高中数学人教A版高中必修2第三章直线与方程-教案

1、 2023年高中数学教案人教版全日制高中数学必修2P8286直线的倾斜角与斜率四川省荣县中学校 胡瀚誉2023年7月直线的倾斜角与斜率一、教材分析本课的地位和作用本节课的内容是人教A版必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率第一课时。直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一。学生在原有的对直线的有关性质及平面向量的相关知识理解的基础上，重新以坐标化的方式来研究直线相关性质，而本节直线的倾斜角和斜率，是直线的重要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维的起点;另外，本节也初步向学生渗透解析几何的基本思想和基本方法。这节知识是之后学习直线与直线、直线与圆，直线与圆锥曲线位置关系的基础

2、，也是后续学习微积分的基础。因此，本节课的有着开启全章，渗透方法，承上启下的作用。2教材的布局 教材首先是以一个探究在平面直角坐标系一条直线如何确定的思考题引入的，过一点有无数条直线，让学生发现这些直线之间的区别。然后引出直线的倾斜角的概念以及倾斜角的取值范围。然后利用日常生活中的坡度概念，自然引出直线斜率的概念。然后是探究如何由直线上两点的坐标求直线的斜率，讨论两点的位置情况，最后推导出斜率公式。最后是直线的倾斜角与斜率的应用。二、重难点分析重点：直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式。难点：斜率公式的推导与运用，倾斜角和斜率的对应关系。三、目标分析知识技能目标理解直线倾斜角和斜率的

3、概念, 掌握过两点的直线的斜率公式及应用。过程性目标通过自主探索，培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力, 使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。情感、价值观目标通过对直线倾斜角及斜率的学习，体会用代数方法刻画直线斜率的过程, 通过坐标法的引入，培养学生联系、对应转化等辩证思维, 展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。四、学情分析有利因素学生在必修1中学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路。在初中时，学生已经学过一次函数是一条直线，知道找到直线的两个点，然后连线就可以得到这条直线的图像。对解析几何已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课

4、的教学任务打下了基础。不利因素本节内容思维量稍大，学生的动手操作能力不强，抽象概括能力，推理能力还不够，对思维的严谨性和分类讨论、数形结合等的数学思想有较高要求，接下来要引导学生思考问题，深入浅出地分析。 五、教法学法探究发现式教学法、并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，通过学生交流与合作，从而扩展他们自已的数学知识和使用数学知识及数学工具的能力，实现自觉地、主动地、积极地学习。六、教学过程设计数学史引入创设情境探索新知例题讲解课堂练习课堂小结课后作业七、教学过程数学史引入解析几何是由法国的数学家笛卡尔和费马创立。从古希腊到公元

5、16世纪，欧几里得公理体系都占据着几何学，但欧式几何只能证明已知的事物，不能解决未知的问题。到17世纪，数学家们开始探索用代数与几何相结合，其中常用的是坐标法，以坐标系为桥梁，从代数的角度解决几何的问题，从而也有了数形结合的数学思想。创设情境1.意大利的比萨斜塔因斜而不倒的特征闻名于世，那如何刻画其倾斜的程度？ 2.直线是哪一个函数的图象？答：一次函数。3.题目是“直线与方程”而不是“直线与函数”，函数与方程的区别是什么？通过下面几组图片对比思考，它们分别是否是函数？答：上面三张分别是一次函数、反比例函数、二次函数。旋转后下面的三张都不是，因为一个自变量x的值对应了两个以及两个以上的函数值，函

6、数中不允许一对多。4.这节研究的内容就包含了竖直线的直线，我们知道几个点能确定一条直线？答：两点能确定一条直线。5.观察图片中的“雨刮”、“汽车转速盘”、“跷跷板”，一个点能确定一条直线吗？答：不能。一个点确定有无数条直线。6.给定一个点和直线的方向能确定一条直线吗？带着这个问题先来思考下：经过原点的直线并与x轴正方向所成的角为300的直线有多少条？答：有两条。为了在刻画直线的倾斜程度时统一口径，统一倾斜角的概念。探索新知一直线倾斜角的概念师：蜀道难诗中有一句“蜀道之难，难于上青天”，蜀道为什么难？生：因为斜坡陡。师：在刻画斜坡陡的时候，以水平线还是竖直线作为倾斜程度的参考？生：水平线。师：在

7、坐标系中水平线体现为x轴，我们画出斜坡所在的直线l，发现直线l与x轴形成了四个角，如果是你，你会选择哪一个角作为衡量直线倾斜程度的标准。生：角1。师：角1简单易懂，如果是你，会如何定义角1？生1：从旋转的角度，当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基准，使x轴绕着交点按逆时针方向（正方向）旋转到和直线l第一次重合时所转的最小正角记为，那么叫做直线l的倾斜角。（学生表述不完整时老师引导并强调关键字）生2：当直线与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。（学生表述不完整时老师引导并强调关键字）提问：在本定义中要注意哪些要点？当直线与x轴平行或重合时,我们规定

