安徽大学数理方法黄志祥课件

1、复变函数与积分变换(第二版)华中科技大学数学系教师 黄志祥(博士)参考教材1.数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社，2007年4月.2.数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业出版社，2006年7月.3.MATLAB及在电子信息课程中的应用( 第3版 )，陈怀琛 等 编著,电子工业出版社, 2006.4.复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建林 编，西北工业大学出版社, 2001年1月.01744/12教学方式与要求方式 板书结合PPT 源于课本稍高于课本要求 适当做笔记 按质完成作业复球面4.4 罗朗级数2.3 初等函数指数函数对数函数三角函数与反三角函数双曲函数与

2、反双曲函数幂函数小结2.3.1 指数函数1.定义 对于复数z =x+iy,定义指数函数为注:2.性质3.举例函数图像2.3.3 三角函数1.定义注: 正、余弦函数可以大于1.2.性质(1)单值性(2)周期性(3)奇偶性(4)三角公式(5)解析性函数图像2.3.4 双曲与反双曲函数双曲函数与反双曲函数注：双曲函数与三角函数的关系为函数图像Q:双曲正(余)弦的单值性、 周期性、奇偶性如何？小结 初等函数是复变函数的主要研究对像. 介绍了常见的基本初等函数，注意与实变初等函数类比学习，着重掌握它们之间的区别. 要求: 会计算基本初等函数值. 展望第三章 复变函数积分.结论:一般情形下幂函数为多值函数

3、函数图像函数图像互为反函数指数函数w=exp(z)的图像虚部MATLAB及在电子信息课程中的应用( 第3版 )陈怀琛 等 编著,电子工业出版社, 2006.电路信号与系统数字信号处理控制系统对数函数w=Ln(z)的图像虚部实部三角函数w=sin(z)的图像虚部双曲正弦函数w=sh(z)或w=sinh(z)的图像虚部幂整函数 的图像虚部Fourier & Laplace Transform Define Conditions Properties线性性质 对称性质延迟、位移性质相似性质 Define Conditions Properties线性性质 对称性质(无)延迟、位移性质相似性质 Con

4、t卷积定理 乘积定理及Parseval定理 微分性质 积分性质 卷积定理 周期函数的像函数 微分性质 积分性质 Def:Def:常见函数的Laplace变换Attention: t-域函数f(t)的理解应该为t为非负！t-域syms t,w;figure(1);ezplot(sin(t)./t,-50,50);Fw=fourier(sin(t)./(t),w);figure(2);ezplot(Fw,-5,5)Matlab codeW-域主要内容“三类典型方程” “边界条件”分离变量法(有界)行波法与积分变换法(无界)Green函数法(有界或无界)BesselLegendre第七九章不讲 共9

5、周36课时求解Sin & Cos 预备知识 1基本概念偏微分方程(PDE): 含有未知多元函数及其偏导的方程，如其中: 为多元函数.方程的阶: 未知函数导数的最高阶数；方程的次数: 最高阶偏导的幂次；线性方程: 未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的 称为线性方程，否则就是非线性的；自由项: 不含未知函数及其导数的项；齐次方程: 没有自由项的偏微分方程称为齐次方程， 否则称为非齐次的；Cont方程的解: 若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为 一个恒等式，则该函数为方程的解；通解: 包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的 个数等于方程的阶数；特解: 不含任意独立函数的方程的解.例如： 二阶

6、线性非齐次偏微分方程 的通解为 其中，F与G为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数偏微分方程的阶数. 一阶非线性非齐次PDE二阶线性齐次PDE弦的微小横振动传输线方程补充1:正交函数系函数正交正交函数系常见的正交函数系Chap 2 Separate Variations函数的正交展开完备正交系函数广义Fourier级数展开三角函数正交关系分离变量法解的物理意义级数解中前四个驻波分量的运动分离变量法小结第一步：分离变量. u(x,t)=X(x)T(t)第二步：求解本征值(固有值)问题. X(x)+BC ODE第三步：求解T(t)满足的常微分方程. 第四步：作特解的线性叠加. 第五步：

7、由初始条件确定系数.(三角函数的正交性) 为方便记忆:“定解条件写完整，边界条件齐次化；五个步骤循序解，特征问题是关键”.常见边值问题X+ X=0的本征函数小结常见边值问题对应的本征函数分离变量法抛物型方程第三类齐次边界条件(1-D)椭圆型方程第一类齐次边界条件(2-D)第二章总结齐次方程齐次边界：分离变量法或本征函数法非齐次方程齐次边界：本征函数法非齐次边界：先将边界齐次化后，再用本征函数展开法数理方程的分类标准化方法第三章 行波法与积分变换法总结实系数型PDE方程的行波解标准型一般型一般强迫振动的定解问题(1) 一般强迫振动的定解问题(2)初始条件齐次非齐次达朗贝尔公式非齐次方程齐次方程冲量原理齐次方程非齐次方程达朗贝尔公式分解齐次方程+非齐初值非齐方程+齐次初值Chap 3. Review(无界)边界条件齐次非齐次分离变量法非齐次方程齐次方程特征函数法分解齐次边界+非齐方程非齐边界+已知函数Chap 2. Review(有界)总结PDE边界条件初始条件定解问题先看边界，再看初始条件，综合考虑PDE第四章 Green函数法(以求解Poisson方程为例) Green第二公式 圆域Green函数Chap 4. Review(Green Function)球域Green函数球