小波分析方法及其应用1

1、小波分析方法及其应用冉启文小波和小波分析冉启文.小波分析方法及其应用.数理统计与管理1999, 18，52 55“小波分析(Wavelet Analysis) ”是一种新的分析方法，它是继 Fourier分析之后纯粹数学和应用数学完美结合的又一光辉典范。小波 分析的产生、发展、完善和应用始终受惠于计算机科学、信号处理、图 象处理、应用数学和纯粹数学、地球科学等众多科学研究领域和工程技 术应用领域的专家、学者和工程师们的共同努力。正因为如此，小波分 析现在已成为科学研究和工程技术应用中涉及面极其广泛的一个热门话 题。1.1小波和小波变换为了行文方便，我们约定，一般用小写字母，比如f(x)表示时间

2、信 号或函数，其中括号里的小写英文字母x表示时间域自变量，对应的大 写字母，这里的就是F(3 )表示相应函数或信号的Fourier变换，其中 的小写希腊字母3表示频域自变量；尺度函数总是写成 (x)(时间域) 和0 (3 )(频率域)；小波函数总是写成甲(x)(时间域)和W (3 )(频率 域)。考虚函数空间L2(R)，它是定义在整个实数轴R上的满足要求的可测函数f(x)的全体组成的集合，并带有相应的函数运算和内积。工 程上常常说成是能量有限的全体信号的集合。1.1.1 小波(Wavelet)小波就是函数空间L2(R)中满足下述条件的一个函数或者信号 W (x):(1.1.2)这里，R二R-0

3、表示非零实数全体。有时，甲(x)也称为小波函数，(1.1.2) 称为容许性条件。对于任意的实数对(a,b)，其中，参数a必须为非零实 数，称如下形式的函数出，(1.1.3)为由小波母函数甲(x)生成的依赖于参数(a,b)的连续小波函数，简称为 小波。注释：(一)如果小波母函数甲(x)的Fourier变换W (3 )在原点3 =0是连续的，那么，公式(1.1.2)说明W (0)=0,艮即甲(x)dx=0。这说明函 数甲(x)有“波动”的特点，另外，公式(1.1.1)又说明，小波函数甲(x) 只在原点的附近它的波动才会明显偏离水平轴，在远离原点的地方函数 值将迅速“衰减”为零，整个波动趋于平静。这

4、是称函数甲(x)为“小 波”函数的基本原因；(二)对于任意的参数对(a,b)，显然甲(x)dx=0，但是，这里甲(x)却是在x=b的附近存在明显的波动，R (a.b)(a.b)而且，有明显波动的范围的大小完全依赖于参数a的变化。当a=1时， 这个范围和原来的小波函数甲(x)的范围是一致的；当a1时，这个范 围比原来的小波函数甲(x)的范围要大一些，小汉的波形变矮变胖，而 且，当a变得越来越大时，小波的波形变得越来越胖、越来越矮，整个函数的形状表现出来的变化越来越缓慢；当0VaV1时，甲(x)在x=b(a,b)一的附近存在明显波动的范围比原来的小波母函数甲(x)的要小，小波的波形变得尖锐而消瘦。

5、作为例子，这里给出Shannon的图形。图1 Shannon小波母函数的图形1.1.2 小波变换(Wavelet Transform)对于任意的函数或者信号f(x)，其小波变换是Wj-(a.b) = J/O)玄a愆)亦？=如*(1.1.4)因此，对任意的函数f(x)，它的小波变换是一个二元函数。这是和Fourier变换很不相同的地方。另外，因为小波母函数甲(x)只有在原点 的附近才会有明显偏离水平轴的波动，在远离原点 的地方函数值将迅速 衰减为零，整个波动趋于平静，所以，对于任意的参数对(a,b)，小波函 数甲 (x)在x=b的附近存在明显的波动，远离x=b的地方将迅速地衰 减到(T因而，从形

