2012版高三数学一轮 11.2 概率精品复习学案

1、PAGE PAGE - 27 -2012版高三数学一轮精品复习学案第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布11.2 概率【高考目标导航】一、随机事件的概率1考纲点击（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；（2）了解两个互斥事件的概率加法公式。2热点提示（1）多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念现时频率很少直接考查；（2）互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题。二、古典概型1考纲点击（1）理解古典概型及其概率计算公式；（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。2热点

2、提示（1）古典概型的考查主要是等可能事件的概率的求法，通常要结合互斥事件、对立事件求概率；（2）出题形式多样，各种题型均有可能出现。三、几何概型1考纲点击（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；（2）了解几何概型的意义。2热点提示（1）以几何概型的定义和公式为依据，重在掌握常见的两种几何度量长度、面积；（2）主要考查几何概型的理解和概率的求法，多以选择题和填空题的形式出现。【考纲知识梳理】一、随机事件的概率1事件（1）在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件；（2）在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件；（3）在条件S下，可能发生也可能不发生的事件

3、，叫做相对于条件S的随机事件。2概率和频率（1）用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据；（2）在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率；（3）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频繁随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率来估计概率P（A）。注：频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象。当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率。3事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件

4、A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）相等关系若且，那么称事件A与事件B相等A=B并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或和事件）AB（或A+B）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）AB（或AB）互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥AB=对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件注：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的。在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生

5、；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生。所以，两个事件互斥，他们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥。也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件。4概率的几个基本性质（1）概率的取值范围：0P（A）1；（2）必然事件的概率P（E）=1；（3）不可能事件的概率P（F）=0；（4）概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P（AB）=P（A）+P（B）；（5）对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件。P（AB）=1，P（A）=1-P（B）。二、古典概型1基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件

6、的和。2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。注：确定一个试验是否为古典概型主要在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性。3古典概型的概率公式。三、几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。（2）在几何概型中事件A的概率计算公式。注：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。【要点名师透析】一、随机事件的概

7、率相关链接1事件的判断震怒地三种事件即不可能事件、尽然事件和随机事件的概念充分理解，特别是随机事件要看它是否可能发生，并且是在一定条件下的，它不同于判断命题的真假。2对随机事件的理解应包含下面两个方面：（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。例题解析例一个口袋装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球：（1）“取出的球是红球”是什么事件？（2）“取出的球是黑球”是什么事件？（3）“取出的球是白

8、球或黑球”是什么事件？思路解析：结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。解答：（1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件；（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件；（3）由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件。（二）随机事件的频率与概率相关链接1随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；2概

9、率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。例题解析例某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：（1）计算表中进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？思路解析：解答本题可根据频率的计算公式，其中为相同条件下重复的试验次数，为事件A出现的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率。解答：（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为（2）由（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运动员投篮一次，进球的概

10、率约为。（三）互斥事件、对立事件的概率例一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球。从中随机取出1球，求（1）取出的小球是红球或黑球的概率；（2）取出的小球是红球或黑球或白球的概率。思路解析：设事件分析事件的性质根据互斥事件概率求法求解。解答：记事件A=任取1球为红球；B=任取1球为黑球；C=任取1球为白球；D=任取1球为绿球，则（1）取出1球为红球或黑球的概率为（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为注：（1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算。（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方

11、法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算。二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便。（3）互斥事件、对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的基本方法。也可从集合角度来判断，如果A，B是两个互斥事件，反映在集合上是表示A，B两个事件所含结果组成的集合的交集为空集，即AB=；如果A，B是对立事件，则在AB=的前提下，A与B的并集为全集。二、古典概型（一）写出基本事件相关链接1随机试验满足下列条件：（1）试验可以在相同

12、的条件下重复做下去；（2）试验的所有结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在试验之产却不能肯定会出现哪一个结果。所以，随机试验的每一个可能出现的结果是一个随机事件，这类随机事件叫做基本事件。2计算古典概型所含基本事件总数的方法（1）树形图（2）列表法（3）另外，还可以用坐标系中的点来表示基本事件，进而可计算基本事件总数（4）用排列组合求基本事件总数。例题解析例做抛掷两颗骰子的试验：用（x,y）表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于8”；（3）事件“出现点数相等”；（4）

13、事件“出现点数之和大于10”。思路解析：抛掷两颗骰子的试验，每次只有一种结果；且每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验是古典概型，当试验结果较少时可用列举法将所有结果一一列出。解答：（1）这个试验的基本事件为（2）“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：（3）“出现点数相等”包含以下6个基本事件：。（4）“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：（二）求简单古典概型的概率相关链接求古典概型概率的步骤（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结晶是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;（4）利

