《泛函分析》教学大纲

1、泛函分析Functional Analysis一、课程基本情况课程类别：专业方向课课程学分：3学分课程总学时：48学时，其中讲课：48学时（含习题课），不含课外辅导学时课程性质：选修开课学期：第6学期先修课程：高等代数、数学分析、常微分方程、复变函数、实变函数等适用专业：数学与应用数学等教 材：拉克斯泛函分析(中文版)，人民邮电出版社，2010年，讲授第1、2、5章 Brezis泛函分析理论和应用(叶东、周风 译),清华大学出版社,2009年，讲授第1-5章开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务课程性质：泛函分析是数学类专业的后续课程，是现代数学中的的主要数学分支之一, 它

2、综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法, 来研究无穷维空间上的函数及其算子, 在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题, 解决分析学自身的疑难问题以及产生于现代数学、现代物理、现代工程技术等领域中的学术问题。教学目标与教学任务：我们的目标侧重于泛函分析中相关知识的应用，为学生将来掌握现代偏微分方程服务。为此，教学任务是使学生掌握度量空间、Banach空间、Hilbert空间以及定义在这些空间上的线性泛函和线性算子的基本性质，引导学生形成正确的抽象空间概念。主要内容、重点：线性空间、商空间*、线性映射及其指标、赋范线性空间*、Hahn-Banach定理及共轭凸函数理论*、Banach-Steinh

3、uas定理*、闭图像定理*、正交关系、无界算子、共轭算子、满射算子的刻画*、弱拓扑*、自反空间*、可分空间、一致凸空间、LP空间*和Hilbert空间*。注：重点用右上标星号标出三、教学内容和要求第一章线性空间与商空间（4学时）（1）了解：线性空间定义基本性质，及各种典型例子如常见的函数空间Ca,b等； （2）理解：线性空间的直和、线性子空间、线性张、线性映射、凸性、凸集、极值点； （3）掌握：商空间的定义、等价类定义、商空间的维数/余维数/基，商空间的典型例子；重点：商空间的维数/基、线性张、凸性、凸集难点：商空间的维数/基/典型例子第二章线性映射（4学时）2.1 线性映射生成的代数(2学时

4、)（1）了解：线性映射满足的结合律、分配律，可逆性，零空间、值域、幂零空间； （2）理解：线性映射的不变子空间、商映射的零空间； （3）掌握：线性映射可逆性的判定条件；重点：可逆性的判定条件难点：商映射的零空间2.2 线性映射的指标(2学时)（1）了解：线性映射的退化、伪逆； （2）理解：伪逆的判定条件、补子空间、线性映射的指标； （3）掌握：正合列、指标的乘积公式；重点：正合列空间的维数交错和公式 难点：正合列的判定 第三章赋范线性空间(6学时)3.1 范数(2学时)（1）了解：各种具体的赋范线性空间比如, , 等及其各种具体的范数； （2）理解：范数的定义、度量空间的性质、范数的等价性、稠

5、密子集、闭包、Cauchy列、 完备空间、商空间的完备性； （3）掌握：Sobolev空间的定义、Hlder不等式；重点： 稠密子集、Cauchy列、完备空间难点： 商空间的完备性3.2 单位球的非紧性(2学时)（1）了解：闭单位球、严格次可加性、一致凸性、极小化序列； （2）理解：无穷维空间中的闭单位球非紧； （3）掌握：一致凸的应用；重点：无穷维空间中的闭单位球非紧难点：一致凸的应用3.3 等距(2学时)（1）了解：等距、置换的定义； （2）理解：等距与线性的关系； （3）掌握：等距的复合；重点：等距与线性的关系难点：等距与线性的关系第四章Hahn-Banach定理、共轭凸函数理论（6学时

6、）4.1 Hahn-Banach定理的解析形式(2学时)（1）了解：zorn引理，对偶范数； （2）理解：Hahn-Banach定理的解析形式，严格凸； （3）掌握：线性延拓；重点：Hahn-Banach定理的解析形式；难点：线性延拓；4.2 Hahn-Banach定理的几何形式(3学时)（1）理解：超平面，严格分离，凸集； （2）掌握：Hahn-Banach定理的第一、二几何形式；重点：Hahn-Banach定理的第一、二几何形式；难点：第一、二几何形式的应用，用于证明某子向量空间是稠密的。4.3 共轭凸函数理论简介(3学时)（1）了解：图像，下半连续，上包络； （2）理解：凸函数，共轭函数

7、，Fenchel-Moreau定理，Fenchel-Rockafellar定理（3）掌握：支撑函数，指标函数；重点：凸函数，共轭函数；难点：Fenchel-Moreau定理，Fenchel-Rockafellar定理。第五章Banach-Steinhaus定理和闭图像定理、正交关系、无界算子、共轭算子、满射算子（8学时）5.1 Baire引理(0.5学时)（1）理解：Baire引理轭证明； 5.2 Banach-Steinhaus定理(2学时)（1）了解：连续线性算子空间及其范数； （2）理解：Banach-Steinhaus定理(一致有界原理)； （3）掌握：Banach-Steinhaus

