高中数学选择性必修一 第1章 1.1.2 空间向量的数量积运算

1、11.2空间向量的数量积运算学习目标1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题知识点一空间向量的夹角1定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b2范围：0a，b.特别地，当a，beq f(,2)时，ab.思考 当a，b0和a，b时，向量a与b有什么关系？答案当a，b0时，a与b同向；当a，b时，a与b反向知识点二空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cos a，b叫做a，b的数量积，

2、记作ab.即ab|a|b|cosa，b规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质abab0aaa2|a|2运算律(a)b(ab)，R. abba(交换律)a(bc)abac(分配律).思考1向量的数量积运算是否满足结合律？答案不满足结合律，(ab)ca(bc)是错误的思考2对于向量 a，b，若abk，能否写成aeq f(k,b)eq blc(rc)(avs4alco1(或bf(k,a)？答案不能，向量没有除法知识点三 向量a的投影1如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c|a|cosa

3、，beq f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)2如图(3)，向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，得到eq o(AB,sup6()，向量eq o(AB,sup6()称为向量a在平面上的投影向量这时，向量a，eq o(AB,sup6()的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角1向量eq o(AB,sup6()与eq o(CD,sup6()的夹角等于向量eq o(AB,sup6()与eq o(DC,sup6()的夹角()2若ab0，则a0或b0.()3对于非零向量b，由abbc，可得ac.()4

4、若非零向量a，b为共线且同向的向量，则ab|a|b|.()一、数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)eq o(EF,sup6()eq o(BA,sup6()；(2)eq o(EF,sup6()eq o(BD,sup6()；(3)eq o(EF,sup6()eq o(DC,sup6()；(4)eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6().解(1)eq o(EF,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(1,2)|eq o(BD,sup6()|e

5、q o(BA,sup6()|coseq o(BD,sup6()，eq o(BA,sup6()eq f(1,2)cos 60eq f(1,4).(2)eq o(EF,sup6()eq o(BD,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(BD,sup6()eq f(1,2)|eq o(BD,sup6()|2eq f(1,2).(3)eq o(EF,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)|eq o(BD,sup6()|eq o(DC,sup6()|coseq o(BD,sup6()

6、，eq o(DC,sup6()eq f(1,2)cos 120eq f(1,4).(4)eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AD,sup6()|coseq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|coseq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()cos

7、 60cos 600.反思感悟求空间向量数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入ab|a|b|cosa，b求解跟踪训练1(1) 已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则ab等于()A1 B2C3 D4答案A解析pq且|p|q|1，ab(3p2q)(pq)3p2pq2q23021.(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq o(AE,sup6()eq o(BD,sup6()_.答案2解析eq o(AE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DE,sup6()

8、eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，eq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(AE,sup6()eq o(BD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AD,sup6()f(1,2)o(AB,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()2 eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()240022.二、

9、利用数量积证明垂直问题例2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.证明设eq o(A1B1,sup6()a，eq o(A1D1,sup6()b，eq o(A1A,sup6()c，则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.eq o(A1O,sup6()eq o(A1A,sup6()eq o(AO,sup6()eq o(A1A,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()ceq f(1,2)aeq f(1,2)b，eq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,

10、sup6()ba，eq o(OG,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(CG,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(CC1,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)c，eq o(A1O,sup6()eq o(BD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(cf(1,2)af(1,2)b)(ba)cbcaeq f(1,2)abeq f(1,2)a2eq f(1,2)b2eq f(1,2)baeq f(1,2)(b2a2)eq f(1,2)(|b|2|a|2)0.于是

11、eq o(A1O,sup6()eq o(BD,sup6()，即A1OBD.同理可证eq o(A1O,sup6()eq o(OG,sup6()，即A1OOG.又OGBDO，OG平面GBD，BD平面GBD，A1O平面GBD.反思感悟用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可跟踪训练2如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.求证：PABD.证明在ADB中，DAB60，AB2

12、AD，由余弦定理得，BDeq r(3)AD，所以AD2BD2AB2，所以DABD，则eq o(BD,sup6()eq o(DA,sup6()0.由PD底面ABCD，知PDBD，则eq o(BD,sup6()eq o(PD,sup6()0.又eq o(PA,sup6()eq o(PD,sup6()eq o(DA,sup6()，所以eq o(PA,sup6()eq o(BD,sup6()(eq o(PD,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(PD,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(BD,sup6()0，即PABD.

