高一数学知识点总结

1、Word 高一数学知识点总结 做好（高一数学）学问点的（总结），对大面积提高数学学习质量起着重要作用。今日我在这给大家整理了高一数学学问点总结大全，接下来随着我一起来看看吧! 高一数学集合学问点总结 一.学问归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 留意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则ab)和无序性(a,b与b,a表示同一个集合)。 集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对

2、象都是它的元素;只要是它的元素就必需符号条件 2)集合的表示（方法）：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：n，z，q，r，n 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对xa都有xb，则a b(或a b); 2)真子集：a b且存在x0b但x0 a;记为a b(或 ，且 ) 3)交集：ab=x| xa且xb 4)并集：ab=x| xa或xb 5)补集：cua=x| x a但xu 留意：? a，若a?，则? a ; 若 ， ，则 ; 若 且 ，则a=b(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，把握有关的术语和符号，特殊要留

3、意以下的符号：(1) 与 、?的区分;(2) 与 的区分;(3) 与 的区分。 4.有关子集的几个等价关系 ab=a a b;ab=b a b;a b c ua c ub; acub = 空集 cua b;cuab=i a b。 5.交、并集运算的性质 aa=a，a? = ?，ab=ba;aa=a，a? =a，ab=ba; cu (ab)= cuacub，cu (ab)= cuacub; 6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二.例题讲解： 【例1】已知集合m=x|x=m+ ,mz,n=x|x= ,nz,p=x|x= ,pz，

4、则m,n,p满意关系 a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m 分析一：从推断元素的共性与区分入手。 解答一：对于集合m：x|x= ,mz;对于集合n：x|x= ,nz 对于集合p：x|x= ,pz，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。 分析二：简洁列举集合中的元素。 解答二：m=， ，n=， , , ，p=， , ，这时不要急于推断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。 = n， n，m n，又 = m，m n， = p，n p 又 n，p n，故p=n，所以选b。 点评：由于思路二只是

5、停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。 变式：设集合 ， ，则( b ) a.m=n b.m n c.n m d. 解： 当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b 【例2】定义集合ab=x|xa且x b，若a=1,3,5,7,b=2,3,5，则ab的子集个数为 a)1 b)2 c)3 d)4 分析：确定集合ab子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a=a1，a2，an有子集2n个来求解。 解答：ab=x|xa且x b， ab=1,7，有两个元素，故ab的子集共有22个。选d。 变式1：已知非空集合m 1,2,3,4,5，且若am，则6?a

6、m，那么集合m的个数为 a)5个 b)6个 c)7个 d)8个 变式2：已知a,b a a,b,c,d,e,求集合a. 解：由已知，集合中必需含有元素a,b. 集合a可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e. 评析 本题集合a的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有 个 . 【例3】已知集合a=x|x2+px+q=0,b=x|x2?4x+r=0,且ab=1,ab=?2,1,3,求实数p,q,r的值。 解答：ab=1 1b 12?41+r=0,r=3. b=x|x2?4x+r=0=1,3, ab=?2,1,3,?2 b, ?2a a

7、b=1 1a 方程x2+px+q=0的两根为-2和1， 变式：已知集合a=x|x2+bx+c=0,b=x|x2+mx+6=0,且ab=2,ab=b，求实数b,c,m的值. 解：ab=2 1b 22+m?2+6=0,m=-5 b=x|x2-5x+6=0=2,3 ab=b 又 ab=2 a=2 b=-(2+2)=4,c=22=4 b=-4,c=4,m=-5 【例4】已知集合a=x|(x-1)(x+1)(x+2)0,集合b满意：ab=x|x-2，且ab=x|1 分析：先化简集合a，然后由ab和ab分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。 解答：a=x|-21。由ab=x|1-2可知-1,1

8、b，而(-,-2)b=。 综合以上各式有b=x|-1x5 变式1：若a=x|x3+2x2-8x0，b=x|x2+ax+b0,已知ab=x|x-4，ab=,求a,b。(答案：a=-2，b=0) 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应留意用数形结合的方法，作出数轴来解之。 变式2：设m=x|x2-2x-3=0,n=x|ax-1=0，若mn=n，求全部满意条件的a的集合。 解答：m=-1,3 , mn=n, n m 当 时，ax-1=0无解，a=0 综得：所求集合为-1，0， 【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q，若pq，求实数a的取值范围。 分析：先将原问题转化为

