因式分解最牛最全的方法

1、- .因式分解一、提公因式法 .：ma+mb+mc=ma+b+c 二、运用公式法 . 在整式的乘、除中,我们学过假设干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如：1 a+ba-b = a 2-b 2a 2-b 2=a+ba-b；2a b 2=a 2 2ab+b 2a 2 2ab+b 2=a b 2；3a+ba 2-ab+b 2 =a 3+b 3a 3+b 3=a+ba 2-ab+b 2；4a-ba 2+ab+b 2 = a 3-b 3a 3-b 3=a-ba 2+ab+b 2下面再补充两个常用的公式：5a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a+b+c2；bcca ,6a 3

2、+b3+c3-3abc=a+b+ca2+b2+c2-ab-bc-ca；例. a, ,c是ABC 的三边,且a2b2c2ab那么ABC 的外形是D 等腰直角三角形A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形解：a2b2c2abbcca2a222 b22 c2ab2bc2caab 2 bc 2ca 20abc三、分组分解法. 一分组后能直接提公因式例 1、分解因式：amanbmbn分析：从“ 整体看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解, 但从“ 局部看, 这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系；解：原式

3、 =amanbmbn每组之间仍有公因式！=amn bmn=mnabbx例 2、分解因式：2ax10ay5by解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组；解法二：第一、四项为一组；其次、三项为一组；解：原式=2ax10ay 5bybx x5y2a原式=2 axbx10ay5 byb 5y=x2ab=2ax5yb x=x5y2 ab=2 ab5y 二分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x2y2axay- .word.zl.- .分析：假设将第一、三项分为一组,其次、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能连续分解,所以只能另外分组；解：原式 =x2y2 axay yp xq进展分解；=xyx

4、ya x=xy xyax例 4: 分解因式：a22 abb2c2解：原式 =a22 ab2 b2 c=ab 2c2=abc abc 四、十字相乘法. 一二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2pqxpq特点：1二次项系数是1；2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和；摸索：十字相乘有什么根本规律？例.0 a 5,且 a 为整数,假设2x23 xa 能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.ax 2+bx+c ,都要求b 24ac0解析：但凡能十字相乘的二次三项式而且是一个完全平方数；于是 9 8a为完全平方数 ,a 12例 5、分解因式：x 5 x 6分析：将 6 分成两个数

5、相乘,且这两个数的和要等于 5；由于 6=2 3=-2 -3=1 6=-1 -6,从中可以发觉只有 2 3 的分解适合,即 2+3=5 ；1 2 2 2解：x 5 x 6 = x 2 3 x 2 3 1 3 = x 2 x 3 1 2+1 3=5 用此方法进展分解的关键：将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数；例 6、分解因式：x27x66 x1 6 1 -1 解：原式 =x21 =x1 x61 -6 -1+ -6= -7 - .word.zl.- ax2bxc.二二次项系数不为1 的二次三项式条件：1aa 1a21ac1c 22cc 1c2a 2c 23ba 1

6、c2a 2c 1ba 1c 2a 2c 1分解结果：ax2bxc= a 1xc 1a2x例 7、分解因式：3x211x10分析：-5 1 -2 3 -6+-5= -11 解：3x211x10=x23 x5三二次项系数为1 的齐次多项式2 2例 8、分解因式：a 8 ab 128 b分析：将 b 看成常数,把原多项式看成关于乘法进展分解；1 -16b 1 8b a 的二次三项式,利用十字相8b+-16b= -8b 2 2 2解：a 8 ab 128 b = a 8 b 16 b a 8 b 16 b = a 8 b a 16 b 四二次项系数不为 1 的齐次多项式2 2 2 22 x 7 xy

7、6 y x y 3 xy 21 -2y 把 xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1-2-3y+-4y= -7y -1+-2= -3 解：原式 = x 2 y 2 x 3 y 解：原式 = xy 1 xy 2 五、换元法例 13、分解因式 12022 x22 20221x20221 xa2x1 x2 x3 x6 x2解：1设 2022= a ,那么原式 =ax2a2=ax1 xa=2022x1 x2022- .word.zl.- .1,2型如abcde的多项式, 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘；原式 =x27x6 x25 x6 x2设x25x6A,那么x27x6A2x原式 =A2xA

8、x2=A22Axx2=Ax2=x 26x62观看：此多项式的特点是关于x的降幂排列,每一项的次数依次少并且系数成“ 轴对称；这种多项式属于“ 等距离多项式；方法：提中间项的字母和它的次数,储存系数,然后再用换元法；解：原式 =x22x2x611=x22x21x21x6xx2x2x设x1 x2t,那么x2=12 tt222 x2 x原式 =2 x （t2 t62t102x121=x22 t5t2=x22x25x1xx=x2x25xx12=22x25xxx=x12 2x1 x2 x212x44x3x24x14x1解：原式 =x2x24x141=2 xxx2x21x设x1y,那么x21y22xx23

