(易错题精选)初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案

1、(易错题精选)初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案一、选择题1.如图，RtAAOB中，ZAOB=90,AO=3BO,OB在x轴上，将RtAAOB绕点O顺时针旋2k转至川上人08,其中点B落在反比例函数y=-的图象上，OA交反比例函数y=的图象xx于点C,且OC=2CA，则k的值为(A.47B.2C.8D.7【答案】C【解析】【详解】解：设将RtAAOB绕点O顺时针旋转至RtAAOB的旋转角为a，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B的坐标为(acosa,-asina)，点C的坐标为(2asina,2acosa),2点B在反比例函数y=-的图象上，x2,.-asina=-，得a2sinacos

2、a=2,acosak又点C在反比例函数y=的图象上,xk/.2acosa=2asma得k=4a2sinacosa=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为a,利用旋转的性质和三角函数设出点B与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.22.在RtABC中，ZC=90,如果AC=2,cosA=3，那么AB的长是（）A.3D.、；13【答案】A【解析】AC2根据锐角三角函数的性质，可知cosA=，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.AB3故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=ZA的邻边斜边，然

3、后带入数值即可求解.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25,则(sin0cos0)2=()D.【答案】A【解析】【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为5,再根据直角三角形的边角关系列式即可求解.【详解】解：大正方形的面积是125，小正方形面积是25,大正方形的边长为5/5，小正方形的边长为5，/.5：5cos0一5、5sin0=5，cos0sin0(sin0一cos0)2二5-故选：A.【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理

4、的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正5确得出cos0-sin0如图，在等腰直角MBC中，ZC=90,D为BC的中点，将MBC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sinZBED的值是()上-C4dA.33B.5C再2D.3【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到ADEF=AAEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到上BED=CDF，设CD=1，CF=x,则CA=CB=2，再根据勾股定理即可求解.【详解】解:DEF是AAEF翻折而成，.DEF今AEF,ZA=ZEDF,ABC是等腰直角三角形，.ZEDF=45,由三角形外角性质得ZCDF+45=ZBED+45，：/B

5、ED=/CDF,设CD=1,CF=x，贝CA=CB=2,:.DF=FA=2-x,.在RtACDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2,即X2+1=(2-X)2,3解得：x=4，CF3:.sin上BED=sinZCDF=.DF5故选：B.【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中.同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法在板材边角处作直角，其作法是：如图：作线段AB，分别以点A,B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；连接BD，BC.根据以上作图过程及所作图

6、形，下列结论中错误的是()A.ZABD=90B.CA=CB=CDC.sinA=v321D.cosD=2【答案】D【解析】【分析】由作法得CA=CB=CD=AB，根据圆周角定理得到ZABD=90，点C是AABD的外心，根据三角函数的定义计算出ZD=30，则ZA=60,利用特殊角的三角函数值即可得到结论.【详解】由作法得CA=CB=CD=AB，故B正确；.点B在以AD为直径的圆上，.ZABD=90,故A正确；.点C是ABD的外心，AB1在RtAABC中，sinZD=，AD2ZD=30，ZA=60，sinA=故C正确;cosD=故D错误,故选：D.【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心

7、：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理和解直角三角形.如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE二GFAB(DE长度不变，F在G上方，D在E左边)，当点D到达点B时，点E停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是()A.直减小B.直不变C.先减小后增大D.先增大后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE,过点E作EM丄BC于M,过点G作GN丄AB于N,设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM,再根据S阴影=Sagde+Saegf即可求出结论.阴影【详解】解：连接GE,过

8、点E作EM丄BC于M,过点G作GN丄AB于N设AE=BG=x，贝BE=AB-AE=AB-x.GN=BGsinB=xsinB,EM=BEsinB=(AB-x)sinB.*.S=SaGDE+SaEGF阴影agdeaegf11=DEGN+GFEM2211=-DE(xsinB)+-DE(AB-x)sinB1=2DExsinB+(ABx)sinB1=2DEABsinB.DE、AB和ZB都为定值.s阴影也为定值故选B.【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键.如图，在ABC中，AC丄BC,ZABC=30,点D是CB延长线上的一点