13、三、用数量积求解夹角和模例3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，点N为AA1的中点(1)求eq o(BN,sup6()的模；(2)求coseq o(BA1,sup6()，eq o(CB1,sup6()的值解由已知得|eq o(CA,sup6()|eq o(CB,sup6()|1，|eq o(CC1,sup6()|eq o(AA1,sup6()|2，eq o(AN,sup6()eq f(1,2)eq o(AA1,sup6()eq f(1,2)eq o(CC1,sup6().eq o(CA,sup6()，eq o(CC1,sup6()eq o(CB,sup6(

14、)，eq o(CC1,sup6()eq o(CA,sup6()，eq o(CB,sup6()90，所以eq o(CA,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()0.(1)因为eq o(BN,sup6()eq o(CN,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AN,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(1,2)eq o(CC1,sup6()eq o(CB,sup6()，所以|eq o(BN,sup6()|2

15、eq o(BN,sup6()2eq blc(rc)(avs4alco1(o(CA,sup6()f(1,2)o(CC1,sup6()o(CB,sup6()2eq o(CA,sup6()2eq f(1,4)eq o(CC1,sup6()2eq o(CB,sup6()212eq f(1,4)22123，所以|eq o(BN,sup6()|eq r(|o(BN,sup6()|2)eq r(3).(2)因为eq o(BA1,sup6()eq o(CA1,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(CB,sup6()，eq o(CB1,sup

16、6()eq o(CB,sup6()eq o(CC1,sup6()，所以|eq o(BA1,sup6()|2eq o(BA1,sup6()2(eq o(CA,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(CB,sup6()2eq o(CA,sup6()2eq o(CC1,sup6()2eq o(CB,sup6()21222126，|eq o(BA1,sup6()|eq r(6)，|eq o(CB1,sup6()|2eq o(CB1,sup6()2(eq o(CB,sup6()eq o(CC1,sup6()2eq o(CB,sup6()2eq o(CC1,sup6()212225，|eq o

17、(CB1,sup6()|eq r(5)，eq o(BA1,sup6()eq o(CB1,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(CB,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(CC1,sup6()2eq o(CB,sup6()222 123，所以coseq o(BA1,sup6()，eq o(CB1,sup6()eq f(o(BA1,sup6()o(CB1,sup6(),|o(BA1,sup6()|o(CB1,sup6()|)eq f(3,r(6)r(5)eq f(r(30),10).延伸探究1(变结论)本例中条

18、件不变，求eq o(BN,sup6()与eq o(CB1,sup6()夹角的余弦值解由例题知，|eq o(BN,sup6()|eq r(3)，|eq o(CB1,sup6()|eq r(5)，eq o(BN,sup6()eq o(CB1,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(o(CA,sup6()f(1,2)o(CC1,sup6()o(CB,sup6()(eq o(CB,sup6()eq o(CC1,sup6()eq f(1,2)eq o(CC1,sup6()2eq o(CB,sup6()2eq f(1,2)22 121.所以coseq o(BN,sup6()，eq o(CB1

19、,sup6()eq f(o(BN,sup6()o(CB1,sup6(),|o(BN,sup6()|o(CB1,sup6()|)eq f(1,r(3)r(5)eq f(r(15),15).所以eq o(BN,sup6()与eq o(CB1,sup6()夹角的余弦值为eq f(r(15),15).2(变条件)本例中，若CACBAA11，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角解由已知得|eq o(CA,sup6()|eq o(CB,sup6()|eq o(CC1,sup6()|1，eq o(CA,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CC1,sup6()

20、eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()0，因为|eq o(CA1,sup6()|2eq o(CA1,sup6()2(eq o(CA,sup6()eq o(CC1,sup6()2eq o(CA,sup6()2eq o(CC1,sup6()212122，所以|eq o(CA1,sup6()|eq r(2)，因为|eq o(AB,sup6()|2eq o(AB,sup6()2(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()2eq o(CB,sup6()2eq o(CA,sup6()212122，所以|eq o(AB,sup6()|eq r(2)，又因为eq o(CA1,s

21、up6()eq o(AB,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(CC1,sup6()(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()21.所以coseq o(CA1,sup6()，eq o(AB,sup6()eq f(o(CA1,sup6()o(AB,sup6(),|o(CA1,sup6()|o(AB,sup6()|)eq f( 1,r(2)r(2)eq f(1,2).所以eq o(CA1,sup6()，eq o(AB,sup6()120，所以异面直线CA1与AB的夹角为60.反思感悟求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角：利用公式cosa，

