动量及动量守恒定律

1、动量及动量守恒定律第1页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二研究气体中分子的运动，星云中许多恒星的运动,这种情况下,即使知道力的表达式,要解决1气体中分子也需要进行个变量进行计算，实际上是无法进行的。解决的方法：(1)设法了解过程引起变化的总效果，讨论 的积分形式及物理意义(2)运用统计的方法(2)如果研究对象是多粒子系统：第2页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二一、质点的动量定理:、微分形式：称为合力的元冲量，用 表示；质点动量的微分等于作用在质点上合力的元冲量。说明质点动量的变化，只有在冲量的作用下才有可能。由可得：第3页，共79页，2022年，5

2、月20日，16点23分，星期二、积分形式： 在某段时间内质点动量的增量，等于作用在质点上的合力在同一时间内的冲量质点的动量定理力 在时间 内的积累，称为力的冲量，用表示。第4页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二若用力表示 时间内合力的平均值,动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力打击或碰撞，力 的方向保持不变，曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力 的冲量的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。第5页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二说明（）是矢量（）是过程量（3） 是力对时间的积累效应 （4）分量形式第6页，共79页，2022年，5月2

3、0日，16点23分，星期二动量定理(5)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其适用范围是惯性系。(6)动量定理在处理变质量问题时很方便。例1、质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s， (2)=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。h解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：第7页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二动量定理h解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。初状态动量为：末状态动量为0得到：解得：第8页，共79页，2

4、022年，5月20日，16点23分，星期二动量定理代入M、h、的值，求得：()(2)第9页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二动量定理解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。重力作用时间为支持力的作用时间为根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即得到相同的结果h第10页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二0.10.010.0010.00016.5565505500在许多打击或碰撞类问题中,只要持续的时间较短,可略去重力。第11页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二例：一物体受合力为 （SI），做直线运动，试问在第二个

5、5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？解：设物体沿+x方向运动，做直线运动，（沿方向） NSNS （沿 方向） 第12页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二 例 一质量为0.05kg、速率为10ms-1的刚球,以与钢板法线呈45角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来 .设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力 .解 建立如图坐标系, 由动量定理得方向沿 轴反向第13页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二二、质点系的动量定理1、基本概念：（1）质点系N个质点组成的系统- 研究对象质点系（2）内力系统内部各质点间

6、的相互作用力 特点： 成对出现； 大小相等方向相反结论：质点系的内力之和为零第14页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二质点系2、由两个质点所组成的质点系的动量定理（3）外力 系统外部对质点系内部质点的作用力质点系因为内力 ，故第15页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二质点系合外力的冲量等于两质点动量和的增量3、多个质点组成的质点系的动量定理物理意义：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。第16页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二质点系内力的冲量不能影响质点系的总动量，而只能改变质点系总动量在质点系内各质点间的分配质点系的总

7、动量的变化只与质点系所受的外力的矢量和有关，与内力的冲量无关。初始速度则推开后速度 且方向相反 则推开前后系统动量不变第17页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二质点系的动量定理处理变质量的问题非常方便变质量问题（低速，v c）有两类：粘附 主体的质量增加（如滚雪球）抛射 主体的质量减少（如火箭发射）还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变 随速度变化 m = m(v)，这是相对论情形，不在本节讨论之列。第18页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二变质量问题(1)确定研究系统(2)写出系统动量表达式(3)求出系

8、统动量变化率(4)分析系统受力(5)应用动量定理求解变质量问题的处理方法第19页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二变质量问题例1：列车在平直铁轨上装煤,列车空载时质量为m0,煤炭以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为。假设列车与轨道间的摩擦系数为,列车相对于地面的运动速度v2保持不变,求机车的牵引力。解：车和煤为系统,向下为Y正向，向左为X正向，建立坐标系。tt+dt时刻，dm = dtXY第20页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二XY变质量问题竖直水平第21页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二 例 一柔软链条长为l,单位长度的

9、质量为.链条放在桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周围.由于某种扰动,链条因自身重量开始落下 .求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开 . 解 以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统,建立如图坐标由质点系动量定理得m1m2Oyy则第22页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二则两边同乘以 则 m1m2Oyy又第23页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二质点系动量定理 若质点系所受的合外力为零 则系统的总动量守恒，即 保持不变 .动量守恒定律力的瞬时作用规律 1）系统的动量守恒是

10、指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相 对于同一惯性参考系 .三、动量守恒定律第24页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二3）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 . 4） 动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 是自然界最普遍，最基本的定律之一 . 2）守恒条件 合外力为零 当 时，可 略去外力的作用, 近似地认为系统动量守恒 . 例如在碰撞, 打击, 爆炸等问题中. 第25页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二 5）动量守恒定律在高速领域、微观领域依然适用。第26页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二

11、 例 1 设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核. 已知电子和中微子的运动方向互相垂直,且电子动量为1.210-22 kgms-1,中微子的动量为6.410-23 kgms-1 . 问新的原子核的动量的值和方向如何?解即恒矢量第27页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二又因为代入数据计算得系统动量守恒 , 即第28页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二例2、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动， 上述

