(完整版)人教版高中数学必修五教案3

1、高一数学教案（必修五）重庆市凤鸣山中学高一数学备课组数学5第一章解三角形1i总设计：谭廷文:章节总体设计LJ（-）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解二角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标；（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。（二編写意图与特色数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。本章重视与内容密切相关的数

2、学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是在任意三角形中有大边对人角，小边对小角”，“如果己知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全”等。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的儿何知识出发，提出探究性问题：在任意三角形中有人边对人角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确最化的表示呢？”，在引入余弦定理内容时，提出探完性问题“如果己知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定

3、方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从己知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角

4、形中有人边対人角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果己知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度來研究这个问题，也就是研究如何从己知的两边和它们的夹角计算出三角形的另i边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在己有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。课程标准和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生己经学习了三角函数、

5、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工代，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则抬出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质町知，如果个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所炖的用是直角：如果

6、小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角：如果人于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”重视加强意识和数学实践能力学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的总识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽彖、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把

7、数学知识应用于实际问题。（二教学内容及课时安排建议1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）1.2应用举例（约4课时）1.3实习作业（约1课时）（四）评价建议1.要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据貝体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向最方法的证明，对于余弦定理则町以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析

8、和比较。对于一些常见的测最问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。2.适当安排一些实习作业.冃的是让学生进一步巩固所学的知识.提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动于操作的能力以及用数学语肓表达实习过程和实习结果能力，増强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测最问题的选择，及时纠止实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。课题：1.1.1正弦定理!i设计：欧国茂:授课类型：新授课教学目标知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法:会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本

9、问题。过程与方法:让学生从己有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特姝到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导卜处理解三角形问题的运算能力：培养学生介情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向最的数量积等知识间的联系来体现爭物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程I课题导入TOC o 1-5 h z如图1.1-1,固定AABC的边CB及ZB,使边AC绕着顶点C转动。A思考：Z

10、C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？X显然，边AB的长度随着其对角ZC的人小的增人而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？CBU.讲授新课探索研知（图1.1-D在初中，我们己学过如何解直角三角形，卜面就首先來探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在RtAABC中，设BC=a,AC=t，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有一皿JC=sin5,又sinT=1=C则=厶sinJsinBsinC从而在直角三角形ABC中，sinsinBsinC孑右（图1.1-2）思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角

11、形两种情况：如图1.1-3,AlAABC足锐角三角形时设边AB上的高足CD根据任总角三角函数的sinAsinB同理可得二八二丄：basinesin万从而=AcBsinAsinBsinC（图1.1-3）定义.有CD二asinB=bsinA则亠；二.ah思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而口J以考虑用向最来研究这个问题。csinA二cisinCa（smAsinC同理.过点C作）丄龙，可得爲C（证法二）：过点A作1丿丄AC9由向量的加法可得AB二+CBjULIAB=jJ（ACJU+CB）（2）-sin=C-等价于sinMsin万sin/sin万c_bsinCsin万sinAs

12、inC:，T4lAB二TL4AC+U4jCB|j|AB|cos（90o-/l）=0+|7|CB|cos（9Oo-C）/AIIIJsinHsin方sinC类似町推出，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的1E弦的比相等，即a_b_csin/sin万sinC理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数ka=AsinJ,b=ksinBc=ksinC:从而知止弦定理的基本作用为:己知三角形的任意两角及其边可以求其他边，如8二竺弩；sinn己知三角形的

13、任意两边与其中一边的对角町以求其他角的正弦值，如sinM=Asinkobi般地，己知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫件解三角形。例题分析例1.在AA3C中，已知A=32.0。,b=818，cr=429cm,解三角形。解：根据三角形内角利定理，C=180-(A+B)=180-(32.0+81.8)=66.2:根拯正弦定理，卜_asmB_42.9sin81.8sm32.0根据止弦定理,dsinC_429sin662疋74.1(d).smAsin32.0评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在AABC中，已知o=20cm,/7=28cm,A=40,解三角形(角度精确到1，边长精确