9、不等式ax2-2x+20在 有解，再利用参数分别求解。 解答：(1)若 ， 在 内有有解 令 当 时， 所以a-4,所以a的取值范围是 变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。 解答： 点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类争论，但并不是全部的问题都要争论，怎样可以避开争论是我们思索此类问题的关键。 三.随堂演练 选择题 1. 下列八个关系式0= =0 0 0 0 其中正确的个数 (a)4 (b)5 (c)6 (d)7 2.集合1，2，3的真子集共有 (a)5个 (b)6个 (c)7个 (d)8个 3.集合a=x b= c= 又 则有 (a)(a+b) a (b) (a+b) b

10、 (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个 4.设a、b是全集u的两个子集，且a b，则下列式子成立的是 (a)cua cub (b)cua cub=u (c)a cub= (d)cua b= 5.已知集合a= ， b= 则a = (a)r (b) (c) (d) 6.下列语句：(1)0与0表示同一个集合; (2)由1，2，3组成的集合可表示为 1，2，3或3，2，1; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0的全部解的集合可表示为 1，1，2; (4)集合 是有限集，正确的是 (a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3) (c)只有(2) (d)以上语句都不对 7.设s

11、、t是两个非空集合，且s t，t s，令x=s 那么sx= (a)x (b)t (c) (d)s 8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为 (a)r (b) (c) (d) 填空题 9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为 10.若a=1,4,x,b=1,x2且a b=b，则x= 11.若a=x b=x ,全集u=r，则a = 12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是 13设集合a= ,b=x ,且a b，则实数k的取值范围是。 14.设全集u=x 为小于20的非负奇数，若a (cub)=3，7，15

12、，(cua) b=13，17，19，又(cua) (cub)= ，则a b= 解答题 15(8分)已知集合a=a2,a+1,-3,b=a-3,2a-1,a2+1, 若a b=-3，求实数a。 16(12分)设a= ， b= ， 其中x r,假如a b=b，求实数a的取值范围。 四.习题答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 c c b c b c d d 填空题 9.(x,y) 10.0, 11.x ,或x 3 12. 13. 14.1,5,9,11 解答题 15.a=-1 16.提示：a=0，-4，又a b=b，所以b a ()b= 时， 4(a+1)2-4(a2-1)0，得a-1 (

13、)b=0或b=-4时， 0 得a=-1 ()b=0，-4， 解得a=1 综上所述实数a=1 或a -1 高一数学数列学问点总结 等差数列公式 等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d 或an=am+(n-m)d 前n项和公式为：sn=na1+n(n-1)/2 d或sn=(a1+an)n/2 若m+n=2p则：am+an=2ap 以上n均为正整数 文字翻译 第n项的值=首项+(项数-1)公差 前n项的和=(首项+末项)项数/2 公差=后项-前项 等比数列公式 等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (nn)。 (2) 通项公式：an=a1q(n-1); 推广式：an=

14、amq(n-m); (3) 求和公式：sn=na1 (q=1) sn=a1(1-qn)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) (q1) (q为公比，n为项数) (4)性质： 若 m、n、p、qn，且m+n=p+q，则aman=apaq; 在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. 若m、n、qn，且m+n=2q，则aman=aq2 (5)g是a、b的等比中项g2=ab(g 0). (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 留意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列求和公式推导： sn=a1+a2+a3+.+an(公比为q) qsn=a1q+a2q+a3q+.+anq =

15、a2+a3+a4+.+a(n+1) sn-qsn=a1-a(n+1) (1-q)sn=a1-a1qn sn=(a1-a1qn)/(1-q) sn=(a1-anq)/(1-q) sn=a1(1-qn)/(1-q) sn=k(1-qn)y=k(1-ax)。 高一数学数列学问点总结：三角函数 锐角三角函数公式 sin =的对边 / 斜边 cos =的邻边 / 斜边 tan =的对边 / 的邻边 cot =的邻边 / 的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA2) (注：SinA

16、2 是sinA的平方 sin2(A) ) 三倍角公式 sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 帮助角公式 Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B降幂公式 sin2()=(1-