22、beq f(ab,|a|b|)求cosa，b，进而确定a，b(2)求线段长度(距离)：取此线段对应的向量； 用其他已知夹角和模的向量表示该向量；利用|a|eq r(a2)，计算出|a|，即得所求长度(距离)跟踪训练3(1)已知正方体ABCDABCD的棱长为1，设eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，eq o(AA,sup6()c，则eq o(AB,sup6()，eq o(BD,sup6()等于()A30 B60C90 D120答案D(2)已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1ABAD1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60，则AC1的长为()A6 B.eq r

23、(6)C3 D.eq r(3)答案B解析设eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，eq o(AA1,sup6()c，则|a|b|c|1，且a，bb，cc，a60，因此abbccaeq f(1,2).由eq o(AC1,sup6()abc得|eq o(AC1,sup6()|2eq o(AC1,sup6()2a2b2c22ab2bc2ca6.所以|eq o(AC1,sup6()|eq r(6)，故选B.1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45的是()A.eq o(AB,sup6()与eq o(A1C1,sup6()B.eq o(AB,sup

24、6()与eq o(C1A1,sup6()C.eq o(AB,sup6()与eq o(A1D1,sup6()D.eq o(AB,sup6()与eq o(B1A1,sup6()答案A2设ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有()A.eq o(AB,sup6()eq o(C1A,sup6()a2 B.eq o(AB,sup6()eq o(A1C1,sup6()eq r(2)a2C.eq o(BC,sup6()eq o(A1C,sup6()a2 D.eq o(AB,sup6()eq o(C1A1,sup6()a2答案C3已知空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOCeq f(,3)，则co

25、seq o(OA,sup6()，eq o(BC,sup6()的值为()A.eq f(1,2) B.eq f(r(2),2) Ceq f(1,2) D0答案D解析eq o(OA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(OA,sup6()(eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()|eq o(OA,sup6()|eq o(OC,sup6()|cosAOC|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|cosAOBeq f(1,2)|eq o(OA,s

26、up6()|eq o(OC,sup6()|eq f(1,2)|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|0，所以eq o(OA,sup6()eq o(BC,sup6().所以coseq o(OA,sup6()，eq o(BC,sup6()0.4若a，b，c为空间两两夹角都是60的三个单位向量，则|ab2c|_.答案eq r(5)解析|ab2c|2(ab2c)2a2b24c22ab4ac4bc5.|ab2c|eq r(5).5.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ADAA11，AB2，P是C1D1的中点，则eq o(B1C,sup6()与eq o(A1P,sup6()所

27、成角的大小为_，eq o(B1C,sup6()eq o(A1P,sup6()_.答案601解析方法一连接A1D(图略)，则PA1D就是eq o(B1C,sup6()与eq o(A1P,sup6()所成角，连接PD，在PA1D中，易得PA1DA1PDeq r(2)，即PA1D为等边三角形，从而PA1D60，即eq o(B1C,sup6()与eq o(A1P,sup6()所成角的大小为60，因此eq o(B1C,sup6()eq o(A1P,sup6()eq r(2)eq r(2)cos 601.方法二根据向量的线性运算可得eq o(B1C,sup6()eq o(A1P,sup6()(eq o(A

28、1A,sup6()eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(o(AD,sup6()f(1,2)o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()21.由题意可得PA1B1Ceq r(2)，则eq r(2)eq r(2)coseq o(B1C,sup6()，eq o(A1P,sup6()1，从而eq o(B1C,sup6()，eq o(A1P,sup6()60.1知识清单： (1)空间向量的夹角、投影(2)空间向量数量积、性质及运算律2方法归纳：化归转化3常见误区：空间向量的数量积的三点注意(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定(2)当a0，由ab0可得ab或b0.1已

29、知向量a和b的夹角为120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a等于()A12 B8eq r(13)C4 D13答案D解析(2ab)a2a2ba2|a|2|a|b|cos 1202425eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)13.2已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|b|1，abeq f(1,2)，则两直线的夹角为()A30 B60C120 D150答案B解析设向量a，b的夹角为，则cos eq f(ab,|a|b|)eq f(1,2)，所以120，则两个方向向量对应的直线的夹角为18012060.3已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e

30、2，ab，则实数k的值为()A6 B6 C3 D3答案B解析由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，所以(2e13e2)(ke14e2)0，所以2k120，所以k6.4已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()的值为()Aa2 B.eq f(1,2)a2 C.eq f(1,4)a2 D.eq f(r(3),4)a2答案C解析eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,

31、sup6()eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(aaf(1,2)aaf(1,2)eq f(1,4)a2.5已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.eq o(PC,sup6()与eq o(BD,sup6() B.eq o(DA,sup6()与eq o(PB,sup6()C.eq o(PD,sup6()与eq o(AB,sup6() D.eq o(PA,sup6()