8、定理的应用；重点：Banach-Steinhaus定理的应用；难点：Banach-Steinhaus定理5.3 开映射定理和闭图像定理(2学时)（1）了解：连续线性算子空间及其范数； （2）理解：开映射定理，闭图像定理； （3）掌握：开映射定理和闭图像定理的应用；重点：开映射定理和闭图像定理的应用即从；难点：开映射定理，闭图像定理。5.4 拓扑余子空间，(左)右可逆算子(0.5学时)（1）了解：拓扑余子空间，投影算子，(左)右可逆算子及其性质； 5.5 直角关系(1学时)（1）理解：两闭子空间的和与闭子空间的拓扑余子的和的等价关系； 5.6 无界线性算子简介，共轭算子定义 (1学时)（1）了解

9、：无界线性算子，闭算子及其图、像集与和，稠密； （2）理解：闭算子的性质 难点：闭算子的性质。5.7 闭图像算子的刻画，满射算子，有界算子 (1学时)（1）理解：闭图像算子的值域的闭的等价性； （2）掌握：无界算子的运用及先验估计；重点：无界算子的运用；难点：先验估计。第六章弱拓扑、自反空间、可分空间、一致凸空间（8学时）6.1 使一族映射连续的最粗糙的拓扑(0.5学时)（1）了解：最粗糙的拓扑，子集类的构造，拓扑空间序列收敛的等价定义； 6.2 弱拓扑的定义和基本性质 (1学时)（1）了解：严格粗糙，不可度量化； （2）理解：弱拓扑，可分离性，弱收敛； （3）掌握：弱收敛与强收敛的有条件转化

10、；重点：弱收敛与强收敛的有条件转化；难点：可分离性。6.3 弱拓扑,凸集和线性算子 (1学时)（1）理解：弱闭的等价条件，弱拓扑上映射的连续性； （2）掌握：弱收敛与下半连续凸函数的关系；重点：弱闭的等价条件；6.4 弱*拓扑(1.5学时)（1）了解：典则嵌入，弱*拓扑及其运用； （2）理解：可分离性，弱*收敛与强收敛的有条件等价性； 6.5 自反空间(3学时)（1）理解：自反及其判定条件,Helly引理，Goldstine引理，可分性与可度量化的关系； （2）掌握：自反性的应用；重点：自反性的应用；难点：自反及其判定条件,Helly引理，Goldstine引理。6.6 一致凸空间(1学时)（

11、1）理解：一致凸，一致凸与自反性的关系； 第7章Lp空间（6学时）7.1积分理论回顾（1学时）（1）了解：-有限测度，Tonelli定理、Fubini定理；（2）理解：-代数，测度，可测函数与积分，Cc (n)在L1 (n)中的稠密性；（3）掌握：单调收敛定理、控制收敛定理、Fatou引理，；重点：三个积分收敛定理7.2 Lp空间定义与基本性质（2学时）（1）了解： Young不等式，Hlder不等式的推广形式；（2）理解：Lp空间定义，Lp空间为线性空间；（3）掌握：Hlder不等式，Lp空间的完备性；重点：Hlder不等式难点：Lp空间的完备性证明7.3 Lp空间的自反性、可分性、对偶空间

12、（3学时）（1）了解：Lp (n) (1p)的可分性，L在一般情况下不可分；（2）理解：Cc (n)在Lp (n) (1p)中的稠密性，L1、L在一般情况下非自反；（3）掌握：Lp空间(1p)的一致凸性、自反性，Lp空间为Lp空间(1p)的对偶、Riesz表示定理；重点：Lp空间为Lp空间(1p)的对偶、Riesz表示定理难点：L1、L在一般情况下非自反性的证明第8章 Hilbert空间（6学时）8.1内积、投影（2学时）（1）了解：一致凸Banach空间中的投影算子，投影算子的压缩性；（2）理解：L2空间与2空间作为Hilbert空间的例子；（3）掌握：内积定义、平行四边形法则，一点到闭凸集

13、的投影、正交投影；重点：平行四边形法则，正交投影算子；难点：到闭凸集的投影的存在性证明8.2 RieszFrchet表示定理（2学时）（1）掌握：RieszFrchet表示定理；重点：RieszFrchet表示定理；8.3 Stampacchia定理和LaxMilgram定理(2学时)（1）了解：二次型；（2）理解：coerciveness， Banach不动点定，Stampacchia定理；（3）掌握：LaxMilgram定理；重点：LaxMilgram定理；难点：Stampacchia定理的证明；8.4 可分Hilbert空间的正交完备基(选学内容，不占总学时)（1）了解：线性空间意义下的

14、基（Hamel基）；（2）理解：可分Hilbert空间，正交完备基定义；（3）掌握：正交完备基存在性、Bessel-Parseval等式， Gram-Schmidt正交化；重点：Bessel-Parseval等式；难点：Gram-Schmidt正交化过程，Hilbert空间的基与其线性空间意义下的基的区别；8.5 Hilbert空间上的有界算子(选学内容，不占总学时)（1）理解：投影算子，酉算子；（2）掌握：伴随算子、自伴算子，2空间上常见有界算子；8.6 谱论初步(选学内容，不占总学时)（1）了解：自伴紧算子的谱分解定理；（2）理解：紧算子，Fredholm择一定理；（3）掌握：紧算子的谱的结构；重点：紧算子的谱；难点：Fredholm择一定理的证明，紧算子