17、cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina

18、-4sin3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina(3/2)2-sin2a =4sina(sin260-sin2a) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina2sin(60+a)/2cos(60-a)/22sin(60-a)/2cos(60-a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosacos2a-(3/2)2 =4cosa(cos2a-cos230) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa2cos(a+30)/

19、2cos(a-30)/2-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a) =-4cosacos(60-a)-cos(60+a) =4cosacos(60-a)cos(60+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(

20、1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)三角和 sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 两角和差 cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)

21、 tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 和差化积 sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinsin = cos(-)-cos(+) /2 coscos = cos(+)+

22、cos(-)/2 sincos = sin(+)+sin(-)/2 cossin = sin(+)-sin(-)/2 诱导公式 sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (a)=-tan sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin sin(-) = sin cos(-) = -cos sin(+) = -sin cos(+) = -cos tanA= sinA/cosA tan(/2+)=-cot tan(/2-)=cot tan(-)=-tan tan(+)=tan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变

23、，符号看象限 万能公式 sin=2tan(/2)/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan(/2) tan=2tan(/2)/1-tan(/2) （其它）公式 (1)(sin)2+(cos)2=1 (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)2,其次个除(cos)2即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantan

24、C) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC (8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC (9)sin+sin(+2/n)+sin(+2

25、2/n)+sin(+23/n)+sin+2(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+22/n)+cos(+23/n)+cos+2(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 高一数学几何定理学问点总结 立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱： 定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五

26、棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底（面相）似，其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台： 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台

27、、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：上下底面是相像的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面绽开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面绽开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面绽开图是一个弓形。 (

28、7)球体： 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图(光线从几何体的前面对后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图斜二测画法 斜二测画法特点：原来与x轴平行的线段仍旧与x平行且长度不变; 原来与y轴平行的线段仍旧与y平行，长度为原来的

29、一半。 高一数学必修二学问总结：空间几何 一、立体几何常用公式 S(圆柱全面积) = 2r(r+L); V(圆柱体积)= Sh; S(圆锥全面积) = r(r+L); V(圆锥体积)= 1/3 Sh; S(圆台全面积) = (r2+R2+rL+RL); V(圆台体积)= 1/3s+S+(s+S)h; S(球面积) = 4R2; V(球体积) = 4/3 R3. 二、立体几何常用定理 (1)用一个平面去截一个球，截面是圆面. (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面. (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r有下面关系： r=(R2 -d2). (4)球面被经过球心的平面载得的圆叫做大圆，被

30、不经过球心的载面截得的圆叫做小圆. (5)在球面上两点之间连线的最短长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离. 高一数学必修二学问总结：点、线、面之间的位置关系 一、点、线、面概念与符号 平面、，直线a、b、c，点A、B、C; Aa点A在直线a上或直线a经过点; a直线a在平面内; = a平面、的交线是a; 平面、平行; 平面与平面垂直. 二、点、线、面常用定理 1. 异面直线推断定理 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线. 2.线与线平行的判定定理 (1)平行于同始终线的两条直线平行; (2)垂直于同一平面的两条直线平行;

31、 (3)假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行; (4)假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行; (5)假如一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线. 3. 线与线垂直的判定 若一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内全部直线. 4. 线与面平行的判定 (1)平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行; (2)若两个平面平行，则在一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面. 高一数学必修二学问总结：平面解析几何-直线与方程 一、直线与方程概念、符号 1.倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条

32、与x轴相交的直线，假如把x轴围着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角，当直线和x轴平行或重合时，规定其倾斜角为0，因此，倾斜角的取值范围是0180. 2.斜率 倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan，常用斜率表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的倾斜程度. 3.到角 L1依逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角.(L1到L2的角) 4.夹角 L1和L2相交构成的四个角中不大于直角的角叫这两条直线所成的角，简称夹角.(L1和L2的夹角或 L1和L2所成的角) 二、直线与方程常用公式 1.斜率公式 (1)A(m，n)，B(p，q)，且mp，则k=(n-q)/(m-p); (2)若直线AB的倾斜角为，且/2，则k=tan. 2.“到角”及“夹角”公式 设L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2， (1)当1+k1k20时，L1到L2的角为，则tan=(k2-k1)/(1+k1k2); L1与L2的夹角为，则tan