动量传输的微分方程

1、动量传输的微分方程第1页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.1描述流体运动（或流场运动）的两种方法场的概念：1.流场：流体质点运动的全部空间。2.流场分类： 通道流场（径流流场）：径直流动过程中没有遇到障碍物的流场. 绕流流场：遇到障碍物，流体要分流绕流的流场3.运动参量：指用以表示流体运动特征的一切物理量。 第2页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 1.定常流动和非定常流动 流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。 2.一维、二维、三维流动 在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为

2、一维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐标，则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。 3.按流场中是否存在旋转分为： 有旋运动和无旋运动一维流动：A=f(x,t)二维流动：A=f(x,y,t)三维流动：A=f(x,y,z,t)2.1.2 流动的分类：第3页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二4.层流与湍流2. 雷诺数1. 经典实验雷诺实验(1883)哈根实验(1839)林格伦实验(1957)V 流速，d 特征长度，、 流体密度、粘度圆管临界雷诺数流场显示 阻力测量 热线测速第4页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二5.内流与

3、外流管道流（不可压缩流体）喷管流（可压缩流体）明渠流流体机械内流粘性边界层外部势流外流按流场是否被固体边界包围分类第5页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 6.常用的流动分析方法质量守恒定律动量定律（牛顿第二定律）能量守恒定律（热力学第一定律）基本的物理定律系统与控制体分析法微分与积分分析法量纲分析法基本的分析方法第6页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.1.3 描述流体质点运动的两种方法1、拉格朗日法：（拉氏法，质点法，Lagrange法） 着眼于流体质点，以各个运动着的流体质点作为研究对象，跟踪观察流体质点的运动轨迹，以及运动参量随时间的变

4、化，综合流场中所有的流体质点以弄清全部流场的情况。 为区别各个流体质点，取初始位置a , b, c（拉格朗日变数）作为各个质点的标识。运动方程：经dt后运动轨迹（不同时刻某一固定质点的运动轨迹）x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)第7页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二同理：如固定t ，可得到不同流体质点在空间的位置分布 速度：加速度：第8页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二全部流场情况： （1）对于某个确定的流体质点，a,b,c为常数，而t是变量时，得到某一质点在不同时刻的运动规律； （2）对于某个确定时刻，

5、t为常数，a,b,c为变量时，得到某一时刻不同流体质点的运动规律。该法特点： 流场中跟踪某一个质点来测量某个参量是极其困难的 速度为偏微分量，很少采用第9页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二第10页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2欧拉法（Euler法)着眼于充满运动流体的空间，以流场中无数个固定的空间点为研究对象，寻求流体质点通过这些空间点时，运动参量随时间变化规律而不关心个别质点的行为。例如在气象观测中广泛使用欧拉法。欧拉法应用什么物理量来表征空间点上流体运动状态变化呢？ 因不同时刻将有不同的流体质点经过空间的某一固定点，所以站在固定点上就

6、无法观测流体质点的位置随时间的变化，从而用位置随时间的变化去描述流场是不可行的， 但是不同时刻流体指点经过空间某一固定点的速度则是可以观测的，所以欧拉法中不选择位置而是以速度作为描述流体在空间变化的变量，研究其在空间的分布。 实际研究问题时，区分清楚哪个质点处于哪个空间点上对多数问题是没有任何意义的，只要稿清楚在某一时刻流体在其存在区域内各个空间点上的速度分布就行了。 第11页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二具体如下：一流体质点在t1时刻过某一空间点有一运动参量，另一质点在t2时刻过同一空间点有另一运动参量，可见对流场中某个任意固定空间点，运动参量是随t 发生变化，统

7、计流场中所有固定空间点时，则全部流场中的运动参量是空间坐标和时间的函数 A(x,y,z,t)全部流场情况：如 (x,y,z,t)1）当x,y,z不变时，改变t时表示空间某固定点的速度随时间的变化规律2）当t不变，x,y,z改变时，说明某一时刻，各个空间固定点上的速度分布规律。比较一下拉氏法V(a,b,c,t)表示同一质点V随t变化情况。 第12页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二速度分解为 (x,y,z,t) (x,y,z,t) (x,y,z,t) 加速度：速度对时间的全导数 两个固定空间点速度不同，反映出流体质点通过时参量发生变化，故产生了加速度变化。第13页，共11