8、倾斜角为00。倾斜角范围： 00,1800 ) 3.唯一性：直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线。坐标系中确定一条直线的几何要素是一个定点和它的倾斜角.练习：判断如图中标出的直线的倾斜角是否正确?答：都不正确。都不是x轴正向与直线l向上方向之间所成的角。直线l的倾斜角是几何的概念，不利于用坐标法刻画直线，所以需要将倾斜角代数化，从而引入直线的斜率.二直线的斜率在一次函数中y=kx+b中的k就是斜率，斜率最开始是工程学中引入的，描绘山坡的倾斜程度常用坡度，用升高量前进量 QUOTE 升高量前进量 刻画倾斜程度，放在直角三角形中是对边邻边，即正切值。把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条

9、直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan.讨论：（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？ （2）当直线l与x轴垂直时，k为多少？（3）倾斜角越大，直线的斜率也越大吗？ 答：（1）=00，k=tan00=0；（2）=900，k不存在；（3）当=00时，k=0；当00 0；当=900时,k不存在；当900 1800时，k0，联系到正切函数。需要学生熟记0,180)内的特殊角的正切值倾斜角0304560120135150斜率k0eq f(r(3),3)1eq r(3)eq r(3)1eq f(r(3),3)图示倾斜角009090900k不存在k0，直线AB的倾斜角为锐角。kBC0，直线AB

10、的倾斜角为锐角。、课堂练习1.若直线l向上方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为()A30B60 C30或150 D60或1202.如图，有三条直线l1，l2，l3，斜率分别是k1，k2，k3，则下列关系正确的是()Ak1k2k3 Bk1k3k2Ck2k3k1 Dk3k2k13.已知直线l的倾斜角30，则其斜率k_.若k33，则其倾斜角为_4求经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线lAB的斜率。课堂小结（1）本节课学了哪些新的概念？他们之间有什么关系？（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？求斜率与倾斜角时易错点是什么？（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的

11、倾斜程度，这个过程体现了什么数学思想？课后作业课本第86页习题1、2、3收集关于比萨斜塔的相关资料，通过分析整理，计算其倾斜角与斜率。八、课后反思在教学过程中有几个问题值得注意：1.在讲解斜率坐标表示公式的推导中，教材给出有四种情况，由于时间有限，并且重点在于斜率公式的应用，因此课堂上只推导了其中的一种。如果时间充裕，可以让学生先画出这两点之间的位置关系，然后启发引导他们画剩余的情况。最后可以得到4种情况，将学生分成4组分别研究其中的一组，然后让每个小组汇报结果和做法，教师对每组的结果进行评价并总结，最后得到斜率的坐标表示公式。2.通过课堂练习中的第5题反映出学生很容易遗漏斜率不存在的情况，应

12、当多次强调当直线上的两点横坐标含有字母时要记得分类讨论。二本课设计有以下几点值得借鉴：本课设计开篇通过数学史介绍了解析几何的由来，并通过创设生活中的情境，如“雨刮”、“汽车转速盘”、“跷跷板”、比萨斜塔、蜀道难等激发学生的学习兴趣，让学生感受数学来源于生活，体会到到数学的应用价值。本课设计练习题时考虑了学生在学习中可能出现的错误，如第1题和第5题都是容易因没有分类讨论而出现错误的题目，在题目中也起到了强调分类讨论和数形结合的数学思想。教学过程中充分发挥学生主体作用，始终以问题的形式引导学生进行小组讨论和主动参与，在师生互动、生生互动中让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程，做到了把握重点、突

13、破难点。附：板书设计二、斜率1.定义：k=tan与关系：（1）=00，k=tan00=0；（2）当00 0，k:0+（3）=900，k不存在；（4）当900 1800时，k0，k:-0三、斜率的坐标表示公式k=y2-y1 x2-x1 = y1-y2x1-x2 第三章 直线与方程 直线的倾斜角与斜率代数 几何一、倾斜角1定义：x轴正方向，直线l向上方向2规定：l围：00,1800 )4.唯一性附：数形结合坐标法教 案 设 计 说 明此教学方案是依据新课程标准、教材及本人的教学风格并考虑学生的学习兴趣来设计的，下面就本课教案做以下几点说明：一、选材：本节课选取的内容为数学发展中具有奠定基调、承上启下的知识。学生在原有的对直线的有关性质及平面向量的相关知识理解的基础上，重新以代数的角度，即坐标化的方式来研究几何方面性质，这既是对一次函数的深化，又是学习后续直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的必备，通过学习，让学生在掌握知识的同时感受到数学的实用价值。二、理念：本节课的教案设计体现了“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。在教学的每一个环节中均设计了问题，始终以教师提出问题，引导学生