概率论课件概率统计电子教案

1、1.3 频率与概率 概率是随机事件发生的可能性大小的一种量度，度量的方式是否符合实际应该由实践来检验。例如，前面多次提到的上抛一枚均匀硬币的随机试验中，按古典概率算得“出现正面”这一随机事件A的概率为P(A)=0.5。如果我们把这枚均匀硬币上抛10000次，那么，出现正面(即事件A发生)的次数是否会是5000次左右呢?通常称： 为事件A在n次重复试验中出现的频率，其中 表示事件A在n次重复试验中出现的次数,即频数。换句话说，事件A的概率是否会与10000次重复试验中A出现的频率大致相等呢? 历史上不少人做了试验，得到了许多数据，限于篇幅，下面列出三组数据： 试验者 试验次数n 出现正面的频数

2、出现正面的频率 蒲丰 4040 2048 0.5069 K.皮尔逊 12000 6019 0.5016 K.皮尔逊 24000 12012 0.5005 从这三组数据可以看出，当试验次数n较大时，频率 的值在0.5附近，并且随着n的增大它逐渐稳定到0.5这个数值上。因而，概率P(A)=0.5的确反映了抛起一枚均匀硬币时出现正面这一事件发生的可能性的大小。 人们经过长期的实践发现，虽然一个随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，但是在大量重复试验中这个事件发生的频率却具有稳定性，这种稳定性正是统计规律性的反映。频率的稳定性提供了一般地定义事件概率的一个客观基础。 频率的稳定性不断被人类的实践活

3、动所证实。例如，英语中英文字母出现的频率也具有稳定性。E、T、O之类的字母出现的频率较高，而J、Q、Z之类的字母出现的频率较低。这个规律对于电脑键盘的设计、印刷铅字的铸造、信息的编码（常用字母用较短的码）、密码的破译等等都是十分有用的。 频率的稳定性在理论上已经被证明，有关的内容我们将在5.1中作介绍。 对于任意一个事件A，n次重复试验中事件A发生的频率随着n的增大将稳定到某个常数，这个常数表现为事件A的一种属性。称这个常数为事件A的概率的统计定义。在具体问题中，按统计定义来求出概率是不现实的。因此，在实际应用时往往就简单地把频率当作概率来近似地使用。 例8 为了设计某路口向左转弯的汽车候车道

4、，在每天交通最繁忙的时间（上午9时）观测候车数，共观测了60次（天），得数据如下：等候车辆数 0123456总和出现的(天)数416201432160频率试求上午9时在该路口至少有5辆汽车在等侯左转弯的概率。 解 设事件A表示“至少有5辆汽车在等侯左转弯”。在60次观测中，事件A发生的频率 实际工作者往往就认为至少有5辆汽车在等侯左转弯的概率为0.05。 以频率取代概率在社会科学（例如经济类学科）中已被广泛地使用，即使当试验次数n不大时也是如此。1.4 概率的公理化定义与性质 古典概率与几何概率都是在等可能性的基础上建立起来的，因而它们的定义与使用都有很大的局限性。概率的统计定义涉及频率的稳定

5、性，由此计算概率往往涉及大量的重复试验，这是很不现实的。简单地把频率作为概率，虽然也不失为一种较有效的方法，但是它有随机波动性。例如，两人各抛同一枚硬币10000次，一人发现了5002次正面，另一人发现了5010次正面，那么，在0.5002与0.5010这两个频率中究竞用哪一个作为概率呢? 人们经过研究发现，不论是古典概率还是几何概率或频率都具有下列三条基本性质： (I) 非负性：对于任意一个事件A， ； (II) 规范性： ； (III)可加性：当事件A,B互不相容时， 在上述三条性质的基础上，数学家们采用抽象化的方法给出了概率的一般定义。 定义（概率的公理化定义） 给定一个随机试验， 是它

6、的样本空间，对于任一事件A，规定一个实数，记作P(A)。如果P()满足下列三条公理，那么就称P(A)为事件A的概率。 公理1 非负性：对于任意一个事件A， ； 公理2 规范性： ； 公理3 可列可加性：当可列无限个事件 两两互不相容时， 下面我们将从这三条公理出发来推导概率的一些重要性质。 性质(i) 证明 在公理3中，取 。于是，由可列可加性推得 由公理1知道，实数 。因此，要使上式成立，只能有 。 性质(ii)(有限可加性) 当n个事件 两两互不相容时， 证明 在公理3中，取 。于是， 是可列无限个两两互不相容的事件。由可列可加性及性质(i)推得 性质(iii) 对于任意一个事件A： 证明