8、4页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 第14页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二总加速度包括：位变加速度：流体质点通过两个不同空间点时，速度发生变化产生的加速度，由于流场不均匀而造成的。时变加速度：流体质点通过某一固定点时，速度随时间变化而产生的的加速度，由于流场的不稳定而造成的。综合：任一个参量A=A（x,y,z,t）其中 （哈密顿算子） 是具有微分性与矢量性的双重性质 第15页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二稳定流动的流场中的任意点的流动参量不随t改变，但不同点的流动参量可以是不同的，非稳定流动的流场中流动参量不但可以随位置不

9、同而变，而且随时间不同也在改变，欧拉法比拉格朗日法研究流体力学较优越： 利用欧拉法得到的是场，便于用场论这一数学工具来研究， 利用欧拉法得到的加速度是一阶导数，而拉格朗日法得到的是二阶导数，在数学上求解容易些， 工程上并不关心每一质点的来龙去脉。第16页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.2.1 流线和迹线研究目的： 除去研究流体质点的流动参量随时间变化外，为使整个流场形象化，从而得到不同流场的运动特征 同一瞬时不同质点流动参量关系流线研究法 同一质点在不同时间流动参量关系迹线研究法迹线：是流体质点在一段时间内的运动轨迹。说明： 是由拉氏法得到的空间中的一条曲线迹线是

10、无数个曲线簇迹线与流体质点有关，与时间无关如将不易扩散的染料滴入水流中，能见到染了色的流体质点的运动轨迹 2.2 流体运动的基本概念第17页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 流线:是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。2 流线的微分方程： 由流线定义可推出空间点的速度与流线相切。 第18页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 （t为参考量，为一定数） 说明：速度分量与微元弧段坐标分量间的一一对应关系。or 第19页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 即： 3 说明： 流线上各点的流速与流线

11、相切 通过空间的某一点同一时刻只有一条流线 流线形状与时间有关（稳态流场中无关） 流线密集处，流速较大流线与迹线的联系： 二者都是空间流场中的曲线蔟，均与流体运 动有关 稳定流动时，流线与迹线相重合，流线形状不变 只有在滞点（驻点）处速度为0，奇点速度为无穷大时，可以相交。第20页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二第21页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二稳定流动非稳定流动第22页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二4.迹线的微分方程 当以欧拉法表示流体运动物性时，可用欧拉法与拉氏法相互转换求出描述迹线的方程式。如一流场的欧

12、拉表达式为： 第23页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二例题已知有一流场，其欧拉表达式为：Vx=x+t vy= -y+t vz=0（t为自变量）迹线微分方程式则第24页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二由流线微分方程：两边积分： 求此流场的流线方程式及t=0时过M(-1,-1)点的流线和迹线。第25页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二整理： 讨论：）取流场中任一点A（1，2，3）t=1时，C=2，B=3流线方程式为：第26页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二） t=1.5时，流线方程为（x+1.5）

13、（-y+1.5）=1.25z=3 ）当t=1时，过另一空间点A(1,1.5,3)时 C=1，B=3 流线方程：说明：同一时刻不同空间点的流线不同。说明：不同时刻通过同一点流线不同。第27页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二当t=0时，x=-1,y=-1代入C=-1过M（-1，-1）点流线方程为xy=1的双曲线迹线方程： x，y随t变化规律第28页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二当t=0,x=-1,y=-1代入过M（-1，-1）点的迹线方程为：讨 论：本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出指

14、定流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。第29页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二思考题 研究流体运动的拉格朗日法和欧拉法的实质是什么？在欧拉法中加速度的表达式是什么？何谓时变加速度和位变加速度？何谓流线、迹线、一维流动、二维、三维流动、稳定流动？非稳定流动？流线和迹线有何区别和联系？第30页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.2.2 流管、流束和流量研究目的：流线只能表示流场中质点的流动参量，但不能表明流过的数量，故引入流管、流束和流量的概念。第31页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二1、 流管定