32、与eq o(CD,sup6()答案A解析可用排除法因为PA平面ABCD，所以PACD，eq o(PA,sup6()eq o(CD,sup6()0，排除D.又由ADAB，ADPA可得AD平面PAB，所以ADPB，所以eq o(DA,sup6()eq o(PB,sup6()0，同理eq o(PD,sup6()eq o(AB,sup6()0，排除B，C，故选A.6已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_.答案22解析|ab|2a22abb21322ab192242，2ab46，|ab|2a22abb253046484，故|ab|22.7已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，

33、则a，b_.答案60解析由条件知(a3b)(7a5b)7|a|215|b|216ab0，(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0，两式相减得46ab23|b|2，所以abeq f(1,2)|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|b|，所以cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(f(1,2)|b|2,|b|2)eq f(1,2)，所以a，b60.8如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则eq o(AO,sup6()，eq o(OC,sup6()_，eq o(AO,sup6()，eq o(O1C1,sup6()_，eq

34、o(OO1,sup6()，eq o(A1B1,sup6()_.答案0090解析由题意得eq o(AO,sup6()，eq o(OC,sup6()方向相同，是在同一条直线AC上，故eq o(AO,sup6()，eq o(OC,sup6()0；eq o(O1C1,sup6()可平移到直线AC上，与eq o(OC,sup6()方向相同，故eq o(AO,sup6()，eq o(O1C1,sup6()0；由题意知OO1是正四棱台ABCDA1B1C1D1的高，故OO1平面A1B1C1D1，所以OO1A1B1，故eq o(OO1,sup6()，eq o(A1B1,sup6()90.9.如图所示，在正方体A

35、BCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角解不妨设正方体的棱长为1，设eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，eq o(AA1,sup6()c，则|a|b|c|1，abbcca0，eq o(A1B,sup6()ac，eq o(AC,sup6()ab.eq o(A1B,sup6()eq o(AC,sup6()(ac)(ab)|a|2abacbc1，而|eq o(A1B,sup6()|eq o(AC,sup6()|eq r(2)，coseq o(A1B,sup6()，eq o(AC,sup6()eq f(o(A1B,sup6()o(AC,sup6(),|o(A

36、1B,sup6()|o(AC,sup6()|)eq f(1,r(2)r(2)eq f(1,2)，0eq o(A1B,sup6()，eq o(AC,sup6()180，eq o(A1B,sup6()，eq o(AC,sup6()60.异面直线A1B与AC所成的角为60.10.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BDPC；(2)求|eq o(AC,sup6()eq o(PC,sup6()|的值(1)证明eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()，eq o(BD,sup6()eq o(PC,sup6()(eq o(BC,sup6()eq

37、 o(CD,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(PC,sup6()|eq o(BC,sup6()|eq o(PC,sup6()|cos 60|eq o(CD,sup6()|eq o(PC,sup6()|cos 120eq f(1,2)a2eq f(1,2)a20.eq o(BD,sup6()eq o(PC,sup6()，BDPC.(2)解eq o(AC,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(PC,sup6()，|eq o(AC,s

38、up6()eq o(PC,sup6()|2|eq o(AB,sup6()|2|eq o(BC,sup6()|2|eq o(PC,sup6()|22eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()2eq o(AB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(BC,sup6()eq o(PC,sup6()a2a2a202a2cos 602a2cos 605a2，|eq o(AC,sup6()eq o(PC,sup6()|eq r(5)a.11设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()2eq o(DA,sup6()(eq o(

39、AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案B解析因为eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()2eq o(DA,sup6()(eq o(DB,sup6()eq o(DA,sup6()(eq o(DC,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|2|eq o(AC,sup6()|20，所以|eq o

40、(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|，即ABC是等腰三角形12已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是()A30 B45 C60 D90答案C解析eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DB,sup6()，eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(CD,sup6()2eq o(DB

41、,sup6()eq o(CD,sup6()01201，又|eq o(AB,sup6()|2，|eq o(CD,sup6()|1.coseq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6()eq f(o(AB,sup6()o(CD,sup6(),|o(AB,sup6()|o(CD,sup6()|)eq f(1,21)eq f(1,2).异面直线所成的角是锐角或直角，a与b所成的角是60.13已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为()A13 B5 C5 D13答案A解析abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbccaeq f(321242,2)13.14. 已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq o(AO1,sup6()eq o(AC,sup6()的值为_答案1解析由于eq o(AO1,sup6()eq o(AA1,sup6()eq o(A1O1,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(1,2)(eq o(A1B1,sup6()eq o(A1D1,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，而eq o