14、到lcm)o解：根据正弦定理，八08999因为0B求abc(答案：1：2：3)IV课时小结(由学生归纳总结)(1)定理的表示形式:3_b_csinJsin5sinCa+b+csiEA+sin5+sinC=k(k0);hHa=ksinA,b=ksxnB,c=ksin(CA0)(2)正弦定理的应用范围：己知两角和任一边求其它两边及一角：已知两边利其中一边对角，求另一边的对角。V课后作业第10页习题1口A组第1、2(1)题。板书设计授后记课题：1丄2余弦定理1：设计：罗长青!教学目标知识与技能：京握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理本的解三角形问题。过程与方法：利用向最

15、的数承枳推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导卜处理解三角形问题的运算能力：通过三角函理.向最的数最积等知识间的关系，来理解爭物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过机及其基本应用：教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程I课题导入解决两类基解决两类基数、余弦定如图1.1-4,在厶ABC中.设BC=a,AC=btAB=c,已知Eb和ZC，求边cU讲授新课探索研究从而（图1.1-1）联系已经学过的知识和方法，町用什么途径來解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由

16、于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。=d+bH+Zr2abcosC（图1.1-5）同理可证a2=b2+c2-2bccosAb2=0+c2accos万于是得到以下定理余弦定理:三角形中任何-边的平方等丁其他两边的平方的和减玄这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2=b2+c2-2bccosAZr=了+c2accosBc2=a2+b22abcosC思考：这个式子中冇几个量？从方程的角度看己知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以卜推论：,h2+c2-a2cos8=2accosC=2ba理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：己知三

17、角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边：己知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若厶ABC中,090，则cosC=0,这时c2=a2+b2由此町知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析例1在AABC中，已矢M=2屈c=46+yf2.3=60。，求b及A（1）解：h2=a2+c2-2accosB二（275?+（“+7722松（+Qoos45。二12+（苗+迈）2-4巧（7T+1）=8Ab=2/2.求4町以利用余弦定理，也町以利用正弦定

18、理:h2+c2-a2(2/2)2+(/6+/2)：-(2/3)：1遇a二八一=一2皿皿冋一P解法一:A：.4=60解法二En综sm45。,XVx/6+/22.4+1.4=3.8.2/Jv2x1.8=36dVc，即0Ab才能有且只有一解；否则无解。2当A为锐角时，如果那么只有一解：如果ab,那么可以分下面三种情况米讨论：若absinA,则有两解；（2）a=bsinA则只有一解;（3）若absinAf则无解。（以上解答过程详见课本第9：10页）评述：注意在己知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1（1）在AABC中，

19、己知占二80,6=100,厶=45。试判断此三角形的解的情况。（2）在AABC中，若&二1，c=*,ZQ=40。，则符合题意的b的值有个。（3）在AABC中，a=xcm,b=2cm,Z5=45,如果利用正弦定理解三角形有两解，求X的収值范闱。（答案：（1）有两解；（2）0：（3）2XI2）例2在AABC中，己知$=7,b=5,c=3,判断4ABC的类型。分析：由余弦定理可知22266+Lo月是直角oAABC是直角三角形+C2A是钝角oAABC是钝a角三角形+/o力是锐角“AABC是锐角三角形a52+32,即a2b2+c2,AABC是钝角三角形。随堂练习2（1）在AABC中，己知sin/:sin

20、k:sinC=1:2:3,判断AABC的类型。（2）已知AABC满足条件acosA=bcosB判断AABC的类型。（答案：（1）AABC是钝角三角形；（2）AABC是等腰或直角三角形）例3在AABC中，J=60,d=h而积为哲，求+?丁的值sinA+sinn+sinC分析：可利用三角形面积定理s=absinC=iacsin5=hcsinA以及正弦定理222_b_c_a+b+csinAsinBsinCsinA+sinB+sinC解：由S=besinA=fAc=2y/3则a2=b2+c2-2bccosA=3,KPa=从而a+b+csinA+sinB+sinC=2sinA课堂练习（1）在AABC中，