15、义：在流场中取任意封闭曲线，通过曲线上各点作流线，所组成的管状表面。说明： 流管是由流线组成的； （流管上任取一条线，此线上任取一点，通过此点的流体质点速度方向与流线相切） 象刚体的管壁，限制流体运动在管内或管外。第32页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2 、流束和微小流束引入意义：有了流束概念就可以计算流量，因为在微小流束有效截面中流线的流动参量相同。流束：过流管横截面上各点作流线，得到充满流管的一束流线簇，称为流束。微小流束：断面无穷小（dA）的流束称为微小流束。说明：dA任何点处运动参量是不变的；当dA0时，微小流束流线流管边界以内的全部流体（如管道或渠道中流体

16、）称为总流。第33页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二3、有效截面、流量；平均流速有效截面：流体是在流束中沿着无数个流线流动的，与流体流动相垂直的表面叫有效截面。说明：与流线（束）全部垂直的横截面；可以是平面、曲面第34页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二流量：单位时间通过有效截面的流体数量称作流量。表示为：单位时间内通过有效截面的体积流量： 单位时间内通过有效截面的质量流量： 单位时间内通过有效截面的重量流量：式中V有效截面上各点真实流速。第35页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二平均流速： 引入原因：即：通过任一截面上

17、是不均匀的，用 代替截面上不均匀的速度分布，但有一条件：意义： 反映了流道中各微小流 束的流速是有差别的 第36页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二思考题 何谓流管、流束、有效截面及流量？平均流速引入的条件及意义？系统和控制体各有何特点？研究问题时有何不同？连续性方程的积分形式及简化形式。第37页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.3 流体运动的连续性方程 首先介绍一下系统和控制体的概念： 系统和控制体是流体力学中研究解决问题提出来的，二者既有联系又有区别。系统：是一团流体质点的集合，在运动中系统的形状和位置可以不断变化，而它所包含的流体质点却

18、始终不变，系统是与拉氏法相联系的。第38页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二控制体：是指流场中的某一确定空间区域，其周界即为控制面，我们常选六面体作为控制体，六个面即为控制面。 特点是：控制体一经选定，他们形状和位置都不再变化，而其内部所包含的流体质点一般是变化的，是与欧拉法相联系的概念。二者在研究问题时有何不同： 系统：内部流体质点不变，故无法与外界进行质量交换，即有能量与动量交换也仅限于系统边界。 控制体：可以有质量流进流出，进行与外界的质量，能量，动量的传递。且可引起控制体内动量、能量及质量的变化。第39页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二

19、2.3.1 直角坐标系下的连续性微分方程式 1.连续性微分方程定义： 描述流体微团（或系统）质量守蘅性质的方程，可表达成代数，积分和微分形式；理论依据：质量守蘅数学描述：描述流体质量不变关系式有两种可能 稳定流动时： 单位时间流入质量=单位时间流出质量 非稳定流动时： 单位时间流出的质量-单位时间流入的质量+单位时间质量的累积or增量=0第40页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，2.公式推导：（1）单位时间内流入、流出

20、微元体流体总质量变化第41页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 ,液体密度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为 第42页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以单位时间内沿x轴方向流入控制体的质量为流出控制体的质量为于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为第43页，共114

21、页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质量差为 和 故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：第44页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二控制体内质量变化：因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：单位时间内，微元体质量增量： （微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积） 第45页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二根据连续性条件：矢量形式：其中：三维连续性微分方程 （哈密算子）第46页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二3.公式说明：适用于不可

22、压缩和可压缩流体 理想和实际流体 稳态及非稳态流动对不可压缩性流体：or 说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。 or流入体积流量与流出体积流量相等。判断流场是否存在（条件 =const） 存在，否则不存在。第47页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二稳定流动：所有流体物性参数均不随时间而变，若为平面流动：一维稳态流动的连续性方程无法用微分形式表示。第48页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二思考题 推导连续性方程的理论依据是什么？如何描述？ 连续性方程有几种形式？各适用条件？ 连续性方程的应用：判断流场是否连续（存在）？已知可求已知可求已知可求第4