6、式上可以看出，(4)式的数值W(a,b)表明的本质上 是原来的函数或者信号f(x)在x=b点附近按甲 fx)进行加权的平均，(a.b)体现的是以甲(ab)(x)为标准快慢的f(x)的变化情况，这样，参数b表示分析的时间中心或时间点，而参数a体现的是以x=b为中心的附过范围 的大小，所以，一般称参数a为尺度参数，而参数b为时间中心参数。1.2小波变换的性质(1)小波变换的Parseval恒等式E欧 (1.2.1)对空间L2(R)中的任意的函数f(x)和g(x)都成立。这说明，小波变换和 Fourier变换一样，在变换域保持信号的内积不变，或者说，保持相关 特性不变(至多相差一个常数倍)，只不过，

7、小波变换在变换域的测度应 该取为dadb/a2，而不象Fourier变换那样取的是众所周知的Lebesgue 测度，小波变换的这个特点将要影响它的离散化方式，同时，决定离散 小波变换的特殊形式。(2)小波变换的反演公式利用小波变换的Parseval恒等式(1.2.1)可得，在空间L2(R)中小波 变换有反演公式fg(1.2.2)特别是，如果函数f(x)在点x=x0连续，那么，小波变换有如下的定点反 演公式心)=日L旷阡崂(1.2.3)这说明，小波变换作为信号变换和信号分析的工具在变换过程中是 没有信息损失的。这一点保证了小波分析在变换域对信号进行分析的有 效性。(3 )吸收公式当吸收条件(1.

8、2.4)成立时，可得到如下的吸收Parseval恒等式f & J (a (.a J (1.2.5)(4)吸收公式当吸收条件(1.2.4)成立时，可得相应的吸收逆变换公式P并 O0+ s这时，对于空间L2(R)中的任何函数或者信号f(x),它所包含的信息完 全被由a0所决定的半个变换域上的小波变换Wf(a,b);a0,beR) 所记忆。这一特点Fourier变换不具备。1.3离散小波和离散小波变换出于数值计算的可行性和理论分析的简便性考虑，离散化处理都是 必要的。1.3.1二进小波和二进小波变换如果小波函数甲(x)满足稳定性条件-nnI河皿夺非八则称甲(x)为二进小波，对于任意的整数k,记甲-k

9、,b)(x)=2-叩(2k(x-b)(1.3.2)-(1.3.1)(2(1.3.3)它是连续小波甲(x)的尺度参数a取二进离散数值a=2-k。函数f(x) 的二进离散小波变换记为Wkf(b)，定义如下：这时，二进小波变换的反演公式是f3 = W 2七四X WEE血(1.3.4)其中，函数t(x)满足(1.3.5)称为二进小波甲(x)的重构小波。这里，如前述约定，记号甲(3 ),T(3 ) 分别表示函数甲(x)和t(x)的Fourier变换。重构小波总是存在的，譬 如可取：T= &(必)/ | 段(2%)|%T= -一当然，重构小波一般是不唯一的，但重构小波一定是二进小波。1.3.2正交小波和小

10、波级数设小波为甲(x),如果函数族印 kj(x)二2手甲(2kx-j);(k,j)eZXZ(1.3.6)构成空间L2(R)的标准正交基，即满足下述条件的基：则称甲(x)是正交小波，其中符号6 (m)的定义是11m = 0&(m)= i10m尹 0称为Kronecker函数。这时，对任何函数或信号f(x)，有如下的小波级 数展开(1.3.8)其中的系数A”由公式(1.3.9)给出，称为小波系数。容易看出，小波系数A正好是信号f(x)的连续 小波变换W(a,b)在尺度系数a的二进离散点M=2-k和时间中心参数b的 二进整倍绿的离散点b =2-kj所构成的点(2-k,2-j)上的取值，因此，小波 系

