期权定价的连续模型及BS公式

1、1第六章：期权定价的连续模型第一节连续时间股票模型第二节离散模型第三节连续模型的分析第四节Black-Scholes模型第五节Black-Scholes公式的推导第六节看涨期权与看破跌期权平价第七节二叉树模型和连续时间模型第八节几何布朗运动股价模型应用的注意事项2022/9/42第一节连续时间股票模型 保罗萨缪尔森在1965年首次提出： （5-1）股票在时刻的价格常量服从布朗运动。 其中：1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。 第二节离散模型 2022/9/44若表示 T 时刻的股价则根据二叉树模型，在一个给

2、定时间间隔2022/9/45第二节离散模型 于是令这表明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段的影响。2022/9/46第二节离散模型 上式是下列微分方程的解：（5-2）第二节离散模型 2022/9/47在式（5-1）中，如果令即可得到上述微分方程，这是一个确定性的公式。然而，股价并不具有公式（5-2）所示的可预测性和确定性。令随机变量定义其中，为常数第二节离散模型 2022/9/48于是，可得股价序列即设（5-3）2022/9/49第二节离散模型 于是得： （5-4）与式（5-2）相比有什么特点？包含了随机项，因此更接近实际！2022/9/410第二节离散模型 该模型有一个优点，包含了随机

3、变量；但存在一个不足之处，即有两个不确定项。第一个漂移项来自中的，其作用类似于债券第二个漂移项来自于当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面，即和货币基金市场中的利率2022/9/411第二节离散模型 为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。对进行重新定义：为什么？2022/9/412第二节离散模型 于是随机变量Z 的一个重要等式（5-5）第二个因素表示的随机变量的漂移率为零2022/9/413第二节离散模型 若令：则：因为：进一步2022/9/414第二节离散模型 式（5-6）的分析：股票的初始价格；漂移因子（复利因子）；随机因子；修正因子。则（5-6）第二节离散模型 2022/9/

4、415特别注意：模型（5-6）尽管也是一种离散模型，但比二叉树模型具有更丰富的意义。因为允许取任何正值为什么？2022/9/416第二节离散模型 当时是否否！第二节离散模型 式（5-6）中将时间分成小的增量，并考虑步运行的影响，一段固定的时间 可以分成许多小时间段。 事实上，针对同样的时间，可以分成不同的个区间。 应该注意到：随着的增加，的方差 会增加。为了使得的总方差独立于，需要对常量 随 进行调整。2022/9/419第二节离散模型 可以在和之间建立一个关系式，使得的方差等于2022/9/420即令：于是式（5-6）其中2022/9/421第二节离散模型 对数正态模型（为什么？） （5-7

5、）：表明长期趋势；：表明波动率。这两个参数如何影响股价？2022/9/424第三节连续模型的分析 （5-8）式中，由此得到的就是股价的几何布朗运动模型（GBM）。方程（5-1）的解（几何布朗运动）式（5-8）与具有连续时间变量T的离散模型（5-7）相同。方程（5-1）是一个SDE，一般SDE没有简洁的封闭形式的解。2022/9/425第三节连续模型的分析 特别注意：目的：对期权进行定价第三节连续模型的分析 2022/9/426几何布朗运动参数估计：思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差若已知在一段较长时间0,T内的股价数据 ，这段时间由n个长度相等的子区间所构成，如果已知第个子区间末的股

6、价，则样本观测值有n+12022/9/427第三节连续模型的分析 计算时间序列值：由于（5-9）第一步2022/9/428第三节连续模型的分析 应该注意到：于是，理论上2022/9/429第三节连续模型的分析 样本均值：样本方差：根据式（5-9）的观测值的均值为方差为。第二步2022/9/430第三节连续模型的分析 解方程：得第三步2022/9/431第三节连续模型的分析 一般经验法则是设定度量波动率的时期等于将应用波动率所对应的时期。 第三节连续模型的分析 习题：以下是包钢股票2007年3月20日到2007年3月23日半小时价，请以天为时间单位计算。3月20日3月21日3月22日3月23日5

7、.225.275.35.65.185.225.285.685.25.295.315.695.255.265.435.695.245.275.465.675.245.275.465.615.245.275.535.685.245.265.565.682022/9/432假设：证券价格遵循几何布朗运动，即和为常数；允许卖空；没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；不存在无风险套利机会；证券交易是连续的，价格变动也是连续的；在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。欧式期权，股票期权，看涨期权 2022/9/433第四节Black-Scholes公式 第

8、四节Black-Scholes公式 2022/9/434由Black-Scholes公式，欧式看涨期权的价格（5-10）式中股票现价期权价格标准正态分布函数期权的执行价格距离到期的时间2022/9/435第四节Black-Scholes公式 是否注意到，这一公式中没有出现漂移率： 参数是投资者在短时间后获得的预期收益率，依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于。 参数是股票价格波动率。2022/9/436第四节Black-Scholes公式 Black-Scholes定价系统在完全市场中得到期权价格与漂移率无关，被称为风险中性定价方法，无套利是这种定价的基本假设。 Black-Scholes方

9、程的结果认为，由于在方程中消掉了漂移项，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期，也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并不影响期权价格。从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的波动率（）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观变量风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。2

10、022/9/437第四节Black-Scholes公式 所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。风险中性假设的结果：投资者进入了一个风险中性世界所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。2022/9/438第四节Black-Scholes公式 2022/9/439第四节Black-Scholes公