14、用公式求出事件A的概率。注：并不是所有的试验都是古典概型。例如，在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否“发芽”，这个试验的基本事件空间为发芽，不发芽，而“发芽”与 “不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的。例题解析 例如图，在一个木制的棱长为3的正方体表面涂上颜色，将它的棱3等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中。（1）从这个口袋中任意取出1个正方体，这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率是多少？（2）从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是多少？思路解

15、析：该模型为古典概型，基本事件个数是有限的，并且每个基本事件的发生的等可能的。解答：在27个小正方体中，恰好3个面都涂有颜色的共8个，恰好2个面涂有颜色的共12个，恰好1个面涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的确个。（1）从27个小正方体中任意取出1个，共有种等可能的结果。因为在27个小正方体中，表面没涂颜色的只有1个，所以从这个口袋中任意取出1个小正方体，而这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是。（2）从27个小正方体中，同时任取2 个，共种等可能的结果。在这些结果中，有1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色包含的结果有种。所以从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，

16、其中1个小正体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是。（三）复杂的古典概型的概率求法例袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：（1）A：取出的2个球都是白球；（2）B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球。思路解析：用列举法求出基本事件总数n求出事件A、B包含的基本事件数m根据古典概型公式坟概率。解答：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6。从袋中的6个小球中任取2个的方法为共15种。（1）从袋中的6个球中任取2个，所取的2个球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种。即：取出的2个球全

17、是白球的概率为。（2）从袋中的6个球中任取2个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8种。取出的2 个球中1个是白球，另1个是红球的概率为。注：（1）在古典概型条件下，当基本事件总数为n时，每一个基本事件发生的概率均为，要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A中所含基本事件数m，再由古典概型概率公式求出事件A的概率。（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解。三、几何概型（一）与长度有关的

18、几何概型相关链接1如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P（A）=。2将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。例题解析例在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是 思路解析：解决概率问题先判断属于什么概率模型，本题属几何概型，把问题转化为化成：直径上到圆心O的距离小于的点构成的线段长与直径长之比。解答：记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图

19、，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF（此时F为OE中点），由几何概型公式得：。答案：（二）与面积（体积）有关的几何概型相关链接1如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：。2“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型。3如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：。注：解决此类问题一定要注意几何概型的条件。例题解析例如图，射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为

20、金色，金色靶心叫做“黄心”。奥运会的比赛靶面直径是122cm，靶心直径是12.2cm，运动员在70米外射箭。假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？思路解析：求出大圆的面积n求出“黄心”的面积m由几何概型的概率求法得。解答：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为，即“射中黄心”的概率是。（三）生活中的几何概型例两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等

21、的，求两人在约定时间内相见的概率。思路解析：两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时。设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当，因此转化成面积问题，利用几何概型求解。解答：设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当。两人到达约见地点所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）不表示。因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为注：对于活生生中的几

22、何概型问题：（1）要注意实际问题中的可能性的判断；（2）将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域。（3）如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为：。解决此类问题事件A的角必须含在事件的全部构成的角之内。【感悟高考真题】1.（2011广东高考理科6）甲、乙两队进行排球决赛现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队

23、胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A. B. C. D.【答案】选D.由题意知，乙队胜的概率为，由对立事件概率公式得，甲队获胜的概率为.故选D.2（2011安徽高考文科9）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）（A） （B） （C） （D）【答案】选D. 基本事件总数是=15，观察可得构成3个矩形.所以是矩形的概率为3.（2011福建卷理科4）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（ ）(A). (B). (C). (D).【答案】选C. 由题意知，4（2011福建卷文科

24、7）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（ ）（A） （B）. （C）. （D）. 【答案】选C. 由题意知，5.（2011新课标全国高考理科4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A B. C. D.【答案】选A. 先从3个兴趣小组中选1个，有种方法；乙两位同学都参加这个兴趣小组的概率为故这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为6.（2011新课标全国高考文科6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可

25、能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A. B. C. D. 【答案】选A. 先从3个兴趣小组中选1个，有种方法；乙两位同学都参加这个兴趣小组的概率为故这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为7.（2011辽宁高考理科5）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(BA)=(A) (B) (C) (D)【答案】选B，从.5中任取2个不同的数，共有10个基本事件：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）事件A发生共有4个基本事件：（1，