11、数A实际上是信号f(x)的离散小波变换。也就是说，在对小波添加 一定的限制之下，连续小波变换和离散小波变换在形式上简单明了地统 一起来了，而且，连续小波变换和离散小波变换都适合空间L2(R)上的全 体信号。作为结束，给出一个最简单的正交小波，即Haar小波。Haar函数 h(x)是数学家A.Haar在本世纪三十年代给出的。定义为2】2一】G 1 工 & OtD这时，函数族气 k (x)=2芸h(2jx-k);(j,k)XZ构成函数空间L2(R)的标准正交基，所以，Haar函数h(x)是正交小波， 称为Haar小波。验证是比较容易的，只要注意到2k .r 山河 2厂以-r D丈 & 2一，如很

12、+ 1)的图形随(j,k)变化的特点就可以了。这里示范性地给出h(x)和h (x) 的几个图形，如图2。j，k图 2 小波函数 h(x), h1 0(x), h1 1(x), h 1 0(x)的图形正交小波和多分辨分析前面已经指出，连续小波变换和离散小波变换具有统一的形式，特别是正交小波 的引入，使一个小波函数的“伸缩”和“平移”产生的函数族构成函数空间L2(R)的一 个标准正交基，这给信号分析和一般的数据处理带来许多方便。这样就产生一个问题: 具有如此良好性质的正交小波是否存在?再者，从应用的角度会问，这样的小波是否足 够丰富，除少数典型的正交小波之外，另外的小波能否具备某些特殊的分析性质，

13、以 满足各种不同的实际问题的特殊需要?这一部分内容就是为回答这些问题准备的。2.1多分辨分析2.1.1 多分辨分析(Multiresolution Analysis)设V. ;jez 是L2(R)上的一列闭子空间， (x)是L2(R)中的一个函数，如果它 们满足如下的五个条件，即单调性：、二 V(2.1.1)唯一性：少=(力亦 (2.1.2)稠密性：况5 = Eg (2 1 3)，c- -(2.1.3)伸缩性：(2.1.4)g) ee Vji y j e z可构造性：? (x-n);nZ(2.1.5)构成子空分析的标准正交基辨那么，称分辨分析的定义，容易彳是一个重要结果正 即函数族%* 、?揭

14、？苗；，M （2.1.6）是V空间的标准正交基。下面将要讨论的是如何由这个多分辨分析去构造L2（r）的一 个正交小波甲（x）,使法扒事（2.1.7）构成L2（R）的标准正交小波基。2.1.2小波构造j j j+1 j j对jZ，定义子空间W :WLV,V =W.三V，则子空间序列W ;jeZ 具有下述 性质：“WLW (2.1.8)V(2.1.9)因此，根据可知，为了得到空间L2（r）的标准正交基，只需构造每一个子空间W的 标准正交基；再由得到，这只需构造W0的标准正交基就足够了。因此，问题转化为 构造函数甲（X），函数族甲（x-k）;kEZ是W的标准正交基。2.1.2.1尺度方程和构造方程0

15、由于 （x）EVU V而且V有标准正交基/2 （2x-n）;neZ），所以，必存 在唯一的系数序列hn；neZe1l2（Z）,使得虹了）= J 2 N知放（2工一h）（2.1.10）称它为尺度方程。因为，小波甲（x）EW0UV,所以，存在序列gnEZ，使得火工）=S g（2x - n z 、（2.1.11）称之为构造方程。引入记号H3 = $ 知厂 gj -/ 2 心国）= 丁 .心方依产 （2.1.12）H（3 *叮（3 ）分别称为低通滤波器和高通滤波器。这样（2.1.10）和（2.1.11）可写成2.1.2.2标准正交系引理 设函数s(x)EL2(R),那么 s(x-n);nEZ构成L2(

