2022年全国高中数学联赛押题及详细解析

1、2022 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是

2、否写在括号内），一律得 0 分。使关于 x 的不等式x 3 6 x k 有解的实数k 的最大值是（） A6 3B3C6 3D6空间四点 A、B、C、D 满足| AB| 3, | BC| 7 , | CD| 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个aaT 0,1,2,3,4,5,6, M 1 2aa3 4 | a T , i 1,2,3,4, 中的元素按从大到小的顺序排列，则第7727374i2022 个数是（）5 5 6 35 5 6 277273747727374C 1 1 0 4D 1 1 0 377273747727374二、

3、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。将关于 x 的多项式 f (x) 1 x x 2x 3 x19 x 20 表为关于 y 的多项式 g ( y) a a01y a2y 2 a19y19 a20y 20 , 其中 y x 4. 则a0 a a120已知 f (x) 是定义在(0,) 上的减函数，若 f (2a 2 a 1) f (3a 24a 1) 成立，则a 的取值范围是。12 如果自然数 a 的各位数字之和等于7，那么称 a 为“吉祥数”将所有“吉祥数”从小到大排成一列a , a12, a , 若 a3n 2005, 则a5n三、解答题

4、（本题满分 60 分，每小题 20 分）13 数列a满足： an0 1, an1, n N.7a45a 2 36nn2证明：（1）对任意n N , a为正整数；2 对任意n N , a a 1 为完全平方数。nnn114 将编号为 1,2，9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，达到最小值的放法的概率（注： 如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）y x 2 （1,1）作抛物线的切线，分别交 x 轴于D， y 在抛物线上，点 E 在线段AC 上，满足 AEEC ;1点 F 在线段BC 上，满足 BF FC，且 212 1 ，在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方

5、程2022 年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案二、（本题满分 50 分）设正数a、b、c、满足cy bz a, az cx b;bx ay c.求函数 f (x, y, z) x 2y 2z 2的最小值1 x1 y1 z三、（本题满分 50 分）0当n为平方数,对每个正整数n，定义函数 f (n) 1当n不为平方数. n（其中表示不超过的最大整数，x x x).试求： 240k 1f (k ) 的值2022 年全国高中数学联赛解答一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后

6、的括号内。每小题选对得6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。使关于 x 的不等式x 3 6 x k 有解的实数k 的最大值是（） A6 3B3C6 3D6空间四点 A、B、C、D 满足| AB| 3, | BC| 7 , | CD| 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A只有一个B有二个C有四个D有无穷多个【答案】A【解析】注意到32 112 1130 7292 , 由于 AB BC CD DA 0, 则 DA 2 DA 2 =( AB BC CD)2 AB2 BC 2 CD2 2( AB BC BC CD CD AB) AB2

7、 BC 2 CD2 2(BC 2 AB BC BC CD CD AB) AB2 BC 2 CD2 2( AB BC) (BC CD), 即2AC BD AD2 BC 2 AB2 CD2 0, AC BD 只有一个值得0，故选A。ABC 内接于单位圆，三个内角A、B、C 的平分线延长后分别交此圆于AAA cos BB cos CC cosABC121212 的值为（A2sin A sin B sin CB4）C6D8【答案】A【解析】如图，连BA，则 AA 2sin( B ) 2sin(AA B CBC1122) 221、 B 、 C 。则11 2cos(BC).22 AAcos A 2cos(

8、B C ) cosA cosA B CcosA C B cos( C ) cos( B)122222222 sin C sin B,同理BB cos B sin A sin C , CC cos C sin A sin B, AA cos A BB 1212121BC2(sin A sin B sin C )cos CC21cos 2(sin A sin B sin C ),原式 2.选A.2sin A sin B sin Cx 2sin2 sin35 方程y 2 1 表示的曲线是（）cos2 cos3A焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在 x 轴上的双曲线C焦点在 y 轴上的椭圆D焦点在 y 轴上