9、，且BD=BA,则tanZDAC的值为（）A.2+j3B.2、豆C.3+/3D.3朽【答案】A【解析】【分析】【详解】设AC=x，在RtAABC中，ZABC=30，即可得AB=2x,BC=j3x,所以BD=BA=2x,即可得CD=x/3x+2x=（、；3+2）x,CD（：3+2）x在RtACD中，tanZDAC=二=+2,ACx故选A.8如图，在矩形ABCD中，AB=2；3，BC=10,E、F分别在边BC，AD上,BE=DF.将ABE，CDF分别沿着AE,CF翻折后得到AGE,CHF.若AG、CH分别平分ZEAD.ZA.3B.4C.5D.7【答案】B【解析】【分析】如图作GM丄AD于M交BC于

10、N,作丄BC于匚通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MN=AB=2、；3,BN=AM=3,最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH=TN即可解决问题.【详解】解：如图作GM丄AD于M交BC于N,作HT丄BC于T./ABE沿着AE翻折后得到AGE,.ZGAM=ZBAE,AB=AG=2、3,/AG分别平分ZEAD,.ZBAE=ZEAG,VZBAD=90,.ZGAM=ZBAE=ZEAG=30,.GM丄AD,.ZAMG=90,GMAM.在RtAGM中，sinZGAM=,cosZGAM=-.GM=AGsin30=p3,AM=AGcos30=3,同理可

11、得HT=23,CT=3,VZAMG=ZB=ZBAD=90,四边形ABNM为矩形，.MN=AB=2f3,BN=AM=3,.GN=MN-GM=,.GN=HT,又GNHT,四边形GHTN是平行四边形，.GH=TN=BC-BN-CT=10-3-3=4,【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60,A、b、C都是格点，则tanZABC=()A.竺B.空C.竺D.空9632【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组

12、对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用皿B=药得出答案.【详解】解:连接DC，交AB于点E.由题意可得:ZAFC=30,DC丄AF,设EC=X，则EF=爲=岳，.BF二AF二2EF二2爲xtanZABC二EC_x_1BE_2魚x+p3x_p故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键.如图，一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，边be，CE分别交ad于点F，G，已知BC=8，AF:FG:GD=4:3:1，则CD的长为（）c.J3D.2【答案】C【解析】【分析】由ABCD是矩形，得到AD=BC=8，且矩形的四个

13、角是直角，根据AF:FG:GD=4:3:1，可以求出DG的长度，再根据余角的性质算出ZDCE的大小，根据三角函数即可算出DC的长度.【详解】解：四边形ABCD是矩形，.AD=BC=8,ZDCB=90，又AF:FG:GD=4:3:1.GD二一1一AD二-AD=14+3+18.ZECB=60,ZDCE=90。60。=30。,又7tan30=-3GDCDCDCD=:3,故答案为C.【点睛】本题主要考查矩形、特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长度是解本题的关键，特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握如图，在RtAXBC内有边长分别为a,b,c的三个正方形.则a、b、c满足的关系

14、式A.b=a+cB.b=acC.b2=a2+c2D.b=2a=2c【答案】A【解析】【分析】利用解直角三角形知识在边长为a和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得ab一c=，化简得b=a+c,故选A.b一ac【详解】请在此输入详解！如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于2CD为半径作弧，两弧交于点M,N；作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E，连接BE,则下列说法错误的是（）B.A.ZABC二60。D.S二2SC.若AB=4,则BE二ABEAADE21smZCBE=14【答案】C【解析】【分析】由作法得AE垂直平分CD,得到ZABC=60；利用AB=2D

15、E得到S算出CH=2CE=1,EH=J3CH=f3，利用勾股定理可计算出BE=2；利用正弦的定义得EHV21sinZCBE=BE14则ZAED=90,CE=DE,于是可判断ZDAE=30,ZD=60,从而abe=2Saade；作EH丄BC于H,如图，若AB=4,则可计【详解】解：由作法得AE垂直平分CD,.ZAED=90,CE=DE,四边形ABCD为菱形，.AD=2DE,.ZDAE=30,ZD=60,ZABC=60，所以A选项的说法正确；在RtAECH中，TZECH=60,Saabe=2Saade，所以B选项的说法正确;作EH丄BC于H,如图，若AB=4,DAB=2DE,CH=2CE=1,EH