7、 在性质(ii)中，取 ,于是，由 推得 即 性质(iV) 对于任意的两个事件A和B，有 当事件A,B满足 时，有 证明 在性质(ii)中，取 ，由 可知， 由此推得 当 ，有 ，于是 由公理1知道 ，因此， 性质(V) 对于任意一个事件A， 。 证明 在性质(iV)中，取 ，于是，由公理2推得 性质(vi)(加法公式) 对任意两个事件A,B： 证明 由于 ， 由有限可加性及性质(iV)推得 加法公式可以推广到更多个事件上去。例如，对于任意三个事件A,B,C：一般地，对于任意n个事件 ，用数学归纳法不难证明 适当地运用概率的性质有助于我们计算较为复杂的事件的概率。 例1 某种饮料浓缩液每箱装1

8、2听，不法商人在每箱中放入4听假冒货，今质检人员从一箱中抽取3听进行检测，问查出假冒货的概率为多少? 解 设事件A表示“抽取的3听中至少有1听是假冒货”。 记事件 表示“抽取的3听中恰有 听是假冒货”，由古典概率的计算公式得到： 由于事件 两两互不相容，且 ，因此，由概率的有限可加性推得 此题也可用另一种解法：设事件A的逆事件 表示“抽取的3听中没有1听是假冒货”。由古典概率的计算公式得到 例2 已知事件A、B、C满足求事件A、B、C至少有一个发生和事件A、B、C均不发生的概率。 解 由 可知，于是，事件A、B、C至少有一个发生的概率事件A、B、C均不发生的概率例3 已知 ，试在下列两种情形下

9、分别求出 与 。 (1)事件A,B互不相容； (2)事件A,B有包含关系。 解 (1)由于 ，因此， ，于是 (2)由于 ，因此，由性质(iV)推得必定是 ，于是 前述概率的性质实际上给出了一些概率的计算公式。这些公式不仅有助于我们计算复杂随机事件的概率，而且也是我们下面进一步学习概率知识的基础。1.5 条件概率与随机事件的独立性 在大千世界中，事物是互相联系、互相影响的，这对随机事件也不例外。在同一试验中，一个事件发生与否对其他事件发生的可能性的大小究竟是如何影响的？这便是本节将要讨论的内容。一、条件概率 首先我们来考察一个简单的例子。 例1 某家电商店库存有甲、乙两联营厂生产的、相同牌号的

10、冰箱100台。甲厂生产的40台中有5台次品；乙厂生产的60台中有10台次品。今工商质检队随机地从库存的冰箱中抽检1台试求抽检到的1台是次品(记为事件A)的概率有多大? 其答案是 如果商店有意让质检队从甲厂生产的冰箱中抽检1台，那么，这1台是次品的概率有多大? 由于样本空间不再是全部库存的冰箱，而是缩小到甲厂生产的冰箱，因此，事件A的概率为 这两个概率不相同是容易理解的，因为在第二个问题中所抽到的次品必是甲厂生产的，这比第一个问题多了一个“附加条件”。 设事件B表示“抽到的产品是甲厂生产的”。则第二个问题可看作是在“已知B发生”的附加条件下，求事件A的概率。这个概率便是下面将要研究的条件概率，记

11、作 ，它表示“在已知B发生的条件下，事件A发生的概率”。 仔细观察后发现， 与 之间有如下关系：其中， 上述关系式虽然是在特殊情形下得到的，但它对一般的古典概率、几何概率与频率都成立。在这个关系式的基础上，我们给出一般的定义。 定义 给定一个随机试验， 是它的样本空间。对于任意两个事件A,B，其中P(B)0，称 为在已知事件B发生的条件下事件A的条件概率。 不难验证，条件概率 满足概率的公理化定义中的三条公理，即 （1）非负性：对任意一个事件A, 。 （2）规范性： 。 （3）可列可加性：当可列个事件两两互不相容时 对于条件概率也可由概率的三条基本性质导出其它一些性质，例如 由条件概率的定义可

12、以得到概率的乘法公式：当P(B)0时， 若还有 ， 则也可定义 ，这时有 乘法公式可以推广到更多个事件上去。例如，当P(AB)0（这保证 ）时： 一般地，当 时，可得：用数学归纳法很容易可以验证。 例4 某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.6。该建筑物经历了50年之后，它将在10年内倒塌的概率有多大? 解 设事件A表示“该建筑物使用寿命超过50年”，事件B表示“该建筑物使用寿命超过60年”。 按题意， ，由于 ，因此， 。所求条件概率为 下面我们讨论一个卜里耶的摸球模型，这个模型可以用来作为描述传染病的数学模型。 例5 （摸球模型）今有一个装有a个红球和b