21、若a=55.6=16且此三角形的面枳S=220 x/3求角C(2)在AABC中，其三边分别为冬b6且三角形的面枳$二；*求角C4(答案：(1)60或120：(2)45)IV课时小结在己知三角形的两边及其中i边的对角解三角形时，令两解或-解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面枳定理的应用。V课后作业在AABC中，己知方=4,c=10,万=30,试判断此三角形的解的情况。设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范鬧。在厶ABC中，J=60,a=1，b+c=2判断AABC的形状。三角形的两边分别为3cm5皿它们所夹的角的余弦为方程5x：-7x-6=0的根.求这个三角形的而

22、枳。板书设计授后记课题：2.2解三角形应用举例课题：:设计：欧国茂:第一课时授课类型：新授课教学目标知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决些冇关测量距离的实际问题,了解常用的测最相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结介学生的实际情况，采用“提出问题一一引发思考一探索猜想一总结规律一反馈训练”的教学过程，根据人纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多嫌体、图形观察等直观演示，帮助学生拿握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情

23、感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值：同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程I课题导入1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竞有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就己经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，

24、存在着许多町供选择的测最方案，比如町以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景卜，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。U.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题总，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例题讲解（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点Z间的距离，测量

25、者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m，ZBAC=51%ZACB=75求A、B两点的距离（精确到0Im）图1.2-1启发提问1：AABC中，根据己知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个町到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得AB二ACsinZACBsmZABC屈-ACsinZACBsinZABC二55sinZ4CBsinZABC二55s

26、ia75sin(lS0o-51o-75o)二55sm75sin5465.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30*,灯塔B在观察站C南偏东60,则A、B之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。解略：近akm例2、如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法。分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点Z间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中己知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可

27、以计算出AB的距离。图12-2解：测量者诃以在河斥边选定两点C、D,测得CD=a，并且在C、D两点分别测得ZBCA=a,ZACD二0,ZCDB=yZBDA=在厶ADC和ABDC中，应用正弦定理得AC=asuy+5)as:n(y+5)sin180-(八+/+J)sin(0+6BC=nsin/sin/sin18O(a+0+y)sin(a+“+计算出AC和BC后,再在ABC中,应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB=ylALBG-2ACXBCcosa分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得ZBCA=60*,ZACD=30ZCD

28、B=45,ZBDA二60略解：将题中各己知量代入例2推出的公式，得AB=20/6评注：町见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过槿较繁复，如何找到垠优的方法，瑕主要的还是分祈两个定理的特点，结合题目条件來选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测董中基线的概念，并找到生活中的相应例子.m课堂练习课本第14页练习第1、2题课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解检

29、验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解课后作业课本第22页第1、2、3题板书设计授后记课题：2.2解三角形应用举例(i第二课时设计：罗长青授课类型：新授课:教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些的关底部不对到达的物体高度测量的问题过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练來巩固深化解三角形实际问题的-般方法。教学形式要坚持引导一讨论一归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更

30、广阔的思考空间情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点结合实际测呈工具，解决生活中的测最高度问题教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件教学过程I课题导入提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不町到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就來共同探讨这方而的问题U.讲授新课范例讲解例1、AB是底部B不叮到达的一个建筑物，A为建筑物的敲高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。图1.2-4分析：求AB长的关键是先求AE,在厶ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的仰

31、角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG,使H、G、B三点在同一条直线上由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是c、p.CD二a,测角仪器的高是h,那么，在AACD中，根据正弦定理可得AC=asinfJsin（a-0）AB=AE+h=ACsina+h=asinasin+hsin(a_0)例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角。二54l0，在塔底C处测得A处的俯角0=50elro己知铁塔BC部分的高为273m,求出山高CD(精确到1m)师:根据已知条件，人家能设计出解题方案吗？5给时间给学生讨论思考)若在AABD中求CD,则关键需要求出哪条边呢？生：需求出BD边。师：那如