26、3），（1，5），（3，5），（2，4）事件B发生共有1个基本事件：（3，5）事件A，B同时发生也只有1个基本事件：（3，5）根据条件概率公式得，8（2011陕西高考理科T10）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】选D.甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有（种）；最后一小时他们同在一个景点的情形有（种），所以9.（2011浙江高考理科9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。若将其随机地并摆放到图书架的同一层上，则同

27、一科目的书都不相邻的概率是（A） （B） （C） （D） 【答案】选B.解法一：基本事件总数为,同一科目中有相邻情况的有个,故同一科目都不相邻的概率是.解法二：由古典概型的概率公式得.10. （2011浙江高考文科8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（A） （B） （C） （D）【答案】选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球共有个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是.11.（2011江西高考理科12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内

28、投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .【答案】记“看电影”为事件A，“打篮球”为事件B，“不在家看书”为事件C.12（2011湖南高考理科T15）如图4，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P(A)=_；（2）P（B|A）=_.【答案】.关键是计算出正方形的面积和扇形的面积.13.（2011湖南高考文科T15）已知圆C：直线l：4x+3y=25.（1）圆C的圆心到

29、直线l的距离为_；（2）圆C上任意一点A到直线的距离小于2的概率为_【答案】5，（1）的圆心(0,0)到直线4x+3y=25的距离为：d=.（2）作一条与4x+3y=25平行而且与4x+3y=25的距离为2的直线交圆于A，B两点，则.14.（2011福建卷理科13）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_.【答案】 .由题易知，从5个球中随机取出2个球共有种不同取法，而取出的球颜色不同共有，故所取出的2个球颜色不同的概率为15.（2011江苏高考5）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一

30、个的两倍的概率是_【答案】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，共有（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）6个基本事件，其中一个数是另一个的两倍的有（1,2），（2,4）2个基本事件，所以其中一个数是另一个的两倍的概率是16.（2011福建卷文科19）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(I)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c的值；(II)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1

31、,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.【答案】）由频率分布表得，即，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以等级系数为5的恰有2件，所以从而，所以（II）从日用品中任取两件，所有可能情况为：，.设事件A表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为，共4个.又基本事件的总数为10,故所求的概率17.（2011新课标全国高考文科19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，

32、且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A分配方和B分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组频数B配方的频数分布表指标值分组频数（）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（II）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.【答案】（）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3.由实验结果知，用B配

33、方生产的产品中优质品的频率为=0.42，所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.（II）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率当且仅当t94,由试验结果知，t94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为=2.68（元）.18.（2011山东高考文科18）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教

34、师来自同一学校的概率.【答案】(I) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为.（II）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲

35、男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.19（2011湖南高考文科T18）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关.据统计，当X=70时，Y

36、=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，220，140，110，160，220，140，160.（）完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率.【答案】（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六

37、月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率（II）故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为20.（2011江西高考文科16）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求此人被评为优秀的概率；（2）求此人被评为良好及以上的概率.【答案】将5杯饮料编号为：1,2,3,

38、4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）可见共有10种，令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则P(D)=P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=.21.（2011陕西高考文科T20）如图，A地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间（分钟）10202030304040505060选择的人数612181212选择的

39、人数0416164（）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；（）分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的频率；（）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径【答案】（）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44.（）选择的有60人，选择的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间（分钟）10202030304040505060选择的人数0.10.20.30.20.2选择的人数00.10.40.40.1（）用，分别表示甲选择和

40、时，在40分钟内赶到火车站；用，分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站由（）知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1) P(A2)，甲应选择路径；P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）P（B1）， 乙应选择路径.22.（2011天津高考文科15）编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号得分1535212825361834运动员编号得分1726253322123138（）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间人数（）从得分在区间内的运动员中随

41、机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率【答案】（）【解析】4，6，6（）（i）【解析】得分在区间内的运动员编号为从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：，共15种. （ii）【解析】“从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：，共5种.所以23.（2011北京高考文科T16）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.甲组 乙组9 9 0 X 8 91 1 1 0（）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（）如果X=9，分别

42、从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.（注：方差，其中为的平均数）【答案】当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的棵数是8，8，9，10，所以平均数为；方差为.（）记甲组四名同学为，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是,故所求概率为.24（2010辽宁理数）（3）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件

43、中恰有一个一等品的概率为（A） (B) (C) (D)【答案】B【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则P(A)=P(A1)+ P(A2)=25（2010江西理数）11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则A. = B. D。以上三种情况都有可能【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业