12、结论如何？第29页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二解：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。第30页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二1、2、3、第31页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二力对空间的积累-功-能量的变化力对时间的累积-冲量 -动量的变化第32页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二 作用物体的位移1、恒力的功一、功力对空间的积累2、变力的功B*A第33页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二B*A在直角坐标系中:第34页，共79页，2022年，5月20日，

13、16点23分，星期二在工程上常用示功图计算功。由A到B的路径上力F所做的功就对应于曲线下面阴影部分的面积。3、功的性质：（1）功是标量，但有正负第35页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二 合力的功 = 分力的功的代数和如果一个质点同时受到几个力的作用：第36页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二质点系问题：?则，各质点的元位移对问号的解释：如图，两个质点走的路径不同：故不能用一个共同的元位移 来代替。对质点系各力作功之和不一定等于合力的功。第37页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二（2）功是过程量 （4）一对力的功（3）功是相对量

14、系统中任意两质点 m1 m2的相互作用力第38页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二质点1相对质点2的元位移质点1受质点2的力一对内力作功之和与参考系无关第39页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二一对正压力的功一对滑动摩擦力作功 0总功一定减少体系的动能。中学熟知的例子第40页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二例1 作用在质点上的力为在下列情况下求质点从处运动到处该力作的功：1.质点的运动轨道为抛物线2.质点的运动轨道为直线XYO第41页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二做功与路径有关XYO第42页，共79页

15、，2022年，5月20日，16点23分，星期二例2、质量为2kg的质点在力(SI)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。解：（一维运动可以用标量）第43页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二4、功率 力在单位时间内所作的功瞬时功率等与力与物体速度的标积单位：瓦特 W平均功率:第44页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二1、重力的功m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点. 初态量末态量二、保守力的功重力所做的功只与始末位置有关，与所经过的路径无关第45页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二、弹力的功弹

16、簧振子 初态量末态量弹力所做的功只与始末位置有关，与所经过的路径无关第46页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二、万有引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。rabrdrFMmrdrab万有引力所做的功只与始末位置有关，与所经过的路径无关第47页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二保守力：力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .第48页，共79页，2022年，5月20日，16点2

17、3分，星期二典型的耗散力：摩擦力与保守力相对应的是耗散力典型的保守力：重力、万有引力、弹性力三、势能AB在受保守力的作用下，质点从AB，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数，A点的函数值减去B点的函数值，定义为从A B保守力所做的功，该函数就是势能函数。第49页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二势能 : 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 保守力的功弹性势能引力势能重力势能弹力功引力功重力功1、保守力的功与相应势能的关系 第50页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二 势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关

18、 . 势能是状态函数令 势能是属于系统的 .讨论 势能计算第51页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二、由势能求保守力 l Fl Fdlm质点在保守力作用下沿 方向的微小位移， 作功为 Ep沿 方向的空间变化率。第52页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二一般， Ep是x、y、z的函数Ep(x、y、z)故：保守力可写为:第53页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二引入梯度(gradient)算符第54页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二 3、势能曲线弹性势能曲线重力势能曲线引力势能曲线第55页，共79页，2022

19、年，5月20日，16点23分，星期二势能曲线提供的信息：2、势能曲线上任意一点的斜率 的负值，表示质点在该处所受的保守力1、质点在轨道上任意位置时，质点系所具有的势能值。 第56页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二三、 动能定理思路：与推导动量定理相同，仍然由牛顿第二定律出发。元功1、质点的动能定理：第57页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二推导质点运动的动能定理在一空间过程中，合力对质点做的功等于质点动能的增量。第58页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二例、力 (SI)作用在 的质点上。物体沿x轴运动， 时， 求前二秒内对 作

20、的功。用动能定理： 第59页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二例：质量为 的物体作直线运动，受力与坐标关系如图所示。若 时， ，试求，时，解：在到过程中，外力功为由动能定理为： 即 第60页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二2、质点系的动能定理质点系设质点系由质量分别为 的N个质点组成，每个质点所受的合外力分别为则，由质点的动能定理：第61页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二注意：对所有质点求和可得： 内力之和一定为零，而内力作功之和不一定为零！质点系内所有质点所受的外力和内力做功的代数和等于质点系总动能的增加。即：第62页，共

21、79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二即：内力会改变系统的总动能四、功能原理、机械能守恒定律1、功能原理 对质点系，由质点系动能定理： 内力分为保守内力与非保守内力第63页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二引入机械能: 第64页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量。2、机械能守恒定律系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能保持不变第65页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二当外力对系统做功为零和系统非保守内力做功为零时，系统的机械能守恒。守恒定律的意义 .不追究

22、过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点 第66页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二例：如图，在计算上抛物体最大高度 时，（不计空气阻力）要求用质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律列方程。解：动能定理为合力功=质点动能增量功能原理为外力功+非保守内力功=系统机械能增量（取、地为系统）第67页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二机械能守恒定律第68页，共79页，2022年，5月20日，16点23分，星期二例：质量为 的物体，从四分之一圆槽A点静止开始下滑到B。在B处速率为 。槽半径为 。求 从AB过程中摩擦力做的功解：方法一按功定义在任一点c处，切线方向的牛顿第二定律方程为第69页，共79页，2022年，5月20日，