16、R)的标准正交系，即(s(.-n),s(.-l) =6 (n-l)(2.1.14)的充分必要条件是% IS 3 十 )1 = (2.1.15)事实上(乂一$(一 =&贝3)厂奸面3)广虾)如=云 5 |5(园+ 2切)|1家加e1DnZ由于函数族 厂加是L2(0, 2n )的标准正交基，因此，(2.1.14)等价于(2.1.15)。2.1.2.3尺度函数和低通滤波器一,、_, I财山+如= 1_因? (x-n);nZ构成V0的标准正交基，故般，a.e. 3 ER,将(2.1.13)代入等式左边得0W | 争3 + 2丽)I1 - W ? + 材)中? + 叫=三|叫7 +呼(号+细)I +.畚

17、同费+ +对4亍+ W=削习12附+故)+网芸+| ： W咐+西)|十囹+|唯+|所以，低通滤波器满足I H(3 ) I 2+ | H(3 +n ) I 2=1,a.e. 3 ER (2.1.16)2.1.2.4小波函数和高通滤波器因为小波函数的整数平移族甲(x-k);kEZ应该构成W。的标准正交基，所以，5 | 早3 + 2e) F = 1,口 e. & R EE由(2.1.13)的第二式得I r (3) I 2+ | r (3 +n ) I 2=1,a.e. 3 ERv (2.1.17)2.1.2.5低通滤波器和高通滤波器由于子空间W0是V0在V的正交补空间，因此，函数族伺(x-k);kE

18、Z和函数 族? (x-n);nEZ是相互正交的，即(9 (.-n),甲(.-k) ) =0, V (n,k)EZXZ (2.1.18)利用(2.1.13)可得(技,一 小仲出)33)厂创爵:Th碍也叫凯打碍”5加-成囹皿)+丑碍+ T书+册ig；nC Z因为函数族 J源是L2(0, 2n )的标准正交基，所以(2.1.18)等价于，=0, E R (2.1. 19)2.1.2.6正交小波的充要条件首先，引入矩阵记号M(3 )M3)= S3 + jt) 3 + 兀),(2.1.20)构造定理 如果函数甲(x)形如(2.1.11)，那么，函数族甲(x-k);kEZ构成W 的标准正交基，即甲(x)成

19、为正交小波的充要条件是：矩阵M(3 )是酉矩阵，即0M*(3 )M(3 )=I,a.e. 3 ER (2.1.21)事实上，必要性就是(2.1.16)、(2.1.17)和(2.1.19)，即(2.1.21)成立。下面讨 论充分性，显然，由(2.1.21)容易得到以下结果，即函数族9 (x-n);nEZ 构成子 空间V的标准正交系，函数族甲(x-k);kEZ构成W的标准正交系，而且，它们是 相互苹交的。最后的问题是，这两个函数族合在一起构成空间V的完全的标准正交系， 即标准正交基。具体地说，对于V的任何函数a(x)，如果(al), 9 (.-n)=(a(.)，甲(.-k)=0对任何整数n *Pk

20、都成立，那它必定就只能是零函数，即a(x)二0。 事实上，因为a(x)EV，所以，贝方=zr 机眼-f其Fourier变换是心=咐闻打这里 顼f 。类似2.1.2.5的推理可得lS（ar）/M + 5（41 + 汗）=0月（m）（cw）+ 汗）r（w + ；r）= 0写成矩阵形式（Ba）=o因M(3 )是酉矩阵，所以，B(3 )=0,于是A(3 )=0而且a(x)=0。这说明了充分性。2.1.2.7正交小波的构造构造高通滤波器E m （2.1.22）这时，由(2.1.20)定义的M(3 )必为酉矩阵，所以，可得小波函数甲(x)的频域形式矽3 .=r& 一心 W （2.1.23）由(2.1.12

21、)可知务=(一 V 5 w (2.1.24)从而，小波函数甲(x)的时域形式为E(2.1.25)综合上述讨论，从L2(R)的一个多分辨分析V ；jZ 0 (x) 出发，利用尺 度方程(2.1.10)给出的系数列h ;neZ和滤波器HJ(w )及形如(2.1.22)的滤波器 r (3 )，最后得到用(2.1.23)或(2.1.25)表示的正交小波甲(x)，完成正交小波的形 式构造。2.2多分辨分析的例子这一节介绍两个多分辨分析的例子。2.2.1Harr的多分辨分析定义函数U d，它是】0,1)的特征函数，构造h = C比心 paH 眉夜Lf - e Z生成L2(R)的闭子空间，mEZ。容易验证，

