光波技术基础

1、光波技术基础第1页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一Maxwell方程组Maxwell方程强度：E：电场强度，H：磁场强度通量密度：D：电位移矢量，B：磁感应强度f：自由电荷密度，Jf：自由电流体密度2.32.12.22.42.52.6边界条件12nE1H1B1D1E2H2B2D22.82.92.102.11切向连续法向连续一、光波导的基本方程场和场源之间的关系(r)：张量介电常数(r)：张量磁导率第2页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一波动方程E,H诸量随时、空的变化关系只考虑线性的、各向同性的、透明媒质、非时变的：各向同性介质：透明：无自由电荷、无磁

2、性： f=0， Jf=0， 0非时变：对（1）式两边求旋度类似地：磁导率，真空磁导率0：介电常数=真空介电常数*相对介电常数均匀介质（为常数和 ）或变化缓慢的介质（为常数和 ） 最简单的波动方程第3页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一波动方程式简化光纤材料线性、各向同性、透明介质、均匀z向 传输波半无限长，纵、横向差别极大光纤中的电磁波单色：Z向传输波：Helmholtz方程波动方程简化的波动方程式第4页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一谐变电磁场（或单色光波）的波动方程Helmholtz方程Maxwell方程&Helmholtz方程严格地忽略损耗第5页

3、，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一传输波z变量分离由波动方程可知：影响光波导传输特性的，主要是折射率的空间分布对于折射率分布沿纵向（z向）不变的光波导（如：光纤、平面波导），其数学描述为可以证明，相应的光场是沿z传输的传输波，可表示为分离形式忽略传播常数， E(x,y)和H(x,y)表示E,H沿波导横截面的分布，称为模式场相应的Helmholtz方程为：t-垂直于z方向的横向第6页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一模式根据偏微分方程理论，对于给定得边界条件，上述方程有无穷个离散得特征解，并可进行排序。每一个特征解为：每一个特征解称为一个模式，波导中总的光

4、场分布则是这些模式的线性组合：模式特性：稳定性：模式沿z向传输时，其场分布形式不变有序性：模式是离散的、可以排序的。排序法有二：其一，以大小排序， 越大序号越小；其二，以（x,y）排序叠加性：总场分布是这些模式的线性叠加正交性：不同模式之间满足正交关系，即：第7页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一纵向场与横向场由于光纤及平面波导结构的纵向和横向差别极大，求解其中的光场时常分解为纵向分量和横向分量之和，微分算符也可表示为纵向和横向的叠加：E=exEx+ eyEy+ezEz, H=exHx+eyHy+ezHzE=Et+ ezEz H=Ht+ezHz代入Maxwel可得：第8页，

5、共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一纵向场与横向场（续）对于模式场同样有于是：代入上式，有在直角坐标系下只有两个独立变量，其余四个量可由方程组中的4个求出用Ez和Hz表示的其它分量表达式为：基本波导方程式。利用这些方程式，只要从波动方程求出两个分量，其它场分量就可以得到第9页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一自由空间的均匀平面波在与传播方向垂直的无限大平面上，电场强度E和磁场强度H的幅度和相位都相等。kEHezexeyMaxwellHelmholtz平面波解E、H、k相互正交第10页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一电磁场的能量密度和能流

6、密度时变电磁场中的一个重要现象：电场能量密度随电场强度变化，磁场能量密度随磁场强度变化空间各点的能量密度变化引起能量流动！坡印亭(Poyting)矢量P=EH第11页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一能量密度观察点上单位体积内电磁场具有的能量能流密度P=EH反映电磁场能量传播的大小和方向观察点上，从垂直于P的单位面积上流出的功率电磁场能量守恒定律在体积V上积分，S为V的表面，ds方向为V的外法线方向单位时间内从体积V的表面上流出的电磁场能量该体积内电磁场能量的减少率自由空间中沿k方向传播的单色平面波谐变电磁场瞬态行为与平均行为P/k第12页，共30页，2022年，5月20日