16、=J3CH=y3,在RtABEH中，BE=&3)2+52=2、订，所以C选项的说法错误；ehJ3V21sinZCBE=，=，所以D选项的说法正确.BE2714故选C.【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的性质和解直角三角形.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为60ncm2,设圆锥的母线与高的夹角为8,则A.13B.13D.1213【答案】C【解析】【分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式S=1lr可求出母线的长，最后利用三角

17、函数即可求出答案.【详解】解：T圆锥底面周长为2兀x5=10K，且圆锥的侧面积为60n，2x60兀,小圆锥的母线长为=12，10兀5sin0=.故选C.【点睛】本题考查了圆锥和三角函数的相关知识利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE丄AC于点F,则下列结论中错误的是()1AF=CF2ZDCF=ZDFC图中与AEF相似的三角形共有5个tanZCAD=2【答案】D【解析】【分析】11AEAF1由AE=AD右BC,又ADBC,所以二二亍故A正确，不符合题意；22BCFC2一1过D作DMBE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=-

18、BC,得到厶CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由厶BAEsADC,得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tanZCAD的值，故D错误，符合题意.【详解】解：A、TADBC,.AEFsCBF,AEAFTOC o 1-5 h z=,BCFC11VAE=AD=BC,22AF1=7;，故A正确，不符合题意；FC2B、过D作DMBE交AC于N,.DEBM,BEDM,四边形BMDE是平行四边形，1.BM=DE=BC,2.BM=CM,.CN=NF,.BE丄AC于点F,DMBE,.DN丄CF,.DF=DC,AZDCF=

19、ZDFC,故B正确，不符合题意；C、图中与AAEF相似的三角形有厶ACD,BAF,CBF,CAB,ABE共有5个，故C正确，不符合题意.baD、设AD=a,AB=b由厶BAEADC，有一=.a2TOC o 1-5 h zCDbdlVtanZCAD=，故D错误，符合题意.ADa2故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.15.已知在RtABC中，ZC=90,AC=8,BC=15，那么下列等式正确的是（）人8888A.SinA=B.cosA=C.tanA=D.cotA=17151715【答案】D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定

20、义进行作答.【详解】.人BC15人AC8由勾股定理知，AB=17；A.smA二二，所以A错误；B.COSA二二，所以，BAB1/AB1/aBC15人AC8错误；C.tanA，所以，C错误；D.cotA=，所以选D.AC8BC15【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）B.60nmileC.120nmileD.(30+30*3)nmile【答案】D【解析】【分析】过点C作CD丄AB,则

21、在RtAACD中易得AD的长，再在直角BCD中求出BD,相加可得AB的长.【详解】过C作CD丄AB于D点，北IZACD=30,ZBCD=45,AC=60.CD在RtACD中，cosZACDAC.CD=ACcosZACD=603二30朽.2在RtDCB中，TZBCD=ZB=45,.CD=BD=30,.AB=AD+BD=30+30.答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile.故选D.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.已知B港口位于A观测点北偏东45方向，且其到A观测点正北风向的距离

22、BM的长为10p2km,一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4歯km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）卫观测贏A.8朽C.6朽D.【答案】A【解析】【分析】【详解】解:.ZMAB=45,BM=102,.AB=Jbm2+MA2=(102)2+(102)2=20km,过点B作BD丄AC,交AC的延长线于D,在RtADB中，ZBAD=ZMAC-ZMAB=75-45=30,BD73tanZBAD=AD3.AD=：3BD,BD2+AD2=AB2,即卩BD2+(j3BD)2=202,.BD=10,.AD=103,在RtABCD中，BD2+CD2=

23、BC2,BC=4丫3,.CD=2j3,AC=AD-CD=10叮3-2話3=8km,答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8J3km.故选A.【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.18.在RtABC中，ZC=90,如果ZA=a,BC=a，那么AC等于()A.atanaB.acotaC.asinaD.acosa【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，ZC=90,ZA=a,BC=a,ACcotaBC故选：B.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.C19.如图1,在厶ABC中，ZB=90,ZC=30,动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C,设4BPQ的面积为y(cm2).运动时间为x(s),y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为