32、何求BD边呢？生：町首先求出AB边，再根据ZBAD二c求得。解:在AABC中，ZBCA二90+0,ZABC二9O-a,ZBAC=cr-0,/BAD=cr.根据正弦定理,BC二ABsin(a-sin(90e+0)人口-BCsin(90+0)-BCcospsin(a_p)sin(a-0)所以人只解RtAABD得BD二ABsinZBAD二%cosOsinasin(a_0)将测量数据代入上式，得*27.3cos50，fsin5440,BD=-sin(5440r-50f)_27.3cos50Ysin5440rsin439177(m)CD=BD-BC=A177-27.3=150(m)答：山的高度约为150

33、米.师：有没有别的解法呢？生：若在AACD中求CD,町先求出AC。师：分析得很好，请人家接着思考如何求出AC?生：同理，在AABC中，根据正弦定理求得。(解题过程略)例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.师：欲求出CD,人家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在ABCD中师：在ABCD中，己知BD或BC都町求出CD根据条件，易计算出哪条边的长？生:BC边解:在AABC中，ZA=15ZC=25*-15*=10根据正弦定理，BC_ABsinAsinC2

34、ABsmA5suil5BC=sinCsm10*7.4524(km)CD=BCxtanZDBCABCxtan8a1047(m)答:山的高度约为1047米m.课堂练习课本第17页练习第1、2、3题课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。课后作业1、课本第23页练习第6、7、8题2、为测某塔AB的高度，在一備与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为3。,测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m?答案：20+迪色（m）3板书设计授后记课题：2.2解三角形应用举例设计：龚圣龙第三课时!授课类型：新

35、授课教学目标知识与技能：能够运用F弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课学生已经对解法右了基本的了解.这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1,还针对性地选择了既貝典型性冇貝启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论.教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生口主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特

36、点找到已知条件和所求角的关系教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学过程创设情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面匕如何确保轮船不迷火方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。II讲授新课范例讲解例1如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行675nmile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32。的方向航行54.0nmile后达到海岛C如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行需要航行多少距离？（角度椿确到01距离精

37、确到0.Oln西图12-7学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：1T先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ZABC,即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角ZCABo解：在AABC中，ZABC=180*-75+32*=137*根据余弦定理，AC=ylAB2+BC2-2ABxBCxcosZABC=八67.52+54.02-2x675x54.0 xcos137*113.15根据正弦定理，BC_AQsinZC/lfTsinZABCsinZCAB二CsinZABCAC二54.0sml37*-113.15-=0.3255,所以ZCAB-19.0*,75-ZCA

38、B=56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行，需要航行113.15nmile例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为&,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为2&再继续前进10Qm至D点，测得顶端A的仰角为40,求&的人小和建筑物AE的高。49EC28J)9师：诸人家根据题意画出方位图。生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动于练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一：（用正弓玄定理求解）由己知町得在4ACD中，AC二BC二30,AD=DC=10/3,ZADC二180-40,.loVJ二30sin2Asiii(180*一

39、40)因为sin40-2sin2Acos26:cos2&二逅，得2&二302-&二15*,.在RtAADE中,AE=ADsin60*=15答：所求角&为15,建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE二X，AE=h在RtAACE+,（10/3+x）2+h:=302在RtAADE中，x+h二（10VJ）两式相减，得x=5/3，h=15.-在RtAACE中,tan2=10V3+x3-2A=30八=15*答：所求角0为1訂，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8,由题意，得ZBAC二8,ZCAD二20,AC=BC=30m,AD=CD二在RtAACE中sin2A=一30

40、4在RtAADE中，sin4&二一，10V3*得cos2八=一,2&二30*,&二15,AE=ADsin60=152答：所求角&为15,建筑物高度为15m例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75*的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的齐边，即需要引入时间这个参变量。解:如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10 x,AB=14x,A

41、C=9,ZACB=75o+45=120/.（14x）z=92+（lOx）2-2x9x10 xcosl203Q化简得32x：-3x-27=,即x二一，或x二-一（舍去）所以BC=10 x=15,AB=14x=21,/.ZBAC=38*13或ZBAC=141（钝角不合题意，舍去）/.38*13,+45=83，13,答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解m课堂练习课本第18页练习IV课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两

