高中数学必修二 专题05 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积（课时训练）（含答案）

1、专题05 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积A组 基础巩固1（2021全国高一课时练习）下面图形中，为棱锥的是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据棱锥的定义和结构特征进行判断可得答案.【详解】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，是棱锥，不是棱锥，是棱锥.故选：C2（2021江西景德镇市景德镇一中高一期末（理）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，则原四边形的面积为（ ）A12B6CD【答案】C【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可【详解】根据图像可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，作，则，由，得

2、，且，所以，原四边形的面积为.故选：C3（2021全国高三专题练习（文）已知某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长均为)，则该空间几何体的表面积是（ ）ABCD【答案】D【分析】由三视图还原几何体，分别求得各个面的面积，加和得到表面积.【详解】根据三视图还原该几何体的直观图，如图中的四棱锥，其中补形成的正方体的棱长为，为所在棱的中点，则，该几何体的表面积是故选：D.4（2020安徽滁州市高二月考（理）如图，在棱长为1的正方体中，三棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】A【分析】用正方体的体积减去四个三棱锥的体积【详解】由，故选：A5（2021江苏高一课时练习）若一个圆台如图所示，则其体积

3、等于（ ）ABCD【答案】C【分析】首先求出圆台的上、下底面，再利用圆台的体积公式即可求解.【详解】圆台的上底面面积S，下底面面积S4，高h，所以V圆台(42).故选：C6（2021江苏高一课时练习）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，四棱锥SABCD的体积占正方体体积的（ ）ABCD不确定【答案】B【分析】令正方体棱长为，求出正方体的体积及四棱锥的体积，即可判断；【详解】解：令正方体棱长为，则V正方体a3，V四棱锥SABCDV正方体.故选：B7（2021湖北高三月考）设A，B，C，D是同一个半径为6的球的球面上四点，且ABC是边长为9的正三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD

4、【答案】D【分析】是外心，是球心，求出，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，由此求得最大体积即可【详解】如图，是外心，即所在截面圆圆心，是球心，平面，平面，则，所以，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，此时棱锥的高为，所以棱锥体积为故选：D8（2021浙江高一单元测试）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）ABCD【答案】B【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论【详解】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆柱的侧面展开图是一个正方形，圆柱的侧面积为，圆柱的两个底面积为，

5、圆柱的表面积为，圆柱的表面积与侧面积的比为：，故选：9（2021北京平谷区高三一模）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）ABCD【答案】B【分析】由三视图得到几何体原图是一个圆柱即得解.【详解】由三视图可知几何体原图是一个底面半径为1高为3的圆柱，所以几何体的表面积为.故选：B【点睛】方法点睛：由三视图找几何体原图常用的方法有：（1）观察法；（2）模型法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.10（2021辽宁高三其他模拟（理）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可

6、得结果【详解】由三视图可知，该几何体是三棱柱，直观图如图所示：三棱柱，其中为等腰三角形， 故该几何体的体积为：.故选：C.11（2021全国高三专题练习（文）如图，某四棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该四棱锥的最长的棱长为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据三视图可得几何体为四棱锥且一条侧棱垂直于底面，根据体积公式可求体积.【详解】解：由三视图可得该四棱锥是一个，一条侧垂直于底面的四棱锥，高为，最长棱的长为故选：C.12（2020全国高三月考）如图，长方体的底面是正方形，是的中点，则（ ）A为直角三角形BC三棱锥的体积是长方体体积的D三棱锥的外接球的表面积是正方形ABCD面积的倍【答案】AC

7、D【分析】对于A，令，在中， ，则，从而可判断出为直角三角形，进而可判断A；对于B，由与平行，而与相交，所以CE与不平行，故可判断B；对于C，利用等体积法可求解；对于D，因为三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以三棱锥的外接球半径 ，从而可表示出球的表面积和正方形的面积，进而可做出判断【详解】令，在中， ，所以，则为直角三角形，故A正确；因为与平行，而与相交，所以CE与不平行，故B错误；棱锥的体积为，所以，则三棱锥的体积是长方体体积的，故C正确；因为三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以三棱锥的外接球半径 ，三棱锥的外接球的表面积为，三棱锥的外接球的表面积是正方形ABCD面积的倍，故D正确，故

8、选：ACD【点睛】此题考查空间中线线的位置关系，考查几何体体积的求法，考查几何体的外接球问题，属于中档题13（2021全国高一课时练习）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）A沙漏中的细沙体积为B沙漏的体积是C细沙全部漏入下

9、部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD该沙漏的一个沙时大约是1565秒【答案】AC【分析】A根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C根据等体积法计算出沙堆的高度；D根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径，所以体积B.沙漏的体积；C.设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，所以；D.因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，所以一个沙时为：秒.故选：AC.【点睛】该题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题

10、的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式B组 能力提升14（2020南宁市第十九中学高一月考）如图所示，是三角形的直观图，则三角形的面积_；（请用数字填写）【答案】【分析】根据斜二测画法的法则以及原图形与直观图面积的关系，即可求解.【详解】解：由斜二测画法知：，故三角形的高，故，又.故答案为：.15（2021江苏高一课时练习）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为_.【答案】【分析】设正方体棱长为1，三棱锥D1AB1C为正四面体，求出其棱长，然后可得正方体和三棱锥的表面积，从而求得比值【详解】设正方体棱

11、长为1，则其表面积为6，三棱锥D1AB1C为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为，所以三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为故答案为：16（2021浙江高一期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】24【分析】根据几何体的三视图得到该几何体是一个直三棱柱，再由柱体体积公式求解.【详解】由几何体的三视图知，该几何体是一个直三棱柱，如图所示：则该几何体的底面积是，高为，所以该几何体的体积是，故答案为：2417（2021江苏徐州市徐州一中高三期末）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为_【答案】【分析】利用圆锥的轴截面是面积为的等边三角形求

12、出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的表面积【详解】设圆锥轴截面正三角形的边长是，因为正三角形的面积为， 所以，所以圆锥的底面半径，圆锥的母线，这个圆锥的表面积是：故答案为：18（2021浙江高一单元测试）在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为_(填具体形状)，其面积为_ cm2.【答案】矩形 8 【分析】根据斜二测画法原则可还原各条线段的位置和长度，从而得到四边形的形状和面积【详解】由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OAOC，OAOA2 cm，OC2OC4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为248(cm2).故答案为：矩形；19（2020浙江高一期末）如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图为边长为2正方形，则该平面图形的面积为_，周长为_【答案】 【分析】首先根据斜二测画法画出原图，再计算其面积和周长即可.【详解】如图所示：，所以，故原图的周长为，面积为.故答案为：；20（2020全国高一专题练习）如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平