高中数学人教A版高中选修2-1第二章圆锥曲线与方程-椭圆及其标准方程教学设计

1、椭圆及其标准方程教学设计 绵阳中学 钟荣华一、教材分析本节课是普通高中课程标准实验教科书数学人教版，选修2-1第二章第二节第一课时，主要学习椭圆的定义和标准方程。前面学生学习了直线和圆的方程，且对曲线和方程的概念有一定的了解，并初步掌握了用坐标法研究几何问题的基础上，进一步学习用坐标法（数）研究圆锥曲线（形）。本章的核心是用坐标法来研究曲线，是数形结合的完美诠释。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供理论基础和研究的基本模式。故，本节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。1.教法分析 本节课主要通过学生的生活经验观察发现、实验探究、启发引导、小组合作进行教学。数学来源于生活，应用于生活

2、，在学生的直观感知、生活体验的基础上，通过动手的实验操作，引导学生逐步建构概念。结合利用多媒体课件、几何画板，为学生提供构建自主探究的平台，启发引导学生观察，思考，实践，从中发现几何规律，形成知识。适时互动，有机的结合，从而突破本节课的难点。2.学法分析学生通过对前面的学习，已具备一定的用坐标法研究几何问题初步的认识及能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象概况的能力及语言转换的能力，特别是可以通过对圆的学习过程“类比”椭圆的学习。本节课遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。采用以问题的提出、问题的解决为主线，注重对问题的设置；以学生主动探索、积极参与、共同交流

3、与协作为主体，问题的分析和解决中实现知识的建构和发展。通过不断探究、发现，使学生的能力形成在课堂上得到充分的发挥。二、教学目标和重难点1.知识与技能：掌握椭圆的定义与相关概念；理解椭圆标准方程的推导过程；掌握并区分椭圆标准方程的两种形式；会用椭圆定义及待定系数法求椭圆的标准方程。2.过程与方法：让学生体会并经历从具体的生活情境中，抽象出椭圆模型，并通过实验操作形成椭圆定义的过程，有效的提高学生观察、分析、归纳、类比、概括、语言转换的能力；通过推导椭圆标准方程的过程，巩固了动点轨迹方程的求法；学会两个根式相加式子的化简方法，从而提高了学生的运算能力。3.教学重点（1）理解椭圆的定义与相关概念；（

4、2）掌握椭圆的标准方程。4.教学难点椭圆标准方程的推导（建系、化简）。三、教学过程1.创设情景，导入新课【师】同学们，我们用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在桌面上，观察水平面，其截面是什么图形？【生】圆形【师】当水杯倾斜，再观察水平面，此时截面图形为？【生】椭圆【师】很好，今天我们一起来学习椭圆及其标准方程。我们常说，数学来源于生活，应用于生活。下面呀，老师为大家展示几张与“椭圆”有关的实物的图片，一起来欣赏一下（图片展示）。【师】接下来，我们用一张平面去截一个圆锥，观察截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？当平面垂直圆锥的轴时，截口曲线是一个？（圆）当平面不垂直圆锥的轴时，可以发现，截面

5、与圆锥的轴夹角不同，得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线，我们把这四个曲线统称为圆锥曲线？2.形成椭圆的定义（分三个环节）（1）数学活动：画椭圆【师】既然，椭圆图形与我们密不可分，如何画椭圆呢？（两人合作）【师】、取一条定长的细绳；、把细绳的两端固定在图板上的两点， 处；、用铅笔尖把细绳拉紧，在图纸上慢慢移动。看看能画出什么图形？（让学生动手，拿出提前准备好的细绳，同桌合作在白纸上画）【师】如果改变两个定点的距离，所画的图形一定是椭圆吗？【生】当绳长大于两定点距离时，图形为椭圆；等于时为线段 ；小于时不表示任何图形。 （动画演示作图过程）（2）.数学认知：发现几何规律 【师】请思

6、考，椭圆上的点满足什么条件？绳长一定说明什么？【生】满足，和是一个定值。(3).数学归纳：形成椭圆定义【师】由此，我们一起来归纳出椭圆的定义。（同学自由发言，提示：把椭圆上的点满足的几何条件叙述出来。再由学生进一步补充完善）【师】很好，于是得到椭圆定义为：我们把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。（板书）【师】问题1：定义中的常数等于，则动点的轨迹是什么？（线段） 问题2：定义中常数小于，动点的轨迹是什么？（不表示任何图形）其实在中，由三角形的三边关系，也能得到绳长大于。【师】于是，我们把两个定点，叫作椭圆的焦点，两个焦点，间的距离叫作椭圆的焦距。【师】椭圆定义的符

7、号表述：3.数学推导：椭圆的标准方程【师】本章的核心是用坐标法来研究曲线。接下来，我们一起来推导椭圆的标准方程。首先，请同学们回顾：求曲线方程的基本步骤有哪些？【生】建系、设点、列式、化简、验证。【师】请观察椭圆的形状，怎样建立恰当的坐标系呢？【生】建系：利用椭圆的对称性特征，以焦点的所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系。【师】怎么设点呢？【生】设为椭圆上任意一点，设焦距为，则，【师】动点满足怎样的几何约束条件？【生】 ，坐标化为：【师】如何对方程化简？（化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号？）学生自己先尝试，再展示学生成果。预案一： 将左边的一

8、个根式移到右边，得将这个方程两边平方，得 整理得 上式两边再平方，得 整理得 （观察左边的系数及右边的结构）两边同时除以得 预案二： 将方程直接平方，得 两边同时除以得 由椭圆定义知，即，所以（由二次结构，联想到勾股定理）分析的几何含义，令那么式就是：【师】从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程，反之，以方程的解为坐标的点都在椭圆上。由曲线与方程的关系知，我们把方程叫做焦点在轴上的椭圆的标准方程。【师】问题：如果焦点在轴上，椭圆的标准方程如何推导？法一、如前，重新推导一遍；法二、观察式子结构的差异即可。（由学生动手列式，引导学生观察焦点在轴上与焦点在轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在轴上椭圆的标准方程）【师】其实坐标系的建立有很多方式，坐标系不同，椭圆方程的表达形式也不一样，在高中阶段只掌握焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程。4.数学应用：例题讲解5.课堂小结问题：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.（学生小结：知识、数学思想方法等收获）6.课后作业（自主探究）（1）、再次探究化简： （提示：利用等差数列或三角换元等相关知识）用等差数列法：设 将将上式两边平方整理得出结论.、三角换元法：设 得 代入式得：，将上式两边平方得出结论。（2）、探究与发现：为什么截口曲线是椭圆？（课本42页）（3）、网上收集“天问一号”