几种重要的分布

1、几种重要的分布第1页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一二项分布0-1分布超几何分布泊松分布几何分布 离散型第2页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 若以X表示进行一次试验事件A（成功）发生的次数，则称X服从01分布(两点分布)。 0-1分布P33一门课程的考试是“及格”还是“不及格”刚出生的新生儿是“男”还是“女”产品检验的结果是“合格”还是“不合格”射击结果是“击中目标”还是“没有击中目标”(0 -1)分布的实际背景若一个试验只产生两个结果，则可以用服从(0-1)分布的r.v来描述例例例例第3页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期

2、一二项分布二项分布的分布律的图形特点二项分布的定义二项分布的实际背景（两个例子）第4页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作 XB(n,p) 用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则特别当 时 就是(0-1)两点分布，即Xb(n,p)二项分布的定义P24注：第5页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一若则问答 XB(n,p), 则 X= X1+X2+Xni=1,2，nX表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.若设 表示第i次贝努里试验中的“成功” 次数.= np所以 = np(1- p)并且独立注：第6页，

3、共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作 XB(n,p) 用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则Xb(n,p)P24例设X表示10次独立重复射击命中的次数，每次射中的概率为0.4，则第7页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一Xb(n,p)二项分布的分布律的图形特点第8页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.二项分布的图形特点：XB(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=(

4、n+1)p达到最大值；( x 表示不超过 x 的最大整数)n=10,p=0.7nPkP82-83第9页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至达到最大值, 随后单调减少.二项分布的图形特点：XB(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值.n=13,p=0.5Pkn0P82-83第10页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一二项分布的实际背景（两个例子）第11页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 若一年中某类

5、保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个人参加这类人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里面， 有40个人死亡的概率; 死亡人数不超过70个的概率.解例记 为未来一年中在这些人中死亡的人数，则当 很大时直接计算二项分布的值是很困难的n 用计算机编程计算 利用第五章介绍的极限定理来计算实际背景：二项分布产生于n重伯努利试验第12页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一共15层小钉Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8高尔顿钉板试验小球最后落入的格数 ?记小球向右落下的次数为 则记小球向左落下的次数为 则实际背景：二项

6、分布产生于n重伯努利试验第13页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一超几何分布第14页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,次品正品M件次品N-M件正品 这种概率分布就称为超几何分布。XH(N, M, n) 超几何分布以二项分布为极限。P85-86，例 3则其中所包含的次品数就是一个随机变量X.P83第15页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,则其中所包含的次品数就是一个随机变量X.P83若设 表示第i次抽到的次品数.i=1,2，

7、（抽签问题）则 X= X1+X2+Xn注：第16页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一泊松分布 泊松分布的定义及图形特点二项分布与泊松分布 泊松分布产生的一般情况泊松分布的例子第17页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一在一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼唤次数。 泊松分布产生的一般情况一本书一页中的印刷错误数某地区在一天内邮递遗失的信件数某一医院在一天内的急诊病人数某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数第18页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 ,

8、, 且概率分布为：其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作XP( ).P86第19页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一若问答则并且独立第20页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一泊松分布的图形第21页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 泊松分布的图形特点：XP( )当 不为整数时，概率P(X=k)在k= 达到最大值；当 为整数时，概率P(X=k)在k= 和 达到最大值；第22页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一P254例设X服从参数为 的泊松分布，且已知则第23页，共74页，2022年，5月2

9、0日，19点27分，星期一C第24页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.二项分布与泊松分布第25页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一泊松定理表明，泊松分布是二项分布B(n,p)的极限分布.当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布第26页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一在一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼

10、唤次数。回顾：泊松分布产生的一般情况一本书一页中的印刷错误数某地区在一天内邮递遗失的信件数某一医院在一天内的急诊病人数某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数泊松定理表明，泊松分布是二项分布B(n,p)的极限分布.当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布第27页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一例某地区疾病资料统计表明，因感冒而导致死亡的比例为0.2%（死因独立）现有1000人患感冒求（1）恰有4人死亡的概率（2）死亡人数不超过2人的概率 泊松分布的例子第28页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一第29页，共74页，2022年，

