高中数学必修二 海南省海南枫叶国际学校-2020学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）

1、海南枫叶国际学校2019-2020学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 某幼儿园为了了解全园310名小班学生的身高情况，从中抽取31名学生进行身高测量、下列说法正确的是A. 总体是310B. 310名学生中的每一名学生都是个体C. 样本是31名小班学生D. 样本容量是31【答案】D【解析】【分析】根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义判断【详解】根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义可知样本是学生的身高，样本容量是31，总体是310名学生的身高，总体容量是310故选D【点

2、睛】本题主要考查根据样本和样本容量，总体和总体容量的定义，是基础题2. 设，则=A. 2B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】先由复数除法运算（分母实数化），求得，再求【详解】因为，所以，所以，故选C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算本题也可以运用复数模的运算性质直接求解3. 已知向量，且，则A. B. C. 2D. -2【答案】A【解析】【详解】由于两个向量垂直，故有.故选：A.4. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，化简即得解.【详解】由正弦定理得.故选：D【点睛】本题主要考查

3、正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.5. 已知单位向量，的夹角为60，则在下列向量中，与垂直的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A. -

4、3B. -2C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，得，则，故选C【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大7. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积

5、和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.8. 中，,BC=1,AC=5，则AB=A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边

6、和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行C. 垂直于同一直线的两条直线相互平行D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直【答案】AD【解析】【分析】由面面垂直的判定定理以及性质判断AD，由面面平行的判定定理判断B，由直线与直线的位置关系判断C.【详解】对A项

7、，由面面垂直判定定理可得，A正确；对B项，由面面平行的判定定理可知，当这两条直线平行时，这两个平面不一定平行，故B错误；对C项，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故C错误；对D项，根据面面垂直的性质定理可知，D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理以及性质，面面平行判定定理，直线与直线的位置关系，属于中档题.10. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C

8、. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】【分析】观察折线图可知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，且折线图呈现增长趋势，高峰都出现在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小.【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.【点睛】本题考查折线图，考查考生的识图能力，属于基础题.11. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事

9、件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ）甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丁地：总体平均数为2，总体方差为3A. 甲地B. 乙地C. 丙地D. 丁地【答案】AD【解析】【分析】逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可.【详解】对A,因为甲地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于.故A正确.对B,若乙地过去10日分别为则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故B

10、错误.对C,若丙地过去10日分别为,则满足总体平均数为1,总体方差大于0, 但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故C错误.对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,则方差大于.与题设矛盾,故连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.故D正确.故选：AD【点睛】本题主要考查极差,平均数,中位数与方差等的运算与理解,属于中等题型.12. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是A. ACBDB. ACD是等边三角形C. AB与平面BCD成角D. AB与CD所成的角是60【答案】ABD【解析】【分析】首先画出几何体，由线面垂直性质定理判断A是否正确；根据直二面角的条

11、件计算的长度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，所有平面，平面，所有,所以A正确；B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60，所以D正确.综上可知：ABD正确.故选：ABD【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空间想象能力，属于基础

12、题型.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13. 已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_.【答案】2.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.【详解】，令得.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 在某个容量为100的样本的频率分布直方图中，共有5小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的，则中间一组的频数为_.【答案】20【解析】【分析】根据题意直接根据比例进行求解即可.【详解】因为中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形面积和

13、的，所以中间一个小长方形的面积等于所以小长方形面积和的，因此中间一组的频数为.故答案：20【点睛】本题考查了求频数问题，属于基础题.15. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【答案】【解析】【详解】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体

14、进行解决16. 的内角的对边分别为，已知，则的面积为_【答案】.【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.【详解】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.四、解答题（本大题

15、共6小题，17题10分，其余每题12分，共70.0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. 设向量，为锐角.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）2；（2） .【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标关系，即可求解.（2）结合平面向量数量积的坐标运算，代入可求得，即可求解.【详解】（1），且，可得；（2） ，化简得， 因此，.【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标关系，平面向量数量积的坐标应用，同角三角函数关系式的化简应用，属于基础题.18. 两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下：机床甲109.810

16、10.2机床乙10.1109.910如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求.【答案】机床乙的零件质量更符合要求，运算见解析.【解析】【详解】先考虑各自的平均数：设机床甲的平均数、方差分别为；机床乙的平均数、方差分别为，两者平均数相同，再考虑各自的方差：，机床乙的零件质量较稳定，乙更符合要求.19. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证

17、得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因为BE平面ABC，所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直

18、线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.20. 统计局就某地居民的月收入情况调查了10 000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在元之间（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的应抽取多少人；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.【答案】（1）25；（2）1900；（3）1900.【解析】【详解】（1）因为，所以， 月收入在的频率为0.25，所以分层抽样抽出100人中月收入在的人数为；（2）收入在的频率是0.3，收入在的频率是，所以样本数据的中位数在，且为（元）（3）（元）所以平均数为1900元.21. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利