13、个白球的罐子。现从中摸一个球，再将球放回，并又放入同色球r个。这样进行n次后，问先连着出现m次红球，再连着出现n-m次白球的概率。 解 设事件 表示“顾客在第i次摸球时发现红球”，则 表示“顾客在第i次摸球时发现白球”。 由概率的乘法公式得，所要求的概率是： 注意这个答案只与红球与白球出现的次数有关，而与出现的顺序无关。比如，试验共进行了3次，要计算三个球中有一个白球的概率，则只需把 带入即可得 特别地，取 则是有放回的摸球，取 则是无放回的摸球。二、随机事件的独立性 在一个随机试验中，A、B是两个事件，一般情形下它们是否发生是相互影响的，这表现在 但是，在有些情形下，成立。在这种情形下，我们

14、给出下列定义： 定义 对于任意两个事件A、B，如果等式 成立，那么称事件A、B相互独立。 定理1 如果 ，那么两个事件A、B相互独立的充分必要条件是： ；如果 ，那么两个事件A、B相互独立的充分必要条件是 。 定理2 下列四个命题是等价的： （1）事件 相互独立； （2）事件 相互独立； （3）事件 相互独立； （4）事件 相互独立。 定理的证明显而易见，比如（1）推（2） ： 事件的独立性可以推广到更多个事件上。 定义 对于任意三个事件A、B、C，如果四个等式 都成立，那么称事件A、B、C相互独立。 这里我们作四点说明： （1）在定义中如果 只满足前三个等式，称事件 两两独立。 （2）对于任

15、意n个事件 ，当且仅当对任意一个 ，任意的 ，等式 都成立时，称事件 相互独立。 这里要求成立的等式总数为 （3）对于多个事件的相互独立性，可以证明类似于前面定理的结论都成立。 （4）在具体应用问题中，独立性可以根据实际问题来判定。 例6 甲、乙、丙三部机床独立工作，有一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85；求在这段时间内 （1）有机床需要工人照管的概率； （2）至少有两台需要工人照管的概率； 解 设事件 分别表示“在某段时间机床甲、乙、丙不需要工人照管”，由题意可知， 相互独立，且 ，因此， （1）有机床需要工人照管的概率为 （2）至少有两台需要工人照

16、管的概率为 例7 现有4箱产品，其中一箱是甲厂生产的，一箱是乙厂生产的，一箱是丙厂生产的，剩余的一箱混有甲、乙、丙三个厂生产的产品；现随机地取出一箱，设事件A表示“取到的这箱中有甲厂生产的产品”，事件B表示“取到的这箱中有乙厂生产的产品”，事件C表示“取到的这箱中有丙厂生产的产品”，问 是否相互独立？ 解 由已知条件可知所以由前面的定义知： 两两独立，但不相互独立。 例8 已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的，今混合100个人的血清，试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率。 解 设事件 表示“混合后的血清中含有肝炎病毒”，事件 表示“第 个人的血清中

17、含有肝炎病毒”，则所以 从此例中我们可以看到，虽然每个人的血清中含有肝炎病毒的概率都很小，但是，把许多人的血清混合后，其中含有肝炎病毒的概率却很大；换句话说，小概率事件有时会产生大效应，在实际问题中应该引起足够的重视。 三、独立性在可靠问题中的应用 对于一个元件，它能正常工作的概率，称为它的可靠性。元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性。随着近代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统的可靠性的研究一发展成为一门新的学科：可靠性理论。 这里我们通过一些例子来说明有关的概念。 例8 如果构成系统的每个元件的可靠性均为 ，其中 ，且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下面系统的可靠性。 （1

18、） （2） 解（1） 每条通路能正常工作，当且仅当该通路上各元件正常工作，故每条通路上的可靠性为： ，即每条通路上发生故障的可能性为： ，由于系统由两条通路并联而成，两条通路上同时发生故障的概率为 因此上述系统的可靠性为： n11n2212nn12 （2）每一对并联元件的可靠性为： ，系统由每对并联元件串联而成，故其可靠性为： 虽然两个系统都是由2n个元件组成，但比较系统（1）和（2）的可靠性可知，系统（2）的可靠性要大于系统（1）的可靠性，因为 。四、贝努利概型与二项概率 如果在一个试验中，只关心某个事件A是否发生，那么称这个试验为贝努利试验，相应的数学模型称为贝努利概型。通常记 ，因此， 。如果把贝努利试验独立地重复做n次，这n个试验合在一起称为n重贝努利试验。在n重贝努利试验中，主要研究事件A发生的次数。 设事件 表示“n重贝努利试验中事件A恰好发生了k次” ，通常记 为 ，由于n个试验是相互独立的，因此，把全体 相加后得到因此，称 为二项概率，它恰是 的二项式展开中第 项。 例1 一份试卷上有100道单项选择题，每一道题4个答案，其中只有一个是正确的，现有一个学生来做题，试问他考一百分的概率是多大？ 解 这是一个贝努利试验， 其中 如