《平方差公式》教案 (公开课获奖)教案 2022青岛版

1、平方差公式一、内容和内容解析1、教学内容乘法公式的第一课时，两数的和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。（即平方差公 式）。把某些具有特殊形式的多项式相乘的式子及其结果写成公式的形式，就是乘法公式。 本节学习平方差公式。是本章的重点内容。2、内容解析从多项式乘法到乘法公式是一个一般到特殊的认识过程，从一些特殊形式的多项式乘法 到乘法公式，又是特殊到一般的过程，对平方差公式的学习和研究，既为符合公式特征的整 式乘法运算带来简便；又为后续学习利用公式法分解因式奠定基础；同时，平方差公式在“正 与逆”两方面的灵活运用有助于学生数学能力的提高。为此，它在初中代数教学中占有重要 地位。二、目标和目标解

2、析1、目标知识与技能目标：（1）掌握平方差公式及其结构特征；（2）理解公式中字母的广泛含义；（2）会运用此公式进行运算。过程与方法目标：（1）学生经历由特殊到一般的过程，归纳出平方差公式，从中体会归纳的思想；（2）通过变式练习，理解公式中字母的含义，领会代数思想，提高观察、分析和总结能 力；情感态度价值观目标：通过自主学习、合作探究、展示交流等环节，积累成功的心理体验。2、目标解析平方差公式的结构，呈现出一种对称美，其特点还可以通过面积图得到解释。公式中的字母既可以代表一个数或字母，又可以代表一个复杂的代数式。并且，这种代 表（实际是一种代数思想），还要靠适当的变形才能看出来，变式练习在这方面

3、，恰恰能发 挥积极地作用，因此，设计合理的变式练习，就显得非常重要。于是，理解公式中字母的广 泛含义，掌握平方差公式及其结构特征且会运用此公式进行计算是本节的教学重点。在教学过程中，主要引导学生开展“独立探究与合作性学习有机结合”。坚持以“学生 发展为本”，引导、学生鼓励学生对同一个问题积极寻求不同的思路、依靠他们自己的活动 去探索数学，以便培养学生的实践能力和创新意识。三、教学问题诊断“平方差公式”的得出过程，是一个由特殊到一般的归纳过程，在这个过程中，学生对 公式的理解和掌握往往停留在简单的数字和字母上，对公式的变形以及灵活应用会有困难或 错误，所以在重视学生对过程归纳的同时也要重视用文字

4、语言正确的表述以及对公式中字母 广泛含义的理解。使学生能在理解的基础上加以记忆，在巩固的基础上灵活应用。例如：对 于（a+b+c）(a+b-c); (a+b-c)(a-b-c); (a+b+c)(a-b-c)的计算学生就往往难于领会到它 的思想和方法。一般情况，对于平方差公式几何意义的了解有部分学生也会感到困难。揭示公式的特征和公式的灵活运用是本节的难点。四、教学支持条件学生有前面多项式乘法的基础知识，所以对于平方差公式的推导以及这个知识的发生过 程比较清晰明确，为此可以在学生自己得出公式之后，层层递进。对于平方差几何意义的了解以及问题的提出和学生各种解答可以借助于多媒体。 五、课堂教学模式以

5、小组为核心的任务型课堂教学模式六、教学过程设计第一次循环（一）创设情境，明确任务师：从前有一个狡猾的地主，他把一块长为 x 米的正方形的土地租给张老汉种植，有一 天，他对张老汉说：“我把这块的一边减少5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也没有 吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了，回到家中，他把这件事对邻居讲 了，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”，张老汉非常吃惊。同学们，你能告诉张老汉这 是为什么吗？如图，张老汉原来的土地面积和现在的土地面积各是多 少？他为什么吃亏了？（借助多媒体演示）5米(X+5)米x米(X-5)米5米任务 1、计算下列各题,看谁做的又快又准确:(1)

6、(a+b)(a-b) (2)(x+y)(x-y)(3)(2a+b)(2a-b) (4)(2m+3)(2m-3)任务 2、观察、分析其特征结构.等式左边的两个多项式有什么特点？等式右边的多项式有什么规律？任务 3、你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？任务 4、举两道例题说明什么情况下可用这一规律？怎样用？（组内交叉完成）（设计意图：让学生通过自己动手，发现把具有特殊形式的多项式相乘会有特殊的规律，同 时培养他们实践、观察、猜想、归纳、再实践的能力。）（二）自主学习，合作探究（活动方式：学生学习，教师巡视。在活动中教师重点关注学生，能否正确的计算、分析， 积极的思考讨论。对出现的问题让其展示出来，

7、发动学生进行评价，以增强教学的有效性。） （预设的情况：任务 1 和 2 会比较快的达成一致意见，任务 3 教师需要对一些小组加以引导 和规范，并要一个组把其结果展示在中间黑板上。任务 4 教师若发现需要展示的可以用实物 投影仪。）（三）展示反馈，评价提升（任务 1 和 2 可以让一个小组口头展示，正常情况可以达成共识，不需再讲解。）（教师就学生展示在黑板上的任务 3 进行总结。）师：我们把这个规律称之为“平方差公式”（教师板书课题同时要求学生读出其展示的内容） 生：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。师：能用字母表示吗？生：(a+b)(a-b)=a-b2 2（教师板书在课题下