7、，4点12分，星期一二、平面及条型光波导理论场分解和模式分类TE模模场解导模条件特征方程模式TM模传播常数模式分析色散特性多模群延时第13页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一场分解与模式分类限制层波导层限制层n3n1n2xyzhz方向波导几何形状不变，电磁场沿z方向传输，变量z可分离：平面波导在y方向无限延伸，场分量在y方向没有变化第14页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一基本波导方程化为：导波中的模式场可分解为TE模和TM模对于TE模：Ez0，Ex=Hy=0, 仅有Ey, Hx 和Hz三个场分量,表示为（0,Ey,0,Hx,0,Hz) 对于TM模：Hz

8、0，Ey=Hx=0, 仅有Ex, Ez 和Hy三个场分量,表示为（Ex,0,Ez,0,Hy,0)场分解与模式分类(续）第15页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一TE模1、TE模的解Ey是TE模电场仅有的分量代入波动方程,有解得：其中，根据基本波导方程，Hx和Hz可由右式求得：第16页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一2、导模条件波导内呈振荡形式解，应有介质板外场分量应迅速衰减，应有对于导模考虑到导模条件为：与光线理论结果相同第17页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一3、特征方程-求解的方程边界条件：边界上横向分量连续当x0时，应有Ey

9、1=Ey2, Hz1=Hz2,代入模式解可得当xh时，应有Ey1=Ey3, Hz1=Hz3,代入模式解可得对于上述两式组成的线性齐次方程组，要使A、B有非零解，须令系数行列式为零，即由此可求得特征方程为：&第18页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一3、特征方程（续）令 为第一象限角，且 ，则由特征方程可表示为： m0,1,2，分别对应着TE0,TE1,TE2模式。由 可知，和实际上表征了传输矢量k的横向和纵向分量,所以特征方程又可化为： Kx( )kz()k与光线理论结果一致第19页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一相干加强条件同一波阵面上各点的振动情况

10、完全相同，相位相同或相差2整数倍kkxkzhABCD波前n1n2n332满足全反射条件时，只有某些以特定角度入射的光线才能在波导内传导，每一种可以传导的电磁波称为波导的一种模式。附：光线理论中的相干加强条件与上述波动理论结果一致第20页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一所谓模式，就是波导中容许存在的一种场结构的形式，这种场结构既满足Maxwell方程组也满足电磁场的边界条件不同模式，其场分量在波导横截面上的分布不同，其传输常数也不同模式的传输常数由波导物理量和光波长确定：4、模式考虑对称波导n2=n3，特征方程化为：进一步（偶TE模）（奇TE模）其中：引入参数导模条件模式必

11、须同时满足导模条件和特征方程，U-W图曲线中的一个交点代表一个模式故传播常数可由交点的横坐标Um（或纵坐标Wm）结合波导的物理量n1,n2,h算出/23/22归一化频率：波导物理量和波长第21页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一TM模分析方法相似于TE模Hy是TM模电场仅有的分量波动方程解其中TM模的解第22页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一特征方程边界条件：Hy, Ez连续对称波导or TM模（续）化为弱导近似下（n1n2)TE,TM模简并U-W曲线第23页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一传输常数（特征值）归一化播常数：弱导近似

12、弱导近似下，TE,TM模的特征方程，可化为：V-b曲线导模条件：0b/2，TE1(TM1）模就能在波导中存在；反之，若V m/2可得该模式的截止波长为：光线理论第26页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一cck1某模式截止时该模式的U=Vm/2c也可表示为与光线理论结果一致单模条件TE0(TM0)的截止频率为零，亦即截止波长为无穷大。表示TE0(TM0)是任何平面波导中都能存在、永不截止的模式，称为基模或主模单模截止波长基模（或主模）次低阶模TE1（TM1）模截止，仅剩TE0 （TM0）模单模条件，即：V/2第27页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一近截止远离截止：场分布进入n2介质内很深模数模数与V值有关，V越大可传输的模数越多。从U-W图可得考虑到TM模，模式总数约2MTE光线理论结果基本一致有限值对TEm模：对TMm模：结论：1、远离截止，TE、TM模彼此靠近2、TEm(TMm)模的U值范围：3、场分布很好地限制在波导层内第28页，共30页，2022年，5月20日，4点12分，星期一色散特性相速与群速相速（等相面）： 群速度（包络）：群折射率：ng=c/vg, 单位长度群延迟：单