42、种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用匸弦疋理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三和形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。V课后作业1、课本第23页练习第9、10、11题2、我舰在敌粘A南偏西50。相距12海里的B处，发现敌舰正由隔沿北偏西10。的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多人速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）板书设计授后记课题：22解三角形应用举例i设计：张浩授课类型：新授课教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进步解决仃关三角形的问题，掌握三角形

43、的面积公式的简单推导和应用过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑.引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地只体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放于让学生挾索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，i题藝解。只要学生自行京握了两定理的特点，就能很快开阔思维,有利地进一步突破难点。情感态度与价值现:让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验教学重点推导三角形的面枳公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理來求证简单

44、的证明题教学过程I课题导入创设情境师：以前我们就己经接触过了三角形的面积公式，今天我们來学习它的另一个表达公式。在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h“h八h那么它们如何用己知边和角表示？生：=bsinC=csinBh产csinA二asinCht=asinB=bsinaA师:根据以前学过的三角形面积公式S二丄ah应用以上求出的高的公式如h“二bsinC代入，2可以推导出下面的三角形面积公式，S=labsinC，大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得,S=一bcsinA，S=一acsinB22师：徐了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也町求出三角形的面积呢？生：如

45、能知道三角形的任意两边以及它们夹角的止弦即町求解U.讲授新课范例讲解例1、在AABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0lcm2)已知a二14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;己知B=62.7,C=65.8*,b=3.16cm;已知三边的长分别为a二41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件卜求三角形的面枳的问题，与解三角形问题有密切的关系,我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就町以求出三角形的面积。解:应用S=acsinB.得2S=x14.8x23.5xsinl48.590.9(cm2)2根据正弦定理，h

46、VsmBsinC二bsinCsinBS=XbcsinA=丄b；smCsinA22A=180*-(B+C)=180A-(62.7*+65.8*)=51.51、sm65.8sm51.5z仆S=x3.16xjz=4.0(cm)2SU162.7根据余弦定理的推论，得2ca_3&7+41.4-27.3_-2x38.7x41.4_07697sinB=71-COS2B心Jl-07697八0.6384应用S二丄acsinB*得2s丄X41.4x38.7x0.6384人511.4(cm2)2例2、如图，在某市进行城市坏境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公网，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m

47、,88m,127m,这个区域的面积是多少？(精确到0.lcm2)?师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为己知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面枳公式求解。由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结.解：设a=68m,b二88m.c二127m根据余弦定理的推论.cosB=IL=和leaI27+68-88Q0.75322x127x68sinB二Jl-0.7532a06578应用S=acsinB2S二丄x68x127x0.6578=2840.38(m2)2答：这个区域的面积是2840.38m2。例3在AABC中，求证：a2+b2_sin2A+sin2B-?sm:C(1

48、)+c=2(bccosA+cacosB+abcosC)分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点.联想到用正弦定理来证明证明：(1)根据正弦定理，町设a二二二ksiiiAsinBsinC显然kHO,所以sin2A+sin2Bsin2C左边二f亡sin*二右边k2sin2A+kzsin2B2)根据余弦定理的推论右边二2(be”2bc+ca2ca4=町=a2+b2+c2=左边变式练习1：已知在AABC中，ZB=30#,b=6,0=6八3求a及AABC的面积S提示：解有关己知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6tS=9V3；a=12,S=18A

49、3变式练习2：判断满足卜列条件的三角形形状,（1）acosA=bcosB.csinA+sinBsinC二（2）cosA+cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”1）师：人家賞试分别用两个定理进行证明。生1：（余弦定理）得a-bb+c_-a.2hc*:C2（a七）=a-Z?4=（f9+h2）（a-b）：.a=/?2gJcC2二a2+h2根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,/.sin2A=sin2B,/.2A=2B,A=B.-根据边的关系易得是等腰三角形师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有

50、两种，请人家思考,谁的正确呢？生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B二180，A+B二90（2）（解略）直角三角形m.课堂练习课本第21页练习第1、2题IV.课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只倉角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是冇些条件既可用正弦定理也可用余弦定理共至可以两者混用V.课后作业课本第23页练习第12、14、15题板书设计授后记第二章数列II设计：谭廷文I1!I课题：2.1敌列的網舎$简单盘孑坯授课类型：新授课（第1课时）教学目标知识与技