23、9页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 2.3.2 一维不可压缩流体定常总流连续性方程 如图，从总流中任取一段，进、出口断面的面积分别为A1、A2，在从总流中任取一个元流，其进、出口断面的面积和流速分别为dA1、v1；dA2、v2。根据质量守恒原理，单位时间内从dA1流进的流体质量等于从dA2流出的流体质量，即 对于不可压缩均质流体， 。上式变为 总流是流场中所有元流的总和，所以由上式可写出总流 连续性方程第50页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二公式说明： 适用条件：定常流动，可压缩和不可压缩流体不可压缩流体： =const （不仅质量流量守恒

24、，且体积流量守恒）（d则） 沿途有分支时（一维流体且不可压缩）应用最多的是微分形式的连续性方程，三维可转成二维，但不能转为一维。一元流动积分形式连续性方程针对管道中流动的情况。第51页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二例题 一液压系统中有两个串联油缸，工作流量为Q，活塞面积分别为A1，A2。求两个活塞的运动速度比。解：液压油可视为不可压缩流体，由一元流动连续性方程得到V1=Q/A1V2=Q/A2故V2=A1/A2V1分析：使V2产生变化的措施有哪些？第52页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二思考题 推导连续性方程的理论依据是什么？如何描述？连续性

25、方程有几种形式？各适用条件？连续性方程的应用：判断流场是否连续（存在）？已知可求已知可求已知可求第53页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二例题1 不可压缩流体的速度分布为:vx=3(x+y3) vy=4y+z2 vz=x+y+2z 试分析该流动是否连续?解:不满足连续方程 流动不存在.第54页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二例题2 可压缩流体流场可用下式描述： 试计算t=0时，点（3，2，2）处密度的时间变化率。 解: 第55页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二当t=0,x=3,y=2,z=2处:第56页，共114页，2

26、022年，5月20日，16点22分，星期二例题3 有一个三维不可压缩流场，已知其x方向和y方向的分速度分别为，求其z方向的分速度的表达式。 解： 不可压缩的流体的连续性方程为 由已知条件 第57页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二将其代入连续方程，得 积分常数可以是常数，也可以是x,y的函数。可以满足本题所要求的。 表达式有无穷多个。取最简单的情况，即C（x,y）=0,则积分后，得 第58页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.4 三维理想流体的运动方程-欧拉运动微分方程理想流体运动微分方程：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建立了理想流体

27、的密度、速度、压力与外力之间的关系。1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速与其所受到外力间的关系式即是运动方程。第59页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二1.推导过程：取微小六面控制体牛顿第二定律or动量定理：推导依据：即作用力之合力=动量随时间的变化速率 第60页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二分析受力：质量力： 单位质量力： X方向上所受质量力为： 表面力： 因是理想流体，没有粘性， 表面力只有压力。 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：X方向上质点所受表面力合力：第61页，共114页，2022年，5月20日，1

28、6点22分，星期二流体质点加速度 的计算方法： （即流速是坐标和时间的函数）流速的全导数应是：当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时间变化特性迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区域而表现出的速度变化率。第62页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二流体质点加速度 在三个坐标轴上的分量表示成：第63页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二代入牛顿第二定律求得运动方程：得x方向上的运动微分方程： 单位体积流体的运动微分方程：单位质量流体的运动微分方程：第64页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星

29、期二同理可得y,z方向上的：第65页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二向量形式： 式中： 理想流体欧拉运动微分方程 第66页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二说明：适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体当流体处于平衡静止状态时， 方程变成欧拉平衡方程式 通常 已知，不可压缩流体 可压缩流体要加上流体状态方程未知数有及P四个方程有：连续性方程 三个方向的动量方程 流体的状态方程第67页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二例题1 设有一不可压缩的理想流体的稳定流,其流线方程为:x2-y2=c.求:其加速度a的大小。 当质量

