常用逻辑用语教学实践中出现的错误

1、常用逻辑用语教学实践中出现的错误摘要：本文分析了数学常用逻辑用语教学实践中出现的错误，并给出了一些建议。关键词：逻辑用语；错误；数学作者介绍：沈芬君,任教于浙江省绍兴县越崎中学。我国最新普通高中数学课程标准（实验）中明确指出：“正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维。”通过学习常用逻辑用语，使学生能“体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。”常用逻辑用语由“命题及其关系”、“简单的逻辑联结词”和“全称量词与存在量词”三部分组成，在教学实践中，笔者发现学生中存

2、在一些比较常见的错误：1、简单命题与复合命题问题不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题。所以，在判断命题形式或书写复合命题时，大部分学生都认为一旦句子中含有逻辑联结词“或”、“且”就是复合命题，不含就是简单命题，导致出错。例1：命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形。命题q：对角线互相平分的四边形是菱形。请写出“p或q”、“p且q”形式的复合命题。作业反馈得到的情况是两个班级没有一个学生答对，他们都认为“复合命题p或q”是“对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形”；“命题p且q”是“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”。学生虽然把“

3、或”与“且”写进了新的命题，但其实并不符合要求。他们只不过把两个命题的条件按照要求复合了，所以都是复合条件的简单命题。为了纠正这一错误，首先笔者要求学生运用“真值表”分析他们的回答。因为命题p、q都是假命题，所以p或q、p且q也都应该是假命题，但命题“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”却是真命题，所以按学生们的方法构造新的复合命题肯定有错。然后，笔者强调教材中规定：用逻辑联结词“且”、“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题分别称为p且q命题、p或q命题，这里的“且”、“或”必须是逻辑联结词，作为逻辑联结词“且”、“或”和作为一般连词“且”、“或”是有区别的，作为逻辑联结词“且”、“

4、或”用来联结两个命题或语句，作为连词“且”、“或”用来联结两个对象。最后，帮助学生认识到：“对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形”才是p或q形式，“对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形”才是p且q形式。2、命题真假判断问题在数学中,可以判断真假的陈述句是命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的命题为假命题。判断真假的方法很多，可根据学过的定义、定理、公理、公式、事实、能否举出反例等来判断，但像下面这种特殊命题判断真假时学生出错较多。例2；命题：“若，则方程必有两个相异实数根”的逆否命题是_命题（填真或假）有些学生的思路是先写出其逆否命题再判断其

5、真假，他们认为命题“若，则方程必有两个相异实数根”的逆否命题是“若方程没有两个相异实数根，则”,而若方程没有两个相异实数根，则，解得，得k无解，学生认为这样的k都不存在，怎么能确定其大于等于0呢？从而它是假命题。笔者认为学生这一错误的主要原因是他们认为命题“若k无解,则”是假命题。为此，笔者提醒学生“k无解”就是，“”就是“k属于非负实数”，而属于空集的元素属于任何集合，所以命题“若k无解,则”是真命题，从而命题“若方程没有两个相异实数根，则”是真命题。3、命题的否定问题一般地，对一个命题P的全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非P”或“P的否定”。在教学中，发现学生会因为放错“不”的位置

6、导致没有真正否定结论。例3、“全等三角形一定是相似三角形”的否定是( )A、全等三角形一定不是相似三角形 B、不相似三角形不一定是全等三角形C、不相似三角形一定不是全等三角形 D、全等三角形不一定是相似三角形受思维定势的影响，想起以往教师一再强调“都是”的否定是“不都是”，学生认为“一定”的否定是“不一定”，马上选了D。其实“不一定全等”含了“全等”与“不全等”两类，使其在简易逻辑的范围内无法判断其真假，在简易逻辑中不能再看成命题，从而D不是一个命题，所以学生的回答是错的。何为“可以判断真假”？即可以下肯定的判断或否定的判断。当一个语句的主项概念所指对象不确定时，这个语句就不是命题。类似的词除

7、了“一定”，还有“必然”、“可能”等，事实上像这种包含“必然”、“可能”等逻辑常项的逻辑系统叫“模糊逻辑”，超出了简易逻辑的讨论范围，这些“必然”、“可能”、“一定”等类似的词是语气助词，不是谓语动词，这里的“是”才是谓语动词，因此“一定是”的否定是“一定不是”，因此正确的答案是A。4、命题的否定与命题的否命题问题命题的否定与命题的否命题虽只一字之差，但两者是不同的，学生在学习时常出错。例4、写出命题“实数的绝对值是正数”的否命题是_。有一些学生认为其否命题是“实数的绝对值不是正数”，也有一部分学生认为是“不是实数的绝对值不是正数”。认为否命题是“实数的绝对值不是正数”的同学，其实是混淆了命题

8、的否定与命题的否命题两个不同的概念。首先，两者的存在性不同：任一命题p都有它的否定命题，即“非p”。而否命题是就原命题而言的，如果一个命题不是“若p则q”或者不可以改写成这种形式，那就无所谓否命题。其次，如果原命题是“若p则q”，那么这个命题的否命题是“若非p，则非q”，而这个命题的否定是“若p则非q”。再次，两者的真假性不一定一致。因命题的否定的结论构成的集合是原命题的结论构成集合的补集，所以命题的否定与原命题一定是一真一假，而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假，否命题与原命题的真假之间没有关系。另一方面笔者又引导学生,该命题的否定并非是“实数的绝对值不是正数”。其实命题“实数的

9、绝对值是正数”是省略了全称量词的全称命题：“（所有）实数的绝对值（都）是正数”。既然要求写出否命题，所以先写成“若p则q”的形式，再写出“若非p，则非q”。原命题“实数的绝对值是正数”可表述为“若x为实数，则x的绝对值是正数”，所以正确的否命题是“存在某个数不是实数，其绝对值不是正数”，或者说“存在某个非实数，其绝对值不是正数”。原命题的否定形式是“实数的绝对值不都是正数”，或者说，“存在一个实数的绝对值不是正数”。5、充分必要问题 条件的充分性与必要性是教学中的又一个难点，学生对到底是充分条件还是必要条件常有疑问。例5：已知抛物线和点A（3，0）、B（0，3），求抛物线与线段AB有两个不同交

10、点的充要条件。有许多同学的解法如下：充分性：因为抛物线与线段AB有两个不同交点，所以抛物线与x轴的两个交点在0，3同时抛物线的顶点在直线AB：的上方由得得由得解得综上得。反之也成立。这一解法存在几点错误:(1)充分性、必要性的概念不清。（2）推理能力欠缺。有许多同学通过粗糙的图形，认为其充要条件是抛物线与x轴的两个交点在0，3上同时抛物线的顶点在直线AB的上方，使m的范围扩大。本题笔者结合几何画板，让学生认识到：当抛物线的顶点在直线AB：的下方时，也可以符合题意。事实上，抛物线的顶点不一定非要在直线的上方不可，只需抛物线上存在这样的点，使得它在直线AB：的上方。这是一个特称命题，要解决这个问题，我们可采用它的反面求解，即：抛物线上任意点都在直线AB 下方，也就是恒成立，从而，解得。当然此题也可采用方程思想求解，这里不再介绍。常用逻辑用语是数学语言的组成部分，是描述、判断、推理的工具，学习数学离不开常用逻辑用语。在逻辑的教学中，教师一定要谨慎，不要想当然，随意出题，多斟酌；也可以和语文老师沟通，探讨语言、语法结构上的判断词、联结词、量词与数学