51、能：理解数列及其仃关概念，了解数列和函数Z间的关系：了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项：对于比校简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽彖概括能力.情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学來源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程I课题导入三角形数：13,6,10，正方形数：1,4,9,16,25,.U.讲授新课数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排

52、列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中町以重复出现.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项，.例如，上述例子均是数列，其中中，4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.3数列的一般形式：d24,A,d”,A,或简记为心,其中心是数列的第D项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义中，这是一个数列，它的首项是“1”,“”是这个数列的第“3”项，等等.下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系

53、可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项1111123451111序号12345这个数的第一项与这项的序号町用一个公式：”=丄來表示其对应关系II即:只要依次用1，2,3代替公式中的m就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系数列的通项公式：如果数列归”的第a项djjnZ间的关系可以用一个公式來表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0,1,0,1,0,它的通项公式可以是a”=,也

54、可以是=|cos匕丄；rl.22数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式只有双重身份，它农示了数列的笫总项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.数列与函数的关系数列町以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,，n)为定义域的函数=f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数尸f3,如果f(i)(i=l2、3、4)有意义，那么我们可以得到一个数列f(l)、f、f、f,f(n)，数列的分类：根据数列项数的多少分：有穷数

55、列：项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2,3,4,5,6是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？范例讲解课本P34-35例1m.课堂练习课本P36练习3、4、5【补充练习h根据卜面数列的前儿项的值，写出数列的一个通项公式051,0,1,0,1,：(4)1,3,3,5,5

56、,7,7,9,9.(5)2,-6.12,-20,30,一42,解:(1)a/r=2n+l：(2)a(2n-1)(2+1)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,2(5)将数列变形为1X2,-2X3,3X4,4X5,5X6,(7fJ=(-1)M+in(n+1)IV.课时小结本节课学习了以卜内容：数列及有关定义，会根据通顶公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求些简单数列的通项公式。V.课后作业课本P38习题2.1A组的第1题板书设计授后记课题：2.1M列的網含&爾单恚孑注授课类型：新授课.(第2课时):设计：谭廷文教学目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递

57、推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项：理解数列的前n项和与心的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点根拯数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系教学过程I课题导入复习引入数列及月关定义u.讲授新课数列的表示方法1、通项公式法如果数列”的第n项与序号之间的关系可以用一个公式來表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列0,1,2,3,的通项公式为叭二”+心亡胪）；.ill的通项公式为。厂引：1,山、234的通项公式为;2、图象法启发学生仿照函数

58、图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数必为横坐标，相应的项外为纵坐1111-标，即以依为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列2?4为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在丁轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图彖中町以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.3、递推公式法知识都來源于实跋，最后还要应用于生活用其來解决一些实际问题.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型.omnfT旻覽豎上戈fYTTTTB11txTjQQuulXJC模型一；自上而下；第1层钢管数为4;即:1卩4=1+3第2层钢管数为5：即：25=

59、2+3第3层钢管数为6；即:36=3+3第4层钢管数为7；即：427=4+3第5层钢管数为&即：58=5+3第6层钢管数为9；即：69=6+3第7层钢管数为10；即：7010=7+3若用心表示钢管数，11表示层数，则町得出每一层的钢管数为一数列，且an=/+3（1WnW7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很藝方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律町循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1w-in-2n-3即卩6=4；a=5=4+1=A+!:二6=5

60、+1=d?+l2依此类推：cin=厂+1(2WnW7)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：递推公式：如果己知数列伉的第1项(或前几项)，且任一项心与它的前一项碍】(或前n项)间的关系町以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89递推公式为：=3,冬=5,a”=alt_L+a3A/?1).解：分析：题中已给出血的第1项即厲=1，递推公式：d”=i+-L%12s8解：据题意町知：=1=2卫3=1=，=1=a23偽35【补充例题1例4已知勺=2,ci