30、力可忽略时,求此情况下的压力分布方程式解: 流线方程:x2-y2=c. 为二维理想稳态流体已知流线微分方程形式: x2-y2=c 两边同时微分2xdx-2ydy=0 vx=2y vy=2x 对于稳定流:第68页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二第69页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二根据理想流体运动微分方程:忽略质量力,二维流:第70页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.5 实际流体运动方程纳维斯托克斯方程（N-S方程）理想流体：无粘性故没有切向力；法向力只有压力，作用在流体内法线方向。实际流体：因有粘性，故有切向力，

31、用 表示；法向力：不仅是理想流体的表面力且还有由于剪切变形的附加法向力，用 表示；拉力取正，压力取负，与弹性理论一致。第71页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二14 三维不可压缩粘性流体流动微分方程 又称Navierstokes方程 （NS）第72页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二写成矢量形式：式中： 拉普拉斯算子 惯性力=质量力+压力+粘性力1.公式适用条件： 不可压缩流体；第73页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二黏度 不变；（气体当 受T影响小时可适用）层流2.NS方程应用：方程未知数四个方程可求。 （1） =0时

32、，NS方程理想Euler方程。 （2）静止状态：欧拉方程欧拉平衡方程；第74页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二初始条件、边界条件：初始条件：在求解流场问题时确定的某一初始 时刻流场中流体流动的条件。 边界条件：在求解流场问题时确定的流场边界处 流体流动的条件。 静止固壁：黏附条件 运动固壁：原则上NS可解，但因高阶非线性偏微分方程数学上遇到很大困难，目前求解稳态层流且边界条件很简单的例子。第75页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二NS方程物理意义：就是流体微团的动量变化率等于作用在流体微团上的合力（牛顿第二定律）一般形式： 第76页，共114页

33、，2022年，5月20日，16点22分，星期二思考题： 1.NS方程有什么物理意义？方程中哪些是惯性力项，质量力项，表面力项，和粘性力项？哪些项是线性的？哪些项是非线性的？2.NS方程、欧拉方程有何不同？第77页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.6 伯努利方程 (Bernoulli)2.6.1 理想流体稳定流动的伯努利微分方程由理想流体欧拉运动微分方程是稳定流动，vx,vy,vz，p都只是坐标函数，与时间无关，方程转换去除t项伯努利（D.Bernouli 17001782）方程的提出和意义第78页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二公式变换去除

34、t：公式右侧变换为：流体质量力只有重力：fx=fy=0, fz=-g简化欧拉方程：第79页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二欧拉方程简化形式：第80页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二各项分别乘 dx , dy ,dz 得 ：第81页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二说明： 伯努利方程是能量方程式，因推导中曾对欧拉方程中以力为单位的各项乘以长度dx , dy ,dz，所以伯努利方程式说明能量守衡概念。上式三项加得： 因流体质点在空间任意方向上速度与各方向分速度间：存在： 第82页，共114页，2022年，5月20日，16点

35、22分，星期二微分后： 简化后： Or 伯努利方程微分形式。 说明： 流体质点在微小控制体dxdydz范围内，沿任意方向流线流动时的能量平衡关系式。第83页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二适用范围：理想流体、稳定流体、质量力只有重力且在微小控制体dxdydz范围内沿某一根流线；物理意义：揭示了沿某一根流线运动着的流体质点速度，位移和压强、密度四者之间的微分关系。 说明：第84页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.6.2 伯努利方程积分形式 1.沿流线的积分方程： 设： Or 理想流体微元流束的伯努利方程。 第85页，共114页，2022年，5

36、月20日，16点22分，星期二适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定流动、质量力只有重力，且沿某一根流线； 任选一根流线上的两点：说明： （流线变化了则C值变化） 静止流体：静止容器内任一点的z 与 P/r 之和为常数。 静力学方程第86页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.物理意义及几何意义：z : 单位重量流体所具有的位能NM/N ；（可以看成mgz/mg）P/r : 单位重量流体所具有的压力能； 物理意义：单位重量流体所具有的动能； 三者之和为单位重量流体具有的机械能。理解：质量为m微团以v运动，具有mv2/2动能，若用重量mg除之得v2/2g第87页，共11