9、的双曲线23233【答案】C【解析】 , 0 ,cos(2) cos( ), 即23sinsin3.2222223又 0 , ,cos20, cos3 0,cos2cos0, 方程表示的曲线是椭22圆。 (sin2 sin3) (cos2 cos3) 22 sin2 3 sin(2 3 )()2242 3 0,sin2 3 0, 3 , 3 .2 32 3222224424sin(2 3 ) 0,()式 0.24即sin2 sin3 cos2 cos3.曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆，选C。二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。7 将关于

10、 x 的多项式 f (x) 1 x x 2x 3 x19 x 20 表为关于 y 的多项式 g ( y) a a01y a2y 2 a19521 1y19 a20y 20 , 其中 y x 4. 则a0 a a120【答案】6【解析】由题设知， f (x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得： f (x) (x)21 1x 21 1 x 1x 1 . 令 x y 4, 得 g( y) ( y 4)21 1y 5, 取 y 1,有 a a a012 a20 g(1) 521 1.69 设 、 、 满足0 2 ，若对于任意 x R, cos(x ) cos

11、(x ) cos(x ) 0, 则 。【答案】 4 .3【解析】设 f (x) cos(x ) cos(x ) cos(x ), 由 x R ， f (x) 0 知，f () 0, f ( ) 0, f () 0, 即cos( ) cos( ) 1, cos( ) cos( ) 1, cos( ) cos( ) 1.cos( ) cos( ) cos( ) 1 . 0 2 , , , 2 , 4 , 又 , 233 . 只有 2 . 4 .33110 如图，四面体DABC 的体积为【答案】31【解析】3AD ( BC AC sin 45) V2AD BC AC 1.21DABC,16即又3 A

12、D BC AC 23AD BC AC 3,26，且满足ACB 45, AD BC 3, 则CD AC23等号当且仅当 AD BC 1 时成立，这时 AB 1, AD 面 ABC， DC 的一条边在直线 y 2x 17 上，另外两个顶点在抛物线 y x 2 上则该正方形面积的最小值为【答案】80【解析】设正方形的边AB 在直线 y 2x 17 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为 C(x , y ) 、11D(x , y22) ， 则CD所 在 直 线 l 的 方 程 y 2x b, 将 直 线 l 的 方 程与 抛物线 方程 联 立， 得x 2 2x b x1,2 1 b 1.令正方形边长为a,

13、 则a 2 (x1 x ) 22( y1 y ) 22 5(x1 x ) 22 20(b 1). | 17 b |在 y 2x 17 上任取一点（6，,5），它到直线 y 2x b 的距离为a, a 5AC2、联立解得b1 3, b2 63.a 2 80, 或a 2 1280. a 2min 80.三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）13 数列an满足： a0 1, an1, n N.7an45a 2 36n2【解析】证明：（1）对任意n N , a为正整数；2 对任意n N , a a 1 为完全平方数。nnn1证明：（1）由题设得a1 5, 且an严格单调递增将条件式变形得2

14、an1 7an45a 2n36, 两边平方整理得a 2n17anan1a 2n 9 0 a 2n7aan1na 2n1 9 0-得(a a)(a a 7a ) 0,a a , a a 7a 0 n1n1n1n1nn1nn1n1na 7a a.n1nb1由式及a0 1, a1 5 可知，对任意n N , an为正整数14 将编号为 1,2，9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，达到最小值的放法的概率（注： 如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）【解析】九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上8!的一个圆形排列，故共有

15、8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有2种 5 分下求使 S 达到最小值的放法数：在圆周上，从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设x , x12, xk是依次排列于这段弧上的小球号码，则| 1 x1| | x x12| | xk 9 | (1 x1) (x1 x ) (x2k 9) | 1 9 | 8. 上式取等号当且仅当1 x x12 xk 9 ，即每一弧段上的小球编号都是由1 到 9 递增排列因此 S最小 2 8 16由上知，当每个弧段上的球号1, x , x12, xk,9确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定在 1,2，9 中，除 1 与 9 外，剩下 7

