和要求:理解多元函数的概念。了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质，会求简单二元函数的极限。理解偏导数和全微分的概念，掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法，掌握全微分的求法。会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组所确定的隐函数）的偏导数。了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求它们的方程。会求方向导数。理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，

10、了解二元函数极值存在的充分条件，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法，会求简单多元函数的最大值和最小值。第六章 多元函数积分学1二重积分；2二重积分的应用。说明和要求:理解二重积分的概念，了解二重积分的性质，如二重积分的中值定理。掌握二重积分（直角坐标系下、极坐标系下）的计算方法，会改换二重积分的次序。会用二重积分计算平面图形的面积、立体的体积以及曲面的面积等一些几何量。第七章 常微分方程1微分方程的基本概念；2一阶微分方程；3可降阶的高阶微分方程；4二阶线性微分方程。说明和要求:了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的方程、齐次方程及一阶线性方程的解法。会用简单的变量代换解一些微分方程。会用降阶法解下列方程：（略）。理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解的结构。会求自由项为多项式、指数函数、正