高中数学上教版（试用本）高一上册第3章函数的基本性质-1函数的单调性（教案）定

1、1.3.1函数的单调性（人教版必修一）教案兴文中学 刘晓霞一、教材分析1、地位及作用本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。它既是在学生学过函数概念、图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又为后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的基础，同时单调性在比较大小、解不等式、证明不等式等具体问题中发挥着重要作用。研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从特殊到一般”的思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。2、教学目标（1）、知识目标：理解（增、减）函数单调性的定义掌握函数单调性的判断方法-图像法、定义法。（2）、能力

2、目标：运用函数单调性的定义判断并证明简单函数的单调性 利用简单的代数证明，培养学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力（3）、情感目标： 渗透数形结合的数学思想 激发学生参与数学学习、教学活动的兴趣。3、教学重点与难点 重点：函数单调性的定义和证明方法难点：利用函数单调性的定义证明函数的单调性。学情分析现阶段学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生

3、学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。三、教法与学法本节采用探索式的教学方法，利用启发、合作探究、由浅入深进行教学，以激发学生思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。让学生利用图形直观启迪思维，并通过对比构造，来完成从感性认识到理性思维质的飞跃，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型。四、教学过程函数是高中数学最重要内容，函数的性质是它的核心，正因为如此，它是每年高考必考题。今天老师将带领同学们学习函数的第一个性质：单调性。（一）创设情景，导入新课（ppt展示）1、如图为我市军训期间某一天24小时内气温随时间变化曲线图 问题观察这个气

4、温变化图，说出气温在这一天内的变化情况。怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？问题1观察函数的图象，说说它们的图像随x的增大，的值有什么变化？ 在区间(-，0)上， 随着x的增大，f(x)的值随着 减小在区间0 ，+) 上，随着x的增大，f(x)的值随着 增大从左至右图象上升还是下降?上升在区间 (-，+) 上，随着x的增大，f(x)的值随着 增大 从上面的观察可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，发现：一次函数在R上呈上升趋势，二次函数在对称轴两侧呈现两种趋势，我们把函数的这种重要特征总结为函数的单调性。这种 “

5、图像从左到右呈上升趋势” 的函数叫增函数，而把“图像从左到右呈下降趋势” 的函数叫减函数，通过观察得到了单调性的“图形语言”。问题2 怎样描述函数图像的“上升”和“下降”趋势？用自变量与函数值的变化描述：教学意图：从图像直观到定性描述，给出增（减）函数的定义。若函数的值随的增大而增大，则称函数为增函数，反之为减函数。从而得到函数单调性的 “文字语言”。问题3 如何将函数的值随的增大而增大作为增函数的定义，证明函数在区间上是增函数？能举一些具体数据吗？这些数据能解决在整个区间上的变化趋势吗？怎样定量刻画？ = 1 * GB3 “增大”意味着比较：需要建立两个量的大小关系。 = 2 * GB3 “

6、x增大”的符号化，用两个自变量的变化表示为： = 3 * GB3 “”的增大符号化：()() = 4 * GB3 “随”字的符号化：当时，有()() = 5 * GB3 怎样实现“所有”，对，“任取”就可以了。用“任意”突破“无限”，这是数学中最经典的一种描述。（二）归纳总结 探究新知增（减）函数定义：一般地，设函数的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有()()（或()()）；那么就说在区间D上是增（减）函数。如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间。实现了：图形语言 文字语言 符号语言 。问

7、题4 小组合作，类比探究。让学生说出增函数，减函数定义中的关键词。设计意图使学生加深对增（减）函数定义的理解。师：引导学生分析定义中的“区间”、“任意”、“都有”师生共同分析、讨论，归纳出增（减）函数 概论要点概念要点概括（1）单调性是对定义域内某个区间而言的，在某一点上不存在单调性，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性（2）对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以不具备单调性(如常值函数)（3）对于闭区间上的连续函数来说，区间端点处若有意义写开写闭均可，若无意义，必须写开区间。（4）函数出现多个单调区间时，各单调区间之间可用“，

8、”、“和”表示，但不能用“U”。（5）用定义判断单调性时，自变量的两个值要满足的三个条件：任意性，有大小之分，属于同一个区间。（三）质疑答辩，发展思维。 例1：下图是定义在闭区间 -5，5上的函数y=（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数 变式1：观察反比例函数的图像，说出它的单调区间，并给以证明：yox函数单调区间的写法：对于区间的端点如果在定义域内用闭区间，不在用开区间。对于反比例函数的单调减区间一定不能写成（-，0）（0，+）（数学是严谨的。若否定某一结论，只要举一反例即可） （四）总结规律 升华结论问题6利用定义证明函数在给定的区间D上的

9、单调性的一般步骤：1.取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意值，且x1 x2 ；2.作差：作差f(x1)f(x2) ；3.变形：通常是通过因式分解或配方等方法，将整个差式变形到能判断出正负号为止；4.定号：判断f(x1)f(x2)的正负（要注意说理的充分性）必要时要讨论；5.下结论：根据定义得出其单调性.求函数的单调区间时必须在函数定义域内进行。证明函数单调性的五个步骤： 取值 作差 变形 定号 下结论（数学是规范的）（五）巩固练习：1.用定义证明在（-，0）上单调增2.若二次函数在区间（-，1上单调递增，求的取值范围。通过练习继续使学生们加深对函数单调性的理解，并能根据定义熟练的进行证明。五、总结反思 收获经验1两个定义：增函数、减函数的定义；2两种方法： 图像法判断函数的单调性： 增函数 图象从左往右上升 减函数 图象从左往右下降 定义法判断函数单调性的五个步骤： 取值 作差 变形 定号 下结论3.一个思想：数形结合思想。六、布置作业：1、思考题：试将常见函数的单调性与单调区间整理成表格。2、课时跟踪检测91页：1-10题七、板书设计：1.3.1函数的单调性：定义：单调性的证明：注意：多媒体例1：例2：八、教学反思：本节课是对函数性质的探究发现过程，我们利用了认识事物的一般过程和方法，即：通过图形观察特征，通过特