16、 个球号 2,3，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有C 07C 17C 27C 37 26 种情况，每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是2 6种，故所求概率 P 26 1.8!3152AEy x 2 （1,1）作抛物线的切线，分别交 x 轴于D， y 在抛物线上，点 E 在线段AC 上，满足EC ;1点 F 在线段BC 上，满足 BF FC2，且 12 1 ，在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程1x 1 , 当 x时，EF 方程为： 3 y ( 1 1 3)x 3 1 , CD方程为： x 12， 不能02242412422 y 1 .12 重合， x

17、0 1, x 2 .312所求轨迹方程为 y (3x 1)2 (x ).33解二：由解一知，AB 的方程为 y 2x 1, B(0,1故 D 是 AB 的中点1), D(,0),2令 CD , tCP1 CACE 1 , t12 CBCF 1 2, 则t t12 3. 因为 CD 为ABC 的中线， S 2S 2S.CABCADCBD1CE CFSSS111t t33而t t CA CBCEFSCEPCFP( t ) 12 2t t , , P是21 2CAB2SCAD2S2tCBD122t t1 21 2ABC 的重心设 P( x, y), C ( x0, x 2 ), 因点C 异于A，则

18、x00 1, 故重心P 的坐标为0 1 xx 0 1 x0, (x 2 ), y 1 1 x 20 x 2 , 消去 x, 得 y (3x 1)2.10333330312故所求轨迹方程为 y (3x 1)2(x ).332022 年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案一、（本题满分 50 分）证明：直线DE、DF 分别通过ABC 的内心与一个旁心。如图，在ABC 中，设 ABAC，过 A 作ABC 的外接圆的切线，又以 A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段 AB 于D；交直线于E、F。（2）再证DF 过ABC 的一个旁心连 FD 并延长交ABC 的外角平分线于I ，连II 、B I 、B I

19、，由（1）知，I 为内心，111IBI =90=EDI ，D、B、 、I 四点共圆，111BI=BDI =90ADI11111=（BACADG）ADI=BACIDG，A、I、I 共线221I 是ABC 的BC 边外的旁心1二、（本题满分 50 分）设正数a、b、c、满足cy bz a, az cx b;bx ay c.求函数 f (x, y, z) x 2y 2z 2的最小值1 x1 y1 z求函数 f (cos A 、cos B 、cos C ）= cos 2 A1 cos Acos 2 B1 cos B 2 C 1 cos C的最小值令u cot A, v cot B, w cot C,

20、则u, v, w R , uv vw wu 1,u 2 1且u 2 1 (u v)(u w), v 2 1 (u v)(v w), w2 1 (u w)(v w).cos 2 A1 cos Au 2u 2 13u 2 1 1 uu 2 u 2 (u 2 1(u 2 1 u)u 2 1u)u 2 13 u 2 uu 2 u u 2u 321(u v1u w),同理，cos 2 B v 2 v3 (1 1),cos 2 C w2 w3 (11).(u v)(u w) 1 cos B2u vu w1 cos C2u wv w1u 3 v 3v 3 w3u 3 w31 f u 2v 2w2 2 ( u

21、 v1v wu w) u 2 v 2 w2 1(u 2 uv v 2 )2(v 2 vw w2 ) (u 2 uw w2 ) (uv vw uw) 2. （ 取 等 号 当 且 仅 当 u v w ， 此 时 ，2a b c, x y z 1 ), f (x, y, z) 2 1 .min2三、（本题满分 50 分）0当n为平方数,对每个正整数n，定义函数 f (n) 1当n不为平方数. n（其中表示不超过的最大整数，x x x).试求： 240k 1f (k ) 的值示例如下：i123456123456*则nf (a) n2kT ( j) nT (1) T (2) (n 1)T (3) T

22、(4) T (2n 1) T (2n)i 1i 1 j 1由此， 256f (k ) 15(16 k )T (2k 1) T (k ) k 1k 1记 a T (2k 1) T (2k ), k 1,2,15, 易得a 的取值情况如下：akk123456789101112131415k356678698881071010因此， 16nf (k) 15(16 k)ak 783 k 1k 12022 年全国高中数学联赛加试第 2 题的探讨本文对 2022 年的全国高中数学联赛加试第2 题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。题 目 ： 设 正 数a 、 b 、 c 、 满 足cy bz a ；