37、4页，2022年，5月20日，16点22分，星期二理想、不可压缩流体在重力场中作稳定流动时，沿流线or无旋流场中流束运动时，单位重量流体的位能，压力能和动能之和是常数，即机械能是守恒的，且它们之间可以相互转换 。物理意义：几何意义：z ：单位重量流体的位置水头； （距离某一基准面的高度）P/r : 单位重量流体的压力水头，或静压头； （具有的压力势能与一段液柱高度相当）: 单位重量流体具有的动压头or速度水头,速度压头。物理中：质量为m以速度v垂直向上抛能达到的最高高度为v2/2g三者之和为单位重量流体的总水头。第88页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二理想、不可压缩流

38、体在重力场中作稳态流动时，沿一根流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。几何意义：第89页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二注：由连续性方程 空泡现象： Z对于流体在水平管道中流动，位置差对流动影响不大 。当 p 对流体而言，当P Pv（饱和蒸汽压）时，则流体要蒸发生成气泡，即空泡现象，则伯努利方程不再适用。应用：可求管道中流动的最大流速能达到多少？第90页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.6.3 伯努利方程的应用 可求解流动中的流体v、P及过某一截面的流量；以伯努利方程为原理测量流量的装置。1.皮托管（毕托管）：测量流场中某一点流

39、速的仪器。皮托曾用一两端开口弯成直角的玻璃管测塞那河道中任一点流速。第91页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二A点为驻点总压皮托管：B点：A点前选一点不受玻璃管干扰的点；A-B认为是一条流线。列沿流线AB上两点的伯努利方程：zA=zB=0PB总=PA=r(H0+h) PB=rH0总压静压动压第92页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二 在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。皮托静压管第93页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二列1、2两点的伯努利方程： 第94页，共114页，2022年，5月20日，16点2

40、2分，星期二欲求，须求层流： ， 紊流：2.文丘里管流量计结构：包括收缩段，喉部及扩张段1、2点分别与U型管压差计相连。原理：两端分别与管道相联接第95页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二列1、2两点沿流线的伯努利方程其中：第96页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二真实流量修正系数 （因实际有粘性，流量测量值与实际值有偏差）第97页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.7 粘性流体总流的伯努利方程实际流体因存在粘性，在流动中产生阻力，伯努利方程中应有 项。而 计算与流体流动状态有关，即层流、紊流。故对圆管中层流、紊流的速度

41、分布进行分析，进而讨论阻力计算。第98页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二复习：理想流体在重力场中沿某一根流线作稳定流动的微分形式：注：对一微元体而言，流体 指该点上的值，该式可用于压缩流体及不可压缩流体。 积分形式：注：该式描述流体在流场中由一处运动到另一处时各种能量间关系，假设 =const，只适用于不可压缩稳定有势流动情况。 以上两式是对稳定条件下的理想流体而言 第99页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.7.1 粘性流体沿微元流束的伯努利方程复习：理想流体微元流束的伯努利方程： 故写成 实际流体单位时间通过单位重量微元流束的伯努利方程

42、粘性流体微元流束的伯努利方程：第100页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二2.7.2 粘性流体总流的伯努利方程总流：管内充满着运动着的全部流体，认为是由 无数个微小流束所组成的，称为总流。工程实际中，管道中由流线1点2点能量变化没有意义，关心的是由11截面22截面过程中能量的变化情况，需在微元流束伯努利方程基础上导出。1缓变流及其特性：定义：流线间的夹角很小，流线的曲率半径很大的近乎平行直线的流动，称为缓变流。第101页，共114页，2022年，5月20日，16点22分，星期二直管道中流体的流动；流线间夹角很小；曲率半径为无穷大。 由于缓变流曲率很小，引起的离心惯性力很小，所以缓变流体积力只有重力。平行流线在其垂直截面上任一点的z+P/r=C (对于稳定的缓变流) 即管道内任一点压力各个方向都相同，便于测量 。缓