2022-2023学年北京剑桥中学高三数学文期末试卷含解析

1、2022-2023学年北京剑桥中学高三数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 有下列四个命题，其中真命题有“若+ =0，则, 互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若ql，则有实根”的逆命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题A B C D参考答案：答案：C 2. 设，则A. -1B. 1C. l n2D. -ln2参考答案：C【分析】先把化为，再根据公式和求解.【详解】故选C.【点睛】本题考查对数、指数的运算，注意观察题目之间的联系.3. 设函数，则不等式的解集是A. B. C

2、. D. 参考答案：A4. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18，27，则输出的a=（）A0B9C18D54参考答案：B【考点】EF：程序框图【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【解答】解：由a=18，b=27，不满足ab，则b变为2718=9，由ba，则a变为189=9，由a=b=9，则输出的a=9故选：B【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题5. 已知tanx=2，则cosx=（）ABCD参考答案：C【考点】同角三角函

3、数间的基本关系【专题】计算题【分析】由题意可得 =2，cosx0，再由 sin2x+cos2x=1，解得cosx 的值【解答】解：由 tanx=2，可得tanx=2，cosx0再由 sin2x+cos2x=1，解得 cosx=，故选C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题6. 函数的图象大致为参考答案：【知识点】余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性C3 B4【答案解析】D 解析：令y=f（x）=，f（x）=f（x），函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A；又当x0+，y+，故可排除B；当x+，y0，故可排除C；而D均满足以上分析故选D【思路点拨】由于函数y=为奇函

4、数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x0+，y+）可排除B，C，从而得到答案D7. 在2010年某大学的小语种提前招生考试中，某中学共获得了5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加考试学校通过选拔定下3男2女五个推荐对象，则不同的推荐方案共有（ ）种A20 B22 C24 D36参考答案：C略8. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及的关系，

5、最终得出选项【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，故选D9. 已知两条直线互相垂直，则等于 （ ） A2 B1 C D0参考答案：C10. 函数y=sin(x+)(0)的图象与x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数g（x）=sinx的图象，只要将f（x）的图象（）个单位A向左平移B向右平移C向左平移D向右平移参考答案：B【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件根据函数y=Asin（x+）的周期性，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解

6、答】解：由题意可得函数f（x）=sin（x+）（0）的最小正周期为2=，即=，可得：=2，由于：f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故将f（x）的图象向右平移个单位，可得函数g（x）=sin2x的图象，故选：B【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的周期性，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是参考答案：2考点：向量在几何中的应用专题：转化思想分析：令OAD=，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、

7、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可解答：解：如图令OAD=，由于AD=1故0A=cos，OD=sin，如图BAX=，AB=1，故xB=cos+cos（）=cos+sin，yB=sin（）=cos故=（cos+sin，cos）同理可求得C（sin，cos+sin），即=（sin，cos+sin），=（cos+sin，cos）?（sin，cos+sin）=1+sin2，的最大值是2故答案是 2点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标12. 若一个几何体的三视图如图

8、所示，则此几何体的体积为 参考答案：4略13. 已知数列的前n项和=-2n+1,则通项公式=参考答案：14. （5分）求和：=参考答案：考点： 数列的求和专题： 计算题分析： 首先要对式子进行分析，猜想到可以拆项来求解，故可把它们都乘以3即可拆项，相加即可以得到答案解答： 设Sn=则3Sn=所以Sn=故答案为点评： 此题主要考查数列求和的问题，对于非等差等比数列，可以根据分析式子通过拆项求解，这是一个很重要的思路，需要注意15. 将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星如图所示的正六角星的中心为点O，其中x，y分别为点O到两个顶点

9、的向量若将点O到正六角星12个顶点的向量都写成ax+by的形式，则a+b的最大值为 参考答案：5【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论【解答】解：欲求a+b的最大值只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下（1）（a，b）=（1，0）；（2），所以（a，b）=（3，1）；（3），所以（a，b）=（2，1）；（4），所以（a，b）=（3，2）；（5），所以（a，b）=（1，1）；（6），所以（a，b）=（0，1）；因此a+b的最大值为3+2=5故答案为：516. 双曲线的离心率为_；若椭圆与双

10、曲线有相同的焦点，则_.参考答案：，略17. 已知，则的值等于_。 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（aR），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C（）求曲线C的方程；（）当a2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y00），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（）通过圆N与直线x=1相切，推出点N到直线x=1的距离等于圆N的半径，说明点N的轨迹为

11、以点M（1，0）为焦点，直线x=1为准线的抛物线，求出轨迹方程（）设直线l的方程为yy0=k（xx0），联立得，利用相切关系，推出k，求解直线l的方程为通过动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离利用动圆M的面积最小时，即d最小，然后求解即可【解答】解：（）因为圆N与直线x=1相切，所以点N到直线x=1的距离等于圆N的半径，所以，点N到点M（1，0）的距离与到直线x=1的距离相等所以，点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=1为准线的抛物线，所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y2=4x（）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yy0=k（xx0），由得，又，所以，因为直线l与曲

12、线C相切，所以，解得所以，直线l的方程为动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a2时；=当且仅当，即x0=a2时取等号，所以当动圆M的面积最小时，ax0=2，即当动圆M的面积最小时，M、P两点的横坐标之差为定值19. 设的三个内角所对的边，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，试求的最小值.参考答案：20. 设函数（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得成立，求a的取值范围.参考答案：（1）或；（2）.【分析】（1）当时，利用零点法进行分类，求出不等式的解集；（2）若存在，使得成立，即，根据之间的大小关系，进行分类，最后求出的取值范围.【详解】解：

13、（1）当时，或或，即，或，或，即或.（2）即，当时，恒成立；当时，可知，得；当时，同理，得.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.21. 函数f（x）=loga（1x）+loga（x+3），（0a1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为2，求a的值参考答案：【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据函数的结构，真数大于零求两部分交集（2）根据对数函数的单调性判断函数取得最小值时x的值，列出关于a的方程，解出即可【解答】解析（1）要使函数有意义：需满足，解得：3x1，所以函数的定义域为（3，1）（2）因为0a1，3x1，0（x+1）2+44，所以f（x）=loga（1x）+loga（x+3）=loga（x+1）2+4loga4，由loga4=2，得a2=4，a=【点评】本题考察函数定义域的求法、对数的运算性质、对数函数的单调性