23、 az cx b;bx ay c ， 求 函 数f (x, y, z) x 2y 2z 2的最小值。1 x1 y1 z一几种迷茫思路的分析这道题目初看起来比较平易，给人一种立刻想到直接使用Cauch 不等式的通畅思路的惊喜，殊不知， 这是一个极大的误区，本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。思路一：由 Cauch 不等式知 f (x, y, z) x2y2z 2 (x y z)2u 21 x1 y1 z(记u x y z) u 3 9 63 x y z3 uu 31到此，在u0 的情况下，力图使用函数 f (x) x 的性质无法得到最小值。x思路二：考虑到题目的条件是 6 个变量的 3

24、个等量关系，于是，可根据三个条件等式容易求出、用a、b、c 表达的式子：b 2 c 2 a 2c2 a 2 - b 2a 2 b 2 - c2x ;y ;z 2bc2ca2ab因为 a、b、c；、都是正数，所以，a 2 b 2c 2 0;b 2c 2- a 2 0;c2a 2- b 2 0 4, 9 f (x) x 1到此，似乎胜利的曙光就在眼前，立刻想到在区间2 内使用函数的性质，但也无法得到x1最小值，而此时的最大值正好与题目的最小值（由于函数 f (x, y, z) 21cos2 Acos2 Bcos2 C 1 cos A1 cos B1 cos C的对称性，可以猜测其最小值在 A=B=

25、C=600时达到）吻合，实际上，这是一条无用的信息（表明使用 Cauch2不等式过当！），它是答题人再次陷入不能自拔的困境。俗话说得好，失败是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式不能直接使用Cauch 不等式，需要再对原式做更好的更有用的恒等变形，可能是正确的途径。二赛题的解答为证明本赛题，我们先证明如下一个引理。引理：在ABC 中，求证：ABCABCtan 2tan 2 tan 2 2 8sinsinsin222222等号成立的条件是ABC 为等边三角形。证明：用向量方法证明如下 设i , j , k 是平面上的单位向量，且 j与k 成角为-A, k与i 成角为-B, i 与 j 成角为-

26、C,那么，ABC(i tan j tan k tan)2 0 ,所以222ABCtan2tan2 tan2222 2 tanA tan B cos C 2 tan B tan C cos A 2 tan C tan A cos B 2 tan222222A tan B (1 2sin 2 C ) 2 tan B tan C (1 2sin 2 A222222) CAB2 tantan(12sin 2)222 2 tan A tan B tan B tan C tan C tan A 222222 4 sinA sinB sin C (sin A2sin B2sin C2)222cos B co

27、s Ccos C cos AcosA cos B 2 4 sinA sinB sin C 222222sin A sin B sin C2222 cosA cos B cos C222 2 8sin A sin B sin C .222注意到，在ABC 中有熟知的等式： tan A tanB tanB tan Ctan Ctan A 1从而得证。222222有了上面的引理，本题的解答就容易多了，下面看本题的解法。 解：同思路二得到，以a、b、c 为对应边可以构成一个锐角ABC，令 x cos A, y cos B, z cos C, 从而cos2 Acos2 Bcos2 C1 sin 2 A1

28、 sin 2 B1 sin 2 Cf (x, y, z) 1 cos A1 cos B1 cos CABC2 cos22 cos22 cos2222AABBCC14 sin 2cos214 sin 2cos214 sin 2cos222 22 22ABC2 cos22 cos22 cos2222AAAABBBBsin 2cos24 sin 2cos2sin 2cos24 sin 2cos22222 2222AB2 cos22 cos222CCCCsin 2cos2 4 sin 2cos22222C23 1 (tan 2 A tan 2 B tan 2 C ) 2(sin 2 Asin 2 B sin 2 C222222223 1 (tan 2 A tan 2 B