9、 xx1x2原式 =x22 y4y3=x2y1y3=x2x11 x13=x2xx六、添项、拆项、配方法例 15、分解因式 1x33x244x解法 2添项44 x4 =解法 1拆项原式 =x313 x23原式 =x33x24x4=x1 x2x13 x1 x1=x 2 x3 x4 x1 x2x13x3 1 x2=xx1 x4 x1=x1 x24x4 =x4x4=x1 x2 2=x1 x2 2.word.zl.- 2x9x6x33x6- 1 x31x31 .x91 1 3 x1解：原式 =3 x1 6 xx31x3=3 x1 6 xx31x311 =1 x3 x2x1 x62x3七、待定系数法；例

10、16、分解因式x2xy6y2x13 y6x3yx2y,那么原多项分析： 原式的前 3 项x 2xy6y2可以分为式必定可分为x3ymx2ynm x2yn解：设x2xy6y2x13 y6=x3yx3ym x2yn=x2xy6y2 mn x 3 n2 m ymnx2xy6y2x13y6=x2xy6y2mn x 3 n2 m ymn比照左右两边一样项的系数可得mn113,解得m23 n2 mn3mn6原式 =x3y2 x2y3 x2y2mx5y6能分解因式,并分例 17、1当 m为何值时,多项式解此多项式；3 22假如 x ax bx 8 有两个因式为 x 1 和 x 2,求 a b 的值；1分析：

11、前两项可以分解为 x y x y ,故此多项式分解的形式必为 x y a x y b 2 2解：设 x y mx 5 y 6 = x y a x y b 2 2 2 2那么 x y mx 5 y 6 = x y a b x b a y aba b m a 2 a 2比拟对应的系数可得：b a 5,解得：b 3 或 b 3ab 6 m 1 m 1当 m 1 时,原多项式可以分解；当 m 1 时,原式 = x y 2 x y 3 ；当 m 1 时,原式 = x y 2 x y 3 3 22分析：x ax bx 8 是一个三次式, 所以它应当分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如 x c 的一次

12、二项式；- .word.zl.解：设x3- x22 xcx2 c.ax2bx8=x1 那么x3ax2bx8=3 x3c x23 c1 x21xa3ca17b23c解得b14,2c8c4ab= 211x112 x41x21x1x1x13 x81x41x21x1x4 16 x1x81x41x21x5 _1. 通过根本思路到达分解多项式的目的例 1. 分解因式 x5x4x3x2x1分 析 ： 这 是 一 个 六 项 式 , 很 显 然 要 先 进 展 分 组 , 此 题 可 把x 5 x 4 x 3 和 x 2 x 1 分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后, 再进一步分解； 也可把 x

13、5x 4 ,x 3x 2 ,x 1分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进展分解；解一：原式x5x4x3x2xx1 x3x2x1 x2x1 1 x31 x2x1 x1 x1 x2x1 x2解二：原式 = x5x4x3x2x4x1 x2x1x1x1x4x1x2x1x42x21x1x2x1 x2x12. 通过变形到达分解的目的例 1. 分解因式 x33x2x4,那么有- .word.zl.解一：将 32 x 拆成 2x22原式x32x2x24- 3 .x2x2 x2x2x2x2x2 x1 x2213,那么有解二：将常数4 拆成原式x31 3x23 x1 x2x1 x1 3xx1 x2

14、4x4x1 x223. 在证明题中的应用例：求证：多项式x24x210 x21 100的值肯定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、肯定值；此题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数；证明： x24 x210 x21 10042x2 x2 x3 x7100 x2 x7 x2x3 100 x25 x14x25 x6 100设 yx25 ,那么原式y14y6100y28y16y无论y取何值都有y420 x24x210 x21 100 的值肯定是非负数4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：a2 bc3ab 3bc 3分析：此题假设直接用公式法分解,的关系,努力查找一种

15、代换的方法；过程很复杂, 观看 a+b,b+c 与 a+2b+c解：设 a+b=A , b+c=B ,a+2b+c=A+B 原式AB3A3ABB3B3A3B3A33A2B323 A2B3 AB2a2bc3 AB ABc 3 abb在分解因式时,敏捷运用公式,对原式进展“ 代换是很重要的；例 1.在ABC 中,三边a,b,c满意 a2- 16b2c26ab10bc0求证： ac2b.word.zl.证明：a216b2c26ab10bc- .0a26 ab9 b2c210bc25 b20即a3 b2c5b 20a8 bc a2bc0abcc0a8bc,即a8b于是有a2bc0即ac2b说明：此题是代数、几何的综合题,难度不大,同学应把握这类题不能丢分；例 2. ： x1 x22,就x312_ x3解： x31x1x211 xx3xx11221 1 x2等式化繁为易；xxx211x2说明：利用xx2题型展现1. 假设 x 为任意整数,求证：7x3x4x2的值不大于100；解： 7x 3x 4x2100 x7x2x3 x2100 x25 x14x25 x6 100 x25x8