8、面）师：在完成任务 4 的时候，哪个组内出现了形式不满足此公式的情况，请实物展示给大家以 期借鉴。（设计意图：通过从一般到特殊的认识过程，让学生自己实现知识的建构，通过归纳得到“平 方差公式”，让学生体会数学思想方法在知识建构中的作用，同时让学生大胆猜想，增强学 生的探究意识。）第二次循环（一）应用理解，明确任务（借助投影仪）任务 1、按要求填写下面的表格算式(x+y)(x-y)(2x+1)(2x-1)与平方差公式中 a 与平方差公式中 写 成 “a2-b2” 的 形 对应的项 b 对应的项 式计算结果(2a-3b)(2a+3b)任务 2、计算：1、（2x+y)(2x-y)=2、(9x+5y)

9、(9x-5y)=任务 3、思考:你能计算吗？ (1)（-4a-0.1）(-4a+0.1)(2) (2x+y)(y-2x)上面各式能不能用平方差公式进行计算？如果能的话，每一式可以看作是哪两式（或数） 的和与差的积？任务 4、应用探究给（a+b)乘上一个什么样的多项式能构成一个平方差公式的形式任务 5、计算下列各题：（选 做）(1)1002998 (转化思想)(2) (x+y)(x-y)(x2+y2) (灵活运用)(3) (a+b)2-(a-b)2 (逆向思维训练)（设计意图：由于学生的能力有一个发展过程，理解公式的特征与字母的广泛含义以及对于 公式的灵活应用这个难点的突破都需要由易到难逐步安排

10、，不能操之过急。所以任务 5 的三 种类型题的设置，只供学有余力的学生选做。）（二）自主学习，合作探究（活动方式：1 到 3 组的 C 类学生把任务 1 完成在黑板上，2 到 6 组的 C 类学生把任务 2 完 成在黑板上，7 到 9 组的 B 类学生把任务 3 完成在黑板上，10 到 12 组的 B 类学生把任务 4 完成在黑板上，下面的学生在把 4 个任务完成之后要关注自己组上面展示的代表是否需要帮 助，可以即时给以指正。同时四个任务都解决了或都思考过之后可以交流讨论，有能力的学 生争取完成任务 5。）（操作意图：下要包底，上不封顶。）（三）展示反馈，评价提升（活动方式：竞争组的 A 类学

11、生去评价对方已经展示在黑板上的内容，其他组可以补充，必 要时教师要做出评判与提升。时间许可时可以让学生用实物投影展示任务 5。）七、目标检测设计1、计算：（1）(m+n)(n-m)=（2）(-2y+3)(2y+3)=2、判断正误：如果错误，应怎样改正？( 1 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 ( 2 ) (-a+b)(-a-b)=-a2-b2 ( 3 ) (2x+3)(2x-3)=2x-9 ( 4 ) (3x-1)(-3x-1)=9x2-1( )( )( )( )3、根据平方差公式的特点，编 4 个能利用平方差公式计算的题目。有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有

12、理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理 数的倒数。2、通过实例，探究出有理数除法法则。会把有理数除法转化为有理数乘法，培养学生的化 归思想。重点：有理数除法法则的运用及倒数的概念难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商，0 不能作除数以及 0 没有倒数的理解。教学过程：一、创设情景，导入新课1、有理数乘法法则两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶 数个时，积为正。有一个因数是 0，积就为 0.2、有理数乘法运算律：ab = ba (a b) c = a (b c). a(b+c)=a b +

13、ac3、计算（分组练习，然后交流）（见 ppt）二、合作交流，解读探究1、（1）6 个同样大小的苹果平均分给 3 个小孩，每个小孩分到几个苹果？（2）怎样计算下列各式？（6）3 6（3） （6）（3）学生：独立思考后，再将结果与同桌交流。教师：引导学生回顾小学知识，根据除法是乘法的逆运算完成上例，要求 63 即要求 3？ 6，由 326 可知 632。同理（6）32，6（3）2，（6）（3）2。根据以上运算，你能发现什么规律？对于两个有理数 a,b，其中 b0，如果有一个有理数 c 使得 cb=a，那么我们规定 ab=c，称 c 叫做 a 除以 b 的商。2、从有理数的除法是通过乘法来规定，引

14、导学生对比乘法法则，自己总结有理数除法法则， 经讨论后，板书有理数除法法则。同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除。0 除以以何一个为等于 0 的数都得 0教师指出：为了使商存在且唯一，要求除数不等于 0，即 0 不能作除数。三、应用迁移，巩固提高例 1 计算（1） （24）4 （2）（18）（9） （3） 10（5）引导学生按照有理数除法法则进行计算，既先确定商的符号，再计算绝对值。请四位同学到 黑板做，完成后，师生共同订正。四、合作交流，解读探究1、小学里学过有关倒数的概念是什么？怎么求一个数的倒数？（用 1 除以这个数） 4 和+23的倒数是多少？0 有倒数吗？为什么没有？12、小学里学过的除法与乘法有何关系？例如 100.5=102；05=0（ ），你能总结总5结出一句话吗？（除以一个数等于乘以这个数的倒数）我们已经知道 10（-5）= -2 ，又 10（-15）=-2所以就有：10 （-5）=10（-15）引入倒数的概念。如果两个数的乘积等于 1，那么把其中一个数叫做另一个数的倒数，也称 这两个数互为倒数。这里(-5)(-1 1 )=1，我们把-5 5叫作-5 的倒数。3、50=？，00=？呢？（这些式子无意义）也就是说 0 是没有倒数的。1 2 5提问：（1）以上两组数的计算结果怎样？（2）5 与 ， 与 5 5 2是一对什么数？由