22、(V ;mez)叩(t)是L2(R)上的一个多 分辨分析，这就是Haar的多分辨分析。实际上，这里的闭子空间七具有如下的具体 表达形式m即Vm由能量有限的台阶函数组成，这些台阶函数的跳跃点至多出现在2-mk这样的点上， 其中k是任意整数，因为? (t-k);kZ) 是标准正交系，从而它必是V的标准正 交基。这时，尺度方程是0g0=- /2,g，这样得到如下的小波因此，h0=h，所以，相应的低、高通滤波器分别是H3) =+ 厂3)3) = eivH (ru + X)=( 1 + e*)2.2.2 Shannon的多分辨分析II 3尽兀其余，这时，2骨平(24 是L2(R)中的标准正交函数族，军m

23、Z，构造= Closespan - n) z则(V ;mZ 0 (t)是L2(R)上的一个多分辨分析，这就是Shannon的多分辨分 析。 m事实上，这里的闭子空间V可以具体写成V= f(t);F(3 )=0, I 3 |N2mn mVmGZ，即Vm由那些截止频率不超过2mn的能量有限的信号组成。尺度方程可由 Shannon插值公式表示为于是从频域计算小波甲(t)比较方便。因为由(2.1.13)和(2.1.22)可得低、高通滤波器分 别是10丢|由壹0 |时孟3f f 顷)0是预先取定的r+w常数)，称为“窗口函数。因为上(|】，所以(2)这说明，对任何a0，Gabor变换G (b, 3 )在

24、时间t=b的附近把f(t)的 Fourier变换局部化了，可以理解为f(t) “在t=b处频率为3的频率成 分”，同时，这种局部化完成的如此之好，以致于达到了对F(3 )的如(2) 所示的“精确分解”，即Gabor变换把信号中频率为3的频率成分完全分 解成了 “在各个时间点上”的频率为3的成分，从而完整地给出了 f(t)的 频谱的局部信息，这充分体现了 Gabor变换在时间域的局部化思想。另外， 记g(a;b, 3 ;t)=g (t-b).exp(i3 t)其 Fourier 变换为 G(a;b, 3 ； n )=exp -a(n -3)2-ib(n -3 ),贝 U Gabor 变换写成G(

25、Eey) = f F5)(；M叭3尸)啊/* b)exfA J 即当t=b和n =3固定时，信号f(t)在t=b的Gabor变换与信号F(q )在 n =3的Gabor变换是一致的，前者是时间形式，后者是频率形式。所以， Gabor变换分析信号实际上是时间和频率同时局部化的，即Gabor变换是一 种时-频分析技术。2.窗口 Fourier变换和时-频分析设 g(t)eL2(R)而且 IlgllNO,当E；山时，称 g( t) 是一个窗函数，它的中心E(g)2和半径 (g)分别定义为|J+皿仪g) =e |gh) 10/II g II3 和Q 尸 |g“)I汕/ | g |而数值2A (g)称为

26、窗函数g(t)的宽度。一般地定义窗口 Fourier变换为E 记 c(b, 3 ;t)=eiwtg(t-b)且它的 Fourier 变换为 C(b, 3 ; n )=e-ib(n -3)G(n -3 )，则Cf(b,3 )=f,c(b,3 ;.)=F,C(b,3 ;.)/2n (4)所以，C (b,3 )给出时窗】E(g)+b-A (g),E(g)+b+A (g)和频窗E(G)+3- (G),E(G)+ 3 + (G)中信号的局部信息，即信号在时-频窗：E(g)+b-A (g),E(g)+b+A (g)XE(G)+ 3- (G),E(G)+3 + (G)中 的局部化信息。选定窗口函数g(t)之

