高中数学上教版（试用本）高二上册第7章数列与数学归纳法-数学归纳法教学设计

1、 数学归纳法（第一课时）【教材分析】数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的有力工具，本节课是数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题。【学情分析】学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（在求曲边梯形面积中），但学生只是停留在认知阶段，对问题本质没有作更进一步的研究。另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础。【教学目标】、知

2、识与技能目标：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；（2）进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。2、过程与方法目标：（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。3、情感态度与价值观目标：通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。【教学重点】数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解。【教法准备】讲授法，引导发现法，合作探究法。

3、【教具准备】传统板书与多媒体辅助教学相结合。【教学过程】一、创设情境，引出课题1、复习旧知，铺垫新知：证明().思考：如何把无限的验证转化为有限的证明？（2）完全归纳法：同学们，我们做一个游戏。游戏1：: 1号同学站起来拍手1次；2号同学站起来拍手1次；3号同学站起来拍手1次；4号同学站起来拍手1次；5号同学站起来拍手1次；6号同学站起来拍手1次。游戏2：如果k号同学站起来拍手1次，那么k+1号同学站起来拍手1次；第1号同学站起来拍手一次。学生按教师指令完成游戏。比较这两个游戏最大的相同和最大的不同？（同学之间相互讨论）最大的相同：游戏都是6次拍手；最大的不同：游戏1,6个指令；游戏2,2个指

4、令。游戏1：逐个的算术指令；游戏2：抽象的代数指令。游戏1：体现的是孤立的个体；游戏2：体现的是相邻两个个体之间的关系。关系：K号拍手为条件，K+1号拍手为结论。关系：若n=K时命题为真，则n=K+1时也为真。2、问题情境，方法引入：师：利用完全归纳法得出的结论是可靠的，但对于解决与正整数有关的问题却无法完成，不完全归纳法虽然步骤有限，但结论不一定可靠，那么我们能不能找出一种方法，既能使步骤有限又能使结论可靠呢？同学们想不想知道这种方法？（追问引出课题：数学归纳法）师：（投影）证明的两个步骤：（1）证明当时，命题成立；（2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立。探究三：第一个同学不站起来拍手一

5、次行不行？假如从第二个、第三个同学开始站起来拍手一次，结果会是怎样？（第一位同学必须站起来拍手一次，才能让所有的同学都站起来拍手一次。如果从第二位或第三位开始站起来拍手一次，则只能让该该同学后面的同学站起来拍手一次。）注：此问题说明第一位同学站起来拍手一次的的重要性，同时也说明在证明与正整数有关问题时，是使命题成立的最小正整数，不一定取1，也可以取其它正整数。师：（板书） “数学归纳法”一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时，命题也成立。只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从开始的所有正整

6、数都成立。上述方法叫做数学归纳法。四、典例分析：例1：用数学归纳法证明师：（板书）证明：（1）当时，左边，右边，等式成立；（2）假设当时，等式成立，即：，那么：即：当时，等式成立。根据（1）和（2），可知等式对任何都成立。注：上例让学生独立完成，师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。五、反馈练习，加深理解：1.问题1：甲同学猜想了（），用数学归纳法证明步骤如下：证明：假设当 ()时等式成立，即那么,即当时也成立上述证法是正确的吗？为什么？ .反思： 问题2：请用数学归纳法证明：步骤如下：证明：（1）时，左边右边，等式成立.假设当时等式成立，即命题成立。那么，当n=k+1时所以对于

7、，等式成立.上述证法是正确的吗？为什么？ .反思： 2.用数学归纳法证明:，在验证时，左边计算所得项为 .3. 用数学归纳法证明：边形的内角和等于，第一步 .六、归纳小结，概念提升：问：今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？（学生总结，教师整理）1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我们去发现。2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想：递推思想；3、数学归纳法一般步骤：若时命题成立，证明当时命题也成立验证时命题成立归纳奠基 归纳递推命题对从开始所有的正整数都成立4、应用数学归纳法要注意以下几点：第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法；n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其它一些正整数；第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法。七、布置作业：1、书面作业：P96习题组，第1题（1）（3）；2、思考：习题2、3，A组第1题其它证明方法。注：第1题书面作业帮助学生巩固数学归纳法，第2题可以