44、，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为，总概率为；同理，方法二：每箱的选中的概率为，总事件的概率为，作差得a的概率是 （A） (B) （C） (D)答案：D27（2010上海文数）10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。解析：考查等可能事件概率“抽出的2张均为红桃”的概率为28（2010湖南文数）11.在区间-1,2上随即取一个数x，则x0,1的概率为 。【答案】【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。29（2010重庆理数）（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两

45、次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_.解析：由得30（2010安徽理数）15、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_（写出所有正确结论的编号）。； ； 事件与事件相互独立；是两两互斥的事件； 的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关15.【解析】易见是两两互斥的事件，而。【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在是两两互斥的事

46、件，把事件B的概率进行转化，可知事件B的概率是确定的.31（2010陕西文数）19 （本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在170185cm之间的概率；（）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率。解 （）样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。（）有统计图知，样本中身高在170185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170185

47、cm之间的频率故有f估计该校学生身高在170180cm之间的概率（）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为 样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率【考点模拟演练】一、选择题1某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为()A0.40 B0.30C0.60 D0.90解析：依题意，射中8环及以上的概率为0.20

48、0. 300.100.60，故不够8环的概率为10.600.40.答案：A25张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为()A.eq f(3,5) B.eq f(2,5)C.eq f(3,4) D.eq f(2,3)解析：从5张卡片中随机抽取2张，共有10个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，其中卡片上数字之和为奇数的有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共6个基本事件，因此所求的概率为eq f(6

49、,10)eq f(3,5).答案：A3把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A对立事件B不可能事件C互斥事件但不是对立事件D以上答案都不对解析：由互斥事件和对立事件的概念可判断答案：C4已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是()A合格产品少于9件B合格产品多于9件C合格产品正好是9件D合格产品可能是9件解析：因为产品的合格率为90%，抽出10件产品，则合格产品可能是1090%9件，这是随机的答案：D5(2011德州模拟)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两

50、个球，则恰好取到两个同色球的概率是()A.eq f(1,5) B.eq f(3,10)C.eq f(2,5) D.eq f(1,2)解析：任取两球的取法有10种，取到同色球的取法有两类共有314种，故Peq f(2,5).答案：C6(2011金华十校联考)在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是()A.eq f(1,10) B.eq f(3,10)C.eq f(2,5) D.eq f(1,4)解析：取2个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)

51、，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十种，其中标注的数字之差的绝对值为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共四种，故所求的概率为eq f(4,10)eq f(2,5).答案：C7现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为()A.eq f(1,5) B.eq f(2,5)C.eq f(3,5) D.eq f(4,5)解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的并P(BDE)P(B)P(D)P(E)eq f(1,5)eq

52、f(1,5)eq f(1,5)eq f(3,5).答案：C8同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于()A.eq f(1,4) B.eq f(1,3)C.eq f(3,8) D.eq f(1,2)解析：共238种情况，符合要求的有(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)3种Peq f(3,8).答案：C9口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为()A0.45 B0.67C0.64 D0.32解析：P10.450.230.32.答案：D10设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2ax20有

53、两个不相等的实数根的概率为()A.eq f(2,3) B.eq f(1,3)C.eq f(1,2) D.eq f(5,12)解析：由方程x2ax20有两个不相等的实数根，得a280，故a3,4,5,6.根据古典概型的概率计算公式有Peq f(4,6)eq f(2,3).答案：A11.某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为()A800 B1000 C1200 D1500 解析：因为a、b、c成等差数列，所以2bac，eq f(

54、abc,3)b，第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1200双皮靴答案：C12.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50,60)的同学有30人，若想在这n个人中抽取50个人，则在50,60)之间应抽取的人数为()A10 B15 C25 D30 解析根据频率分布直方图得总人数neq f(30,10.010.0240.03610)100，依题意知，应采取分层抽样，再根据分层抽样的特点，则在50,60)之间应抽取的人数为50eq f(30,100)15.答案

55、；B二、填空题13在1,2,3,4,5这5个自然数中，任取2个数，它们的积是偶数的概率是_解析：从5个自然数中任取2个数共有10种取法，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，若两个数的积是偶然，则这两个数中至少有一个是偶数，满足条件的有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)共7种情况，故所求概率为eq f(7,10).答案：eq f(7,10)14若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线xy5下方的概率为_解析：试验是连续掷两次骰子，故共包含36个基本事件事件