27、后，这个时-频窗是一个 边与坐标轴 平行的形状与(b,3 )无关的矩形，具有固定的面积4A (g)A (G),这个矩形的 中心坐 标可用(b,3 )表示为(E(g)+b,E(G)+3 )。当窗口的时域中心和频域 中心都在原点时，时-频 窗的中心正好就是参数对(b,3 )，这时，G (b,3 ) 就真正给出了信号在时间点t=b附近和 频率点n =3附近的局部信息。这 是称窗口 Fourier变换为时-频分析方法的原因之所在。对于窗口 Fourier 变换的时-频分析能力，是用前述时-频窗之矩形的形状和面积4A (g)A (G) 来衡 量。在时-频窗的形状固定不变时(这正是Gabor变换和窗口 F

28、ourier 变换的时-频分析特性之一)，窗口面积越小，说明它的时频局部化描述能 力就越强；窗口面积越大，说明它的时-频局部化描述能力就越差。当然， 要得到尽量精确的时-频局部化描述，自然希望选择 使时-频窗面积 4A (g)A (G)尽量小的窗口函数。但是，测不准原理说明这种潜力是有限度的。Heisenberg测不准原理：如果g(t)及其Fourier变换G(3 )同时满足窗 函数的要求，则 (g)A (G)N0.5而且，等号成立的充要条件是，存在c#O,a0,b和a，使得 g(t)=ceia tg (t-b)。经计算可得，Gabor变换具有最小的时-频窗，这表达了 Gabor变换的某 种最

29、优性。小波变换与时-频分析小波变换是一种独特的时-频分析方法，在时-频分析中应用很广泛。在 这里详细说明它的时-频特性并讨论它的几个应用，即按频带实现的频域分 割思想、随时间变化的频率成分的小波显示以及信号中奇异性的小波特征。3.1小波变换的时-频窗设小波函数甲(t)及其Fourier变换W (w )都满足窗口函数的要求(这 是容易实现的)，其中心 和窗宽分别记为E (甲)和 (q )与E(W )和 (W )， 则对任意的(a,b)，连续小波函数甲(ab)(t)=q (t-b)/a)/扁T及其 Fourier变换W(w )=ae-gW (aw )/厂厂都满足窗口函数的要求，而且，,、.(a,b

30、),、，、，、，、中心和窗宽分别为E(甲)=b+aE(q ), (q b )= I a I (q )和E(W )=E(W )/a, (W (a,b)=A (W) / I a I ?因此，连续小波 q(t)的时-麻窗是面积为4A (q ) (W)的可变矩形(收b+aE(q )- I a I (q ),b+aE(q )+ I a I (q ) XE(W)/a-A (W)/ I a I ,E(W )/a+ (W)/ I a I其面积只与小波母函数q (t)有关而与参数(a,b)毫无关系，这是与窗口 Fourier变换和Gabor变换完全相同的。但不同的是，小波变换的时-频窗 形状却随着参数a而变化。

31、3.2小波变换的时-频特性 01 。皿 口一 03 cut D.w O.DSNWWVwy/AA/vWwiB -3， j 1 1 riJ.Ol 0.02 q.u3Li. 35 a.OBq.pi .一 trow om j p4 o.os a.Ob利用小波变换的时-频窗形式可知，对于较小的a0,这时，时间域的窗宽I a I A(V) 随着a 一起变小，时窗b- I a I A(w),b+ I a I A(w)变窄(为了方便起见，假定小波母函数 的中心E(w)=0，主频(中心频率)E(甲)/a变高，主要检测信号中的高频成分，由于高频成分 的时间特点是变化迅速，因此，为了准确检测高频成分，只能利用该点附