11、5月20日，19点27分，星期一例 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P(Xm)0.95的最小的m .进货数销售数第30页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一求满足P(Xm)0.95的最小的m.查泊松分布表得P(Xm) 0.05也即于是得 m+1=10,或m=9件第31页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 某射手连续向一目

12、标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数.P36几何分布 第32页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一均匀分布指数分布正态分布连续型第33页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一则称X在区间( a, b)上服从均匀分布，X U(a, b)若 r .v X的概率密度为：记作均匀分布第34页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 r .v X的概率密度为：X U(a, b) r .v X的分布函数为：F(x)1a b x第35页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一X U(a, b) 这说

13、明在同样长的子区间内概率是相同的，这个概率只依赖于区间的长度而不依赖于区间的位置。 r .v X的概率密度为： 对于长度为l的区间第36页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；第37页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一例 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率解：设A乘客候车时间超过10分钟X乘客于某

14、时X分钟到达，则XU(0,60)1545第38页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一若 r .v X具有概率密度为常数,则称 X 服从参数为 的指数分布.指数分布f(x)xP88第39页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 r .v X具有概率密度f(x)x r .v X的分布函数第40页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一第41页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一例指数分布通常用来描述“寿命”的分布电子元件的寿命；生物的寿命；电话的通话时间；机器的修理时间；营业员为顾客提供的服务时间；指数分布实际背景de平均寿

15、命f(x)x第42页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一设考虑概率指数分布的重要性质-无记忆性如果已知寿命长于 年, 则再活 年的可能性与年龄 无关！即指数分布是“永远年青”的! sts说明什么？第43页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一正态分布正态分布 的图形特点 正态分布的定义标准正态分布正态分布表3 准则正态分布的背景和应用正态分布的和二元正态分布第44页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 正态分布的定义 若r.v X的概率密度为记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中 和 都是常数， 任意， 0，则称X服从参数为 和

16、 的正态分布. P92第45页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大值:令x=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可得f (+c)=f (-c)且 f (+c) f (), f (-c)f ()函数 在 上单调增加,在 上单调减少；第46页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。 当x 时，f(x) 0,第47页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一用求导的方法可以证明，为f (x)的两个拐点的横坐标。x =

17、第48页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一当x 时，f(x) 0,x = 故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大值:第49页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一正态分布 的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.第50页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布 的图形特点第51页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 设X ,X的分布函数是第52页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一标准

18、正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 正态分布由它的两个参数和唯一确定， 当和不同时，是不同的正态分布。第53页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用 和 表示：P93第54页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 一个服从正态分布的随机变量X的线性函数Y=aX+b仍然服从正态分布。,则 N(0,1) 设定理,则 N(0,1) 设P94第55页，共74页，2022年，5月20日，19

19、点27分，星期一 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表表中给的是x0的值.当x0时P260第56页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一当x0时P260第57页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一当x0时正态分布表两个重要的数值：P260第58页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一若N(0,1) 若 XN(0,1),一般正态分布的计算：第59页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 第60页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 第61页，共74页，2

20、022年，5月20日，19点27分，星期一解例设求下列概率值：求得下列概率值3 准则第62页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一总结： 时，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在区间内. 这在统计学上称作“3 准则” （三倍标准差原则）.P260第63页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一例设则 的大小关系是第64页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一自然界许多指标都服从或近似服从正态分布 成年人的各种生理指标：身高、体重、血压、视力、智商等例一个班的某门课程的考试成绩例海浪的高度例一个地区的日耗电量例各种测量的误差例炮弹弹着点例一个地区

21、的家庭年收入例正态分布的背景和应用第65页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一服从正态分布的指标有什么特点一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.为什么叫“正态”分布正态分布密度呈现“中间高，两头低”的形态，它描述了自然界大量存在的随机现象，所以正态分布是自然界的一种“正常状态 ( normal )”的分布.问题？问题？第66页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8正态分布的密度曲线高尔顿钉板试验第67页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一 例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定? 解: 设车门高度为h cm,按设计要求P(X h)0.01或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的 h.第68页，共74页，2022年，5月20日，19点27分，星期一因为XN(170,62),故 P(X0.99所以 =2.33,即 h=170+13.98 184设计车