11、式 应该注意的是：实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非理论公式定价。第四节Black-Scholes公式 习题：若某日某股票的相关数据如下，求V2022/9/440第五节Black-Scholes公式的推导 一、修正的模型主要思路：让模型定价等于市价2022/9/441资产组合：a股价格为S0的股票现金b则投资额为： （5-11）经过时间后，投资的资金将变为：2022/9/442第五节Black-Scholes公式的推导 （5-12）用无风险利率r 贴现得于是2022/9/443第五节Black-Scholes公式的推导 对式（5-12）两边求期望，则如果下列条件成立则 （5-13）

12、 （5-14）由此，即使a值变化，上式总是成立。2022/9/444第五节Black-Scholes公式的推导 采用股价模型代替真正股价，方差保持不变 ，且满足下式于是对于任何用来复制的投资组合，存在下式现在的问题是，是否存在这样的？2022/9/445第五节Black-Scholes公式的推导 如果令 （5-15）于是2022/9/446第五节Black-Scholes公式的推导 即为什么？因此，修正的股价模型为： （5-16）2022/9/447第五节Black-Scholes公式的推导 修正模型看上去与GBM模型非常接近，但其与股价模型是完全不同的模型，因为该模型中股价的增长率被人为设低

13、了。第五节Black-Scholes公式的推导 二、期望值对欧式看涨期权：2022/9/448将式（5-16）代入得第五节Black-Scholes公式的推导 2022/9/449若则用于是2022/9/450第五节Black-Scholes公式的推导 根据期望的概念如何求积分？三、两个积分2022/9/451第五节Black-Scholes公式的推导 由求得2022/9/452第五节Black-Scholes公式的推导 将上述积分展开成两部分第二部分2022/9/453第五节Black-Scholes公式的推导 第一部分2022/9/454第五节Black-Scholes公式的推导 变量代换

14、，则 2022/9/455第五节Black-Scholes公式的推导 所以积分式的第二项等于将上述第一项和第二项的结果代入，得2022/9/456第五节Black-Scholes公式的推导 其中第五节Black-Scholes公式的推导 金融产品今天的价值，应该等于未来收入的贴现： 其中，由于风险中性定价， E是风险中性世界中的期望值。所有的利率都使用无风险利率：包括期望值的贴现率和对数正态分布中的期望收益率。 要求解这个方程，关键在于到期的股票价格ST，我们知道它服从对数正态分布，且其中所有的利率应用无风险利率，因此，2022/9/457上式的右边求值是一个积分过程，求得：N（x）为标准正态

15、分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率）。这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式 2022/9/458第五节Black-Scholes公式的推导 首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。2022/9/459第五节Black-Scholes公式的推导 第五节Black-Scholes公式的推导 其次， 是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e

16、-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-noting call option）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值， -e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。 2022/9/460资产或无价值看涨期权：如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的金额，因此该期权的价值为e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)现金

17、或无价值看涨期权：如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付1元， 由于期权到期时价格超过执行价格的概率为N(d2) ，1份现金或无价值看涨期权的现值为-e-r(T-t)N(d2) 。2022/9/461第五节Black-Scholes公式的推导 2022/9/462第六节看涨期权与看跌期权平价欧式看涨期权的价格与欧式看跌期权的价格有关若卖空一份带抛补的看涨期权以S 的价格买入一股股票以C 的价格卖出一份看涨期权，执行价为X同时又买了一份价格为P 的看跌期权，执行价为X（到期时间和执行价与看涨期权相同）2022/9/463第六节看涨期权与看跌期权平价则

18、当期于是2022/9/464第六节看涨期权与看跌期权平价 对于具有与欧式看涨期权定价相同参数的欧式看跌期权定价平价公式将欧式看涨期权定价的Black-Scholes公式代入，得：即第六节看涨期权与看跌期权平价t=0t=TST3.133.13ST2.9ST2.9卖武钢认购权证（执行价2.9元）C2.9-ST2.9-ST0买武钢股票-S0STSTST买武钢认沽权证（执行价3.13元）-P03.13-ST3.13-ST借入现金2.9/(1+r)t/365-2.9-2.9-2.9现金流C-P-S0+2.9/(1+r)t/36503.13-ST0.232022/9/4652022/9/466附：期权的简

19、单特征2022/9/467命题1:对于0,T 上具有相同执行价格q的欧式和美式期权，存在附：期权的简单特征2022/9/468命题2:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则存在：附：期权的简单特征2022/9/469命题3:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则存在：附：期权的简单特征2022/9/470命题4:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则存在：附：期权的简单特征2022/9/471推论1:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则美式看涨期权不应提前执行。推论2:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，对于相同执行价格和相同到期日的美式和欧式看涨期权存在：附：期权的简单特征2022/9/472命题5:在0,T 上，相应的股票无红利配发，如果在美式看跌期权有效的有效期内的某个存在则该美式看跌期权应该在时刻执行。附：期权的简单特征2022/9/473命题6:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则欧式看涨和看跌期权的价格满足：习题:若看涨和看跌期权的行权价不同，则这一关系该如何表达？附：期权的简单特征2022/9/474命题7:若在0,T 上，相应的股票无红利配发，则美式看涨和看跌期权的价格满足：附：期权的简单特征2022/9/475命题8:若在0,T 上，相应的股票有红利配发，记：附：期权的简单特征2022/9/476附：期权的简单特征20