32、近很小范围内的时 间数据，这必然要求在该点的时间窗比较小，小波变换正好具备这样的自适应性；反过来， 对于较大的a0，I a I A(w)变大，时窗b- I a I A(y),b+ I a I A(w)变宽，主频(中心频 率)E(甲)/a变低，检测到的是信号中的低频成分，由于低频成分的时间特点是变化缓慢，因 此，为了完整地检测出低频成分(比如至少包含一个完整的周期)，必须要利用该点 附近较 大范围内的观测数据，所以要求时间窗比较大，小波变换也恰好具备这种自适应性。这是 小波变换独特的时-频分析特点，也是小波变换迷人的风采之一。它在时变频率和瞬时频率 分析及描述上有重要作用。3.3小波变换的局部化

33、能力由上述分析知，小波变换所体现的是在时间点b附近和频率点E(甲)/a附近集中在时-频 窗b- I a I A(w),b+ I a I A(w) x E(甲)/a-A(W)/ I a I ,E(甲)/a+A(W)/ I a I中的那部分时 -频信息(为了方便起见，假定小波母函数的中心E(w)=0)。所以，从频率域的角度来看，小 波变换已经没有象Fourier变换那样的“频率点”的概念，取而代之的则是本质意义上的“频 带”的概念；从时间域来看，小波变换所反映的也不再是某个准确的时间点”处的变化，而 是体现了在原信号在某个“时间段”内的变化情况。具体地说就是，在“时间段” b- I a I A(w

34、),b+ I a I A(w)内和“频带”E(W)/a-A(W)/ I a I ,E(甲)/a+ A(W)/ I a I内的局部变化信息。 所以，从f(t)到Wga,b)上是把信号限制在时间段】b - I a I A(w),b+ I a I A(V)内和频带 E(甲)/a-A(W)/ I a I ,E(甲)/a+A(W)/ I a I 内的局部化过程。这体现的正是小波变换所特 有的能够实现时间局部化同时频率局部化的时-频局部化能力。在这信号故障时间或者故障 位置的诊断、信号奇性检测、图象边缘提取、图象数据压缩、信号滤波等方面都有重要应 用。小波在时-频分析中的应用实例这里介绍几个典型应用小波分

35、析独特的时-频特点解决问题的例子。例1小波变换所给出的是信号按频带分割所得的成分。当信号中混杂了其 他频率成分时，只要恰当选择小波，就可以有效分离这些不同的频率成分。在图中，最上 面的信号是带有分数次谐波的稳态信号：5(z) =(wr) +华+5必普其中=314Rad/s。构造哈明小波，我们可以成功地把不同频率的信号分离出来， 如图中后面的四个尺度下的小波变换。例2利用小波变换的时-频局部化特点，可以有效地标定信号或函数中存 在的奇性。图中给出的是函数J sin(exf( (mp ( 4产)及其中原点的二阶奇性在小波变换下的特征，所用的是I.Daubechies的DB20号小波。 从图中的一次

36、小波分解就可以清楚看出原信号在原点存在奇异性。例3保持信号或函数奇性的信号分离技术。在进行信号分离时，往往会破坏信号中陷 藏的奇性。恰当构造小波可以同时分离出信号和奇性。下图是电力系统中的一次实际在线 故障跟踪数据，使用哈明小波成功地分离出了主信号和故障信号即奇性。小波分析的这种 应用为许多实际工程系统的在线故障诊断提供了新的有效的分析工具。同样是这个例子， 如果从信号滤波方面来说，那么，小波分析为保持信号奇性滤波提供了一种有效工具，特 别是分析受瞬时干扰破坏的信号，小波变换可以准确分离出信号中存在的瞬时干扰。这些应用说明，利用小波变换的时-频局部化功能，可以方便地分离信号、进行信号的 频带化

37、处理、标定时间信号中隐含的奇性。这为数据处理和数字信号的时-频分析提供了方 便的分析工具。紧支小波的构造及应用冉启文 王建赜摘 要 冉启文、王建赜.紧支小波的构造及应用.紧支小波在数据压缩、图象处理、奇性分析和数字滤波器设计中经常被使 用。本文介绍紧支正交小波的构造方法以及紧支小波的识别数字信号频率畸变 中的应用。关键词：紧支小波频率畸变奇性识别中图分类号：O212 TB11文献标识码：A1尺度函数和紧支尺度函数在正交多分辨分析中，尺度函数是最重要的部分。虽然在一些著名的多分 辨分析例子中尺度函数比较简单，但是，在一般的情况下构造尺度函数仍然是 一个困难问题。比利时数学家I.Daubechie

38、s(1988)给出了尺度函数的一般迭 代算法，特别是紧支尺度函数的构造方法，从而得到了以她的名字命名的 Daubechies系列紧支正交小波。H (政=h l:e LW定理(I.Daubechies 1988)设/ :是共轭滤波器，即|2 + |（甜 + 两=1而且H(0)=1。如果它有如下的分解形式其中 B（3 ） = EKeZbke-iwk满足IS |bt| |k| + oo 府 SUP | B3) | 0，当I t |T时，(t)=0) 的充分必要条件是，滤波器H(3 )的系数hn； nez是有限长度，即存在N，当| n |N 时，h =0。由双尺度方程容易得到条件的必要性。由前述I.D

39、auechies定理所给的迭 代关系来讨论充分性。设当nVN或nN时，=0，则由可得关系:Supply 传(十如_)专邮1十M)其中一N .N是包含闭集Supp入1=Close t；入(t)乏0的最小整数区间 而且 N-=-0.5,N+=0.5。于是，由 1二+8得 Supp：二N，N ，此即充分性。卖际上，由这个紧支尺度函数和多分辨分析构造的小波函数W (t)也是紧 支的，而且SuppW 匚0.5-0.5（N-N），0.5+0.5（N-N ）使用时常取 N=0，故 Suppf 二0，N ，SuppWU 0.5-0.5N，0.5+0.5N 。3系数有限的共轭滤波器设H（3 ）是系数有限的共轭滤

40、波器，即l!l-：l I- -I 项 果3 =n是它的N重根而且H（3 ） = （1+e*）/2心皿，其中Q（z）是复变量z的 实系数多项式。因为I I 一 1 - 1 可以写成正弦平方函数 sin2（3 /2）的实系数多项式，不妨记为I：， I I 1，这里P（z）是实系数多项式。引入记号y=cos2（3 /2），则H（3 ）是共轭滤波器的条 件变成(1 - V)十(1 - v)-v/Vv) = 1（1）对任何非负整数n和k，重复使用简单的组合恒等式_ - ；,，容易得到组合公式:f S + +1+|，进一步用数学归纳法容易证明，当0ww 1时，可以得到恒等式f *v 1尸 1 （证明略）。

41、于是，如果定义n-1次多项式已顷）=三以1+QJ=o（2）那么，当n=N时，多项式Pn（y）必然满足（1），即jy（ 1 v +（1 一 V）= 1V）法。丁 e 1_4 1_另一方面，当n1时，因为险 D I = 1I j7 = + = （ %以_*）耳=（家J 耍 g Mgw1J=o所以，这时I.Daubechies定理的条件是成立的。这样，整个构造问题就变成具体求出变量z的实系数多项式Q（z），使得您 I * * 。下述Riesz引理从理论上保证了这种实系数多项式的存在性。Riesz引理若实数a。,则必存在实数b , b1,bN， | I；：，： | .I：. I 匚ACo)=法。.n = GNB()= Zjb.e1使得多项式满足(证略),3 ER,根据Riesz引理，只要实系数多项式P(y)满足(1)或者(3),则必可找到 同阶的实系数多项式Q(z)，满足F I * ： ，从而，12 ，是有限实系数的共轭滤波器。实际上，满足函数方程(1)的实系数多项式P(y)具有更一般的形式 (I